2024陜西中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練 題型二 小幾何壓軸題 (含答案)

2024陜西中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型二小幾何壓軸題類型一與線段有關(guān)的問題1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8.若點(diǎn)E、F是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為________．第1題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，且以DE為直徑的圓與AC相切，則DE的最小值為________．第2題圖3.如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP＋eq\f(1,2)PB的最小值是__________．第3題圖4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E為AB邊的中點(diǎn)，且∠CED＝120°，則邊DC長度的最大值為________．第4題圖5.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝9，∠A＋∠B＝90°，以CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使得直角頂點(diǎn)E在AB邊上，若AE＝2BE，則AD＋CB的值為________．第5題圖6.如圖，在菱形ABCD中，AB＝12，∠B＝60°，AE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,3)AB，P為AE上一點(diǎn)，連接PC、PD、PF，則PC與PD之間的數(shù)量關(guān)系為________，PC＋PF的最小值為________．第6題圖類型二與面積有關(guān)的問題1.如圖，在等邊△ABC內(nèi)部有一個(gè)半徑為2的動(dòng)圓，則動(dòng)圓不能覆蓋的面積為________.第1題圖2.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB為半圓O的直徑，AB＝8，CD＝4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，則△ABE面積的最大值為________．第2題圖3.如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB＝10，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接AP、BP，OE⊥AP于點(diǎn)E，OF⊥BP于點(diǎn)F，則四邊形OEPF面積的最大值為________．第3題圖4.如圖，在?ABCD中，E、F是AD邊上的兩點(diǎn)，且AE＝DF＝eq\f(1,4)AD.點(diǎn)G為BC邊上一點(diǎn)，連接EG交BF于點(diǎn)H.若EG平分四邊形ABCD的面積，BH＝6，則BF的長為________．第4題圖5.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，點(diǎn)E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，若四邊形ABCD的面積為4eq\r(3)，則△BEF的面積為________．第5題圖6.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，且∠EAF＝60°，連接EF.若AB＝4，則△CEF面積的最大值為________．第6題圖類型三與角度有關(guān)的問題1.如圖，在正方形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若∠BPC＝60°，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________．第1題圖2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為________．第2題圖3.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠ACD的值為________.第3題圖4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC.若AC＝eq\r(6)，則∠ABC的大小為________．第4題圖5.如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE、CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，當(dāng)∠EBF最小時(shí)，AE的長為________，BF的長為________．第5題圖參考答案類型一與線段有關(guān)的問題1.6eq\r(3)2.eq\f(12,5)【解析】如解圖，設(shè)切點(diǎn)為P，連接BP，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，由垂線段最短可知BP≥BH，∵DE是該圓的直徑，∴DE≥BP≥BH，即DE的最小值為BH的長．∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)AC·BH，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，∴BH＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(12,5).即DE的最小值為eq\f(12,5).第2題解圖3.eq\f(7\r(3),2)【解析】如解圖，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PQ＝eq\f(1,2)BP，∴MP＋eq\f(1,2)PB＝MP＋PQ.由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)M、P、Q三點(diǎn)共線，即點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合時(shí)，MP＋PQ取得最小值，最小值為MN的長．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∵∠ACB＝60°，∴MN＝eq\f(\r(3),2)CM＝eq\f(7\r(3),2)，∴MP＋eq\f(1,2)PB的最小值為eq\f(7\r(3),2).第3題解圖4.9【解析】如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′D，A′E，B′C，B′E，A′B′，則A′D＝AD＝3，A′E＝AE＝3，B′C＝BC＝3，B′E＝BE＝3，∠A′ED＝∠AED，∠B′EC＝∠BEC，∵∠CED＝120°，∴∠AED＋∠BEC＝180°－∠CED＝60°，∴∠A′ED＋∠B′EC＝60°，∴∠A′EB′＝∠DEC－(∠A′ED＋∠B′EC)＝60°.∵A′E＝B′E＝3，∴△A′EB′是等邊三角形，∴A′B′＝A′E＝3.由兩點(diǎn)之間線段最短可得DC≤A′D＋A′B′＋B′C＝9，∴DC長度的最大值為9.第4題解圖5.3eq\r(5)【解析】∵AB＝9，AE＝2BE，∴AE＝6，BE＝3.∵ED＝EC，∠DEC＝90°，∴如解圖，將△ECB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDF，∴EF＝EB＝3，DF＝BC，∠EDF＝∠ECB.∵∠A＋∠B＝90°，∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠ADE＋∠ECB＝180°，∴∠ADE＋∠EDF＝180°，∴A、D、F三點(diǎn)共線，∴AD＋CB＝AD＋DF＝AF.在Rt△AEF中，AF＝eq\r(AE2＋EF2)＝3eq\r(5)，∴AD＋CB的值為3eq\r(5).第5題解圖6.PC＝PD，4eq\r(13)【解析】如解圖，連接AC，F(xiàn)D，∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴△ADC為等邊三角形．∵AE⊥CD，∴點(diǎn)C關(guān)于PE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，∴PC＝PD，∴PC＋PF＝PD＋PF≥FD，∴當(dāng)F，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，PC＋PF的值最小，最小值為FD的長．過點(diǎn)F作FH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H，∵∠B＝60°，∴∠HAF＝60°.∵AB＝12，AF＝eq\f(1,3)AB，∴AF＝4，∴AH＝2，F(xiàn)H＝2eq\r(3)，∴DH＝14.在Rt△DHF中，F(xiàn)D＝eq\r(FH2＋DH2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋142)＝4eq\r(13)，∴PC＋PF的最小值為4eq\r(13).第6題解圖類型二與面積有關(guān)的問題1.12eq\r(3)－4π【解析】如解圖，圖中陰影部分面積即為動(dòng)圓不能覆蓋的面積，由題意知⊙O與AC，AB兩邊相切，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，AO，則∠EAO＝∠FAO＝30°，∠EOF＝120°，∴在Rt△AOE中，AE＝eq\r(3)OE＝2eq\r(3)，∴S△AOE＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).∵S扇形EOF＝eq\f(120π×22,360)＝eq\f(4π,3)，∴動(dòng)圓不能覆蓋的面積＝3(2×2eq\r(3)－eq\f(4π,3))＝12eq\r(3)－4π.第1題解圖2.8eq\r(3)【解析】如解圖，連接OC、OE，∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴CE＝eq\f(1,2)CD＝2，OE⊥CD.∵OC＝eq\f(1,2)AB＝4，∴OE＝eq\r(OC2－CE2)＝2eq\r(3).過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，則S△ABE＝eq\f(1,2)AB·EH＝4EH.∵EH≤OE，∴當(dāng)EH＝OE，即當(dāng)OE⊥AB時(shí)，△ABE的面積最大，最大值為8eq\r(3).第2題解圖3.eq\f(25,2)【解析】如解圖，連接OP，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB＝90°.∵OE⊥AP，OF⊥BP，∴四邊形OEPF為矩形，AE＝PE＝eq\f(1,2)AP，BF＝PF＝eq\f(1,2)BP，∴S四邊形OEPF＝PE·PF＝eq\f(1,2)AP·eq\f(1,2)BP＝eq\f(1,4)AP·BP＝eq\f(1,4)AB·PH＝eq\f(1,4)×10PH＝eq\f(5,2)PH.∴當(dāng)PH最大時(shí)，四邊形OEPF的面積最大，∵PH≤OP，∴當(dāng)PH＝OP，即當(dāng)OP⊥AB時(shí)，四邊形OEPF的面積最大，此時(shí)PH＝OP＝eq\f(1,2)AB＝5，S四邊形OEPF最大＝eq\f(5,2)PH最大＝eq\f(25,2)，即四邊形OEPF面積的最大值為eq\f(25,2).第3題解圖4.10【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC.∵AE＝DF＝eq\f(1,4)AD，∴EF＝eq\f(1,2)AD.∵EG平分?ABCD的面積，∴AE＝CG＝eq\f(1,4)AD.∴BG＝eq\f(3,4)AD.∵AD∥BC，∴eq\f(BH,FH)＝eq\f(BG,EF)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(BH,BF)＝eq\f(3,5).∵BH＝6，∴BF＝10.5.eq\f(3\r(3),2)【解析】如解圖，連接BD，在△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).∵四邊形ABCD的面積為4eq\r(3)，∴S△ADC＝2eq\r(3).∵E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，∴S△ABE＝S△DBE，S△CFB＝S△DFB，∴S四邊形EBFD＝S△EBD＋S△FBD＝eq\f(1,2)S四邊形ABCD＝2eq\r(3).∵E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)AC，EF∥AC，∴eq\f(S△DEF,S△DAC)＝(eq\f(EF,AC))2＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).∵S△DAC＝2eq\r(3)，∴S△DEF＝eq\f(1,4)×2eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△BEF＝S四邊形EBFD－S△DEF＝2eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).第5題解圖6.eq\r(3)【解析】∵四邊形ABCD是菱形，且∠EAF＝∠B＝60°，∴∠BAC＝∠ACF＝∠B＝60°，AB＝BC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，△ABC是等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，S△ACF＝S△ABE，∴△AEF是等邊三角形，S四邊形AECF＝S△ABC，∴S△CEF＝S△ABC－S△AEF.∵AB＝4，△ABC是等邊三角形，∴S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3)，∴當(dāng)S△AEF最小時(shí)，S△CEF最大．∵當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE＝4sin60°＝2eq\r(3)，S△AEF最小，∴S△AEF最小＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2＝3eq\r(3)，∴S△CEF最大＝4eq\r(3)－3eq\r(3)＝eq\r(3)，即△CEF面積的最大值為eq\r(3).類型三與角度有關(guān)的問題1.4個(gè)【解析】如解圖，在正方形內(nèi)部作∠M＝120°，且BM＝MC，以點(diǎn)M為圓心，BM為半徑畫圓，⊙M與正方形ABCD各邊及對(duì)角線的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，共4個(gè)．第1題解圖2.2或8【解析】如解圖，∵BC＝10，∠BPC＝90°.∴取BC的中點(diǎn)O，則OB＞AB.∴以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑作半圓O，半圓O一定與AD相交于P1、P2兩點(diǎn)，連接P1B、P1O、P1C.∵∠BPC＝90°，點(diǎn)P不能在矩形外，∴△BPC的頂點(diǎn)P在eq\o(BP,\s\up8(︵))1或eq\o(CP,\s\up8(︵))2上．顯然，當(dāng)頂點(diǎn)P在P1或P2位置時(shí)，△BPC的面積最大．過點(diǎn)P1作P1E⊥BC，垂足為E，則P1E＝4，∴OE＝eq\r(52－42)＝3，∴AP1＝BE＝OB－OE＝5－3＝2.由對(duì)稱性，得AP2＝8；綜上所述，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為2或8.第2題解圖3.eq\f(1,3)【解析】如解圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1，由勾股定理可知：AC＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AB＝BC＝CD＝AD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，在Rt△OCD中，tan∠OCD＝