高考數(shù)學(xué)知識方法大全-(理科)

一、集合與簡易邏輯、不等式

1.集合的有關(guān)概念

（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A,記作aeA：若b不屬于集合A,記

作Z?eA.

（3）集合的表示方式：列舉法、描述法、圖示法.

2.常用數(shù)集及記法

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

3.集合間的』底本關(guān)系

表示文字語言記法

關(guān)系'「一

集合間的了集集合A中任意一個元素都是

ARB或33A

基本關(guān)系集合8中的元素

集合是集合的子集，并且

真子集A3AUB或6丫A

B中至少有一個元素不屬于

A

相等集合A中每一個元素都是集

4工5且5口4<=>4=8

合8中的元素，集合8中每一

個元素也都是集合A中的元

素，

空集空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集

0U5且8豐0

集合子集個數(shù)的判定

含有〃個元素的集合，其子集的個數(shù)為2"；真子集的個數(shù)為2"-1（除集合

本身）；非空真子集的個數(shù)為2"-2（除空集和集合本身，此時〃21）.

（1）注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

（2）任何集合的本身是該集合的子集，在列舉時千萬不要忘記.

4.集合的三種基本運算

符號表示圖形表示符號語言

集合的并集AuB8

集合的交集AnB

Ac6={xIX￡A,且X￡母

集合的補集若全集為

u,dA={%1x￡U,MxeA}

則集合A的補

集為11

5.集合的三種基本運算的常見性質(zhì)

⑴AcA=A,Ac0=0,AuA=A,Au0=A.

⑵Ac赧=0,Au〃A=U，膜uA)=A.

(3)AqBoAcB=Ao=QoAc(”)=0

6.命題的概念

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為

真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.

7.四種命題及相互關(guān)系

8.四種命題的真假關(guān)系

⑴兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

⑵兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

判斷命題真假的思路方法

⑴判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別

是什么，把它寫成“若P，則4”的形式，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識，經(jīng)過邏輯

推理或列舉反例來判定.

⑵一個命題要么真，要么假，二者必居其一.當(dāng)一個命題改寫成“若〃，則

4”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：

①若由“p”經(jīng)過邏輯推理，得出“q”，則可判定“若p,則q”是真命題;

②判定“若〃，則4”是假命題，只需舉一反例即可.

寫一個命題的其他三種命題時的注意事項

⑴對于不是“若p,則q”形式的命題，需先改寫為“若p,則〃形式.

(2)若命題有大前提，需保留大前提.

判斷四種命題真假的方法

⑴利用簡單命題判斷真假的方法逐一判斷.

⑵利用四種命題間的等價關(guān)系：當(dāng)一個命題不易直接判斷真假時，可轉(zhuǎn)化為

判斷其等價命題的真假.

9.充分條件與必要條件的概念

若pnq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件

〃是q的充分不必要條件pnq且44p

p是q的必要不充分條件且“4q

poq

〃是4的充要條件

p是9的既不充分也不必要條件P靠q且qp

10.充分條件與必要條件和集合的關(guān)系

p成立的對象構(gòu)成的集合為A,q成立的對象構(gòu)成的集合為3

A^B

〃是q的充分條件

B^A

〃是9的必要條件

〃是q的充分不必要條件AUS

p是q的必要不充分條件BVA

A=B

〃是4的充要條件

充分、必要條件的三種判斷方法

⑴定義法：根據(jù)進行判斷.

(2)集合法：根據(jù)p應(yīng)成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.

⑶等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化

為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“孫

是“戶1或k1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷"x=l且y=l"是"個=1"的何種條

件.

11.命題夕人/pvq、r?的真假判定

Pqp^qprq-P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假!'C

簡記為“pAq兩真才真，一假則假；pvq一真則真，兩假才假；力與p真假相

反”.

判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的關(guān)鍵及步驟

(1)判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的關(guān)鍵是正確理解“或”“且”“非”的含

義，應(yīng)根據(jù)命題中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進行命題結(jié)構(gòu)的分析與真假的判斷.

⑵判斷命題真假的步驟

確定復(fù)合命題判斷其中簡單判斷復(fù)合命題

=i>

的構(gòu)成形式命題的真假的真假

根據(jù)復(fù)合命題真假求參數(shù)的步驟

⑴根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假（有時不一定只有一種情況）；

（2）求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；

⑶根據(jù)給出的復(fù)合命題的真假推出每個命題的真假情況，從而求出參數(shù)的

取值范圍

12.全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞符號表示

全稱量詞所有、一切、任意、全部、V

每一個、任給等

存在量詞存在一個、至少有一個、3

有一個、某個、有些、某

些等

13.全稱命題和特稱命題

名稱全稱命題特稱命題

形式

結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x,

存在M中的一個公,使

有p（x）成立

p（『）成立

簡記

VxeM,/?(x)

否定

玉0w〃，r?(xo)VXGM,-IP(X)

對全（特）稱命題進行否定的方法

全（特）稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題

時：

⑴改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；

（2）否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

［提醒］對于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中的隱含的量詞，改寫成含量詞

的完整形式，再寫出命題的否定.

全（特）稱命題真假的判斷方法

⑴全稱命題真假的判斷方法

①要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x,

證明p（x）成立.

②要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合"中的一個特殊值X=

使〃（X。）不成立即可.

⑵特稱命題真假的判斷方法

要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x=x0,

使〃(尤°)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題.

14.比較兩個實數(shù)大小的方法

\i-h>□<=>?>b(a,bGR)

(1)作差法<a-b=0<=>a=b(a,be/?)

<a-b<0<^>a<b(a,beR)

">1=a>b(ae/?,/?>0)

b

(2)作商法—=1<=>tz=b(aGR.b>0)

b

—<1<=>tz<b(awR,b>0)

b

15.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對稱性a>b<^>b<aQ

傳遞性=>

a>b,b>c^>a>c

可加性a>h<^>a-^-c>h+c=

注意的符號

可乘性a>bc

>nac>be

c>0

a>b

>=>ac<he

c<0

同向可加性a>b'=

>na+c>b+d

c>dj

今

同向同正可乘性a>b>0

>^>ac>hd>0

c>d>0

可乘方性

a>b>0na">b'\ne7V,n>1)a力同為正數(shù)

可開方性

a>h>0=>\[a>y[h(nGN,n>2)

16.不等式的一些常用性質(zhì)

⑴倒數(shù)的性質(zhì)

?a>b,ab>U=L<一.

ah

?a<O<b=>-<-.

ah

?a>b>0,0<c<d=>—>—

cd

④0<a<x<〃或。<x<Z?<0=>—<—.

bxa

(2)有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)

若Q>Z?>0,7?Z>0,貝！J：

g。b+mbb-m..八、

aa+maa-m

a。a+maa-m八、

②一>-----;—<-----(nb-m>0)

bb+mbb-m

⑶比較兩個數(shù)(式)大小的兩種方法

17.三個“二次”之間的關(guān)系

A>0A=0A<0

判別式△=〃-4ac

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象u電義

一元二次方程有兩個相異實根有兩個相等實根沒有實數(shù)根

2b

y=ax+bx+c(a>0)司,%2(玉<X2)玉=工2=一五

的根

一元二次不等式,.b.R

{x\x<xl^tx>x2}3"-五}

ax2+Zzx+c>0(a>0)

的解集

一元二次不等式00

{x\x1<x<x2}

ax2+bx+c<0(a>0)

的解集

18.不等式法+。>0(<。)恒成立的條件

a=b-0a>0,

⑴不等式依2+法+c>0對任意實數(shù)x恒成立Q或，

c>0A<0.

。=或

2aj=0a<0,

(2)不等式ax+bx+c<0對任意實數(shù)x恒成立0屋0A<0.

解一元二次不等式的方法和步驟

⑴化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.

(2)判：計算對應(yīng)方程的判別式.

⑶求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根.

⑷寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.

解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)

⑴二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)

化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式.

(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式A與0的關(guān)系.

⑶確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小

關(guān)系，從而確定解集形式.

⑷解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般地，知道誰的范圍，

就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參

數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

19.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

直線Ax+為+C=0某不包括邊界直線

Ax+By+C>0

一側(cè)的所有點組成的平包括邊界直線

Ax+By+C>0

面區(qū)域

不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分

20.確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法步驟

在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式所對應(yīng)方程表示

畫線一的直線(注意不等式中有無等號，無等號時直線畫

成虛線，有等號時直線畫成實線)

蔣窠不應(yīng)偵卷直麗應(yīng)而蔣深菽而一至藤布工示毒

式，根據(jù)“同側(cè)同號，異側(cè)異號”的規(guī)律確定不等式

定側(cè)一

所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè).若直線不過

原點，特殊點常選取原點

著早商反酸是由示等品通澳蔻面湎茬瑜走亍否不

|求“交”一r

I不等式所表示的區(qū)域后，再求這些區(qū)域的公共部分

解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟

⑴畫出不等式組表示的平面區(qū)域；

(2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點坐標(biāo)、圖形的邊長、相關(guān)線段的長(三

角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)

則圖形則利用割補法求解.

21.線性規(guī)劃中的基本概念

名稱意義

約束條件

由變量組成的不等式(組)

線性約束條件

由尤,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)

目標(biāo)函數(shù)

關(guān)于的函數(shù)解析式，如z=2x+3y等

線性目標(biāo)函數(shù)

關(guān)于x,y的一次函數(shù)解析式

可行解

滿足線性約束條件的解(x,y)

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題

22.簡單線性規(guī)劃問題的圖解法

在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括

為“畫、移、求、答”.即

[一二茬竄而近扁圣麻案中荷出苛行反而近端工工正三

I-，0(月標(biāo)函數(shù)為：=ar+/,;y);

J■奔花直線ux+by—==ar+勾取箱益無

牛一：值或最小值的點

泳出畫;=1,后取木汨天而立應(yīng)不而而看而西碌

南一一羽麗系葡函一篇而定編訴蔡...............]

求解線隹目標(biāo)函藪最殖的常?用療法

線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般

的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，

然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域

不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.

非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及求法

(1)距離平方型：目標(biāo)函數(shù)為z=(x-a)2+(y-b)2時，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點

(x,y)與點(a,b)之間的距離的平方求解.

(2)斜率型：對形如z="*(acwO)型的目標(biāo)函數(shù)，可利用斜率的幾何意義

cx+d

來求最值，即先變形為z=3.----%的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x,y)

c

c

與點(-4,-2)連線的斜率的色倍的取值范圍、最值等.

cac

(3)點到直線距離型：對形如z=|Ax+B)，+c|型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為

z=VA2+B2.空+&+a的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x,y)到直線

VA2+B2

Ar+5)，+C=0的距離的y/A2+B2倍的最值.

求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法

⑴把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)

函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍；

(2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件,

確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù).

求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個注意點

⑴明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷3束條件是否能夠取到等

號.

(2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)的取值范圍，特別注

意分析是否為整數(shù)、是否為非負數(shù)等.

⑶正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式.

23.基本不等式V^<—

2

⑴基本不等式成立的條件：a>0,h>0

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。時取等號.

24.幾個重要的不等式

(l)a2+b2>lab,a,be7?;

(2)-+->2,a/j>0;

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=8時等號成立.

(3)ab<e/?;

,ci~+b~a+b2in

(4)―-->a,beR

22

25.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)。>0,。>0,則a,匕的算術(shù)平均數(shù)為小心，幾何平均數(shù)為瘋，基本不等

2

式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

26.利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>0,則:

⑴如果積外是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值是24.(簡記：積

定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，肛有最大值是《.(簡記：和

定積最大)

通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法

求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：

⑴拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,

做到等價變形；

(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；

(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.

常數(shù)代換法求最值的方法步驟

常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題.應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為:

⑴根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；

(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；

⑶把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形

式；

(4)利用基本不等式求解最值.

通過消元法利用基本不等式求最值的方法

消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函

數(shù)的最值求解.有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解.

利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的三個注意點

⑴設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的

最值.

(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值

范圍)內(nèi)求解.

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合設(shè)是兩個非空的數(shù)集設(shè)是兩個非空的集合

對應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)如果按某一個確定的對應(yīng)

f：A^B系/，使對于集合A中的任意關(guān)系/，使對于集合A中

一個元素X,在集合B中都有的任意一個數(shù)x,在集合B

唯一確定的數(shù)/(X)和它對應(yīng)中都有唯一確定的元素》

與之對應(yīng)

名稱

稱為從集合A到稱對應(yīng)/:A->6為從集

集合B的一個函數(shù)合A到集合B的一個映射

記法

y=/(x),xeA對應(yīng)f:A—B

2.函數(shù)的有關(guān)概念

⑴函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍

A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合

{/(x)|xwg叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

⑶相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，

這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

3.常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求

⑴分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

⑶一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)〉=%的定義域是{x|xr0}.

⑸y="(a>0且a/1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.

(6)^=108〃％3>0且4/1)的定義域為(0,+°°).

⑺y=tanx的定義域為1x|x聲版?+g%ez}.

函數(shù)的定義域問題注意

⑴不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化.

(2)當(dāng)一個函數(shù)由有限個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域一

般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集.

⑶定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，

而應(yīng)該用并集符號“U”連接.

4.對于抽象函數(shù)定義域的求解

⑴若已知函數(shù)/(x)的定義域為［a,目，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由不等式

g(%)〈〃求出；

⑵若已知函數(shù)/（g（x））的定義域為［a,句，則/（X）的定義域為g（x）在同上

的值域.

函數(shù)/（g（x））的定義域指的是X的取值范圍，而不是g（x）的取值范圍?

5.求函數(shù)解析式的四種方法

:由已知條件/（g&））="%）,可將改

法一

*寫成關(guān)于g（X）的表達式，然后以H普代gG）,

配為法:便得/（N）的解析式

:諭3首加;誦盲嬴而啟女:不

：，=gG）.從中求出戶＞（，），然后代入表達式

換元法「求出/（，），再將，換成工，得到〃幻的解析式，

j要注意新元的取值范圍

fits而番行花謔策應(yīng)而補訴關(guān);而前ii而海天

法三:的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程（蛆）,

|待定系政法i

;通過解方程（組）求出相應(yīng)的特定系數(shù)

___________________________________

后而買求7乙5營元工丁玩7?二3而裹欣羨：

法四

；可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式41成

I解方程組法［

:方程組，通過解方程求出/（X）

6.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,

這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).

分段函數(shù)求值的解題思路

求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入

該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)了（/（幻）的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

求分段函數(shù)自變量的值或范圍的方法

求某條件下自變量的值或范圍，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間

的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值或范圍，切記代入檢驗，看所求的自變量的

值或范圍是否滿足相應(yīng)各段自變量的取值范圍.

7.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)

間。上的任意兩個自變量公々

當(dāng)弓＜工2時，都有/（X|）＜/（X2），當(dāng)藥＜々時，都有

那么就說函數(shù)/（x）在區(qū)間D上是/（x,）＞/（x2）,那么就說函

增函數(shù)

數(shù)/（X）在區(qū)間D上是減函

數(shù)

圖象描述內(nèi)(*)

4)

優(yōu)/孫X()]＜1勺X

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

8.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)在這一

區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

9.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則

若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函

數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).即“同增異減”.

10.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

⑴若/(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則/(x)+g(x)也是區(qū)間A上的

增(減)函數(shù)，更進一步，即增+增=增，增一減=增，減+減=減，減一增=減；

(2)若無＞0,則4。)與/(幻單調(diào)性相同；若左＜0,則/(X)與/㈤單調(diào)性相

反；

(3)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y=/(x)(/(x)#0)與y=—/(x),y=』—單調(diào)性

fM

相反；

(4)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y=/(x)(/(x)N0)與y=單調(diào)性相同；

⑸奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對

稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.

函數(shù)的單調(diào)性注意

⑴單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則.

(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間

應(yīng)分開寫，不能用并集符號“U”連接，也不能用“或”連接.

(3)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，所以不能僅僅根據(jù)某

個區(qū)間內(nèi)的兩個特殊變量看,%對應(yīng)的函數(shù)值的大小就判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)

性，必須保證這兩個變量是區(qū)間內(nèi)的任意兩個自變量.

用單調(diào)性求解與抽象函數(shù)有關(guān)不等式的策略

(1)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“/”符

號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.

(2)有時，在不等式一邊沒有符號時，需轉(zhuǎn)化為含符號的形式.如

若已知f(a)=0,f(x-b)<0,則f(a).

11.函數(shù)白勺最值

前提

設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為/,如果存在實數(shù)"滿足

條件

對于任意xel,都有存在小€/,使得

對于任意xe/,都有；

存在/e/,使得/Oo)=A/

結(jié)論M為最大值M為最小值

12.函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論

⑴閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)

時最值一定在端點處取到.

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大或最小值.

13.利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)最值的步驟

(1)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性；

(2)計算端點處的函數(shù)值；

(3)確定最大值和最小值.

14.分段函數(shù)的最值

由于分段函數(shù)在定義域不同的子區(qū)間上對應(yīng)不同的解析式，因而求其最值的

常用方法是先求出分段函數(shù)在每一個子區(qū)間上的最值，然后取各區(qū)間上最大值中

的最大者作為分段函數(shù)的最大值，各區(qū)間上最小值中的最小者作為分段函數(shù)的最

小值.

15.求函數(shù)最值［的五種常用方法

方法步驟

單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值

圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值

基本不等式先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基

法本不等式求出最值

導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求

出最值

換元法對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的

方法求最值

16.函數(shù)的奇偶性

奇函數(shù)偶函數(shù)

定義

一般地，如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X

者6有.〃一x)=—/(月，那者B有/(―x)=/(x)，那么

么

函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

圖象特征關(guān)于原點對稱

關(guān)于y軸對稱

17.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論

⑴如果函數(shù)/(幻是偶函數(shù),那么/(%)=/(|x|).

(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)

間上具有相反的單調(diào)性.

⑶在公共定義域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇乂奇=偶，偶乂偶=偶，

奇x偶=奇

判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法

⑴定義法：

虛)

(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱.

18.周期函數(shù)

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何

值時，都有/(x+T)=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函

數(shù)的周期.

19.最小正周期

如果在周期函數(shù)/(幻的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正

數(shù)就叫做/(幻的最小正周期.

20.利用函數(shù)的周期性求值或范圍

周期函數(shù)y=/(x)滿足：

⑴若/(x+a)=/(x—a),則函數(shù)的周期為2a；

⑵若/(x+a)=-/(x),則函數(shù)的周期為2a；

(3)若/(》+。)=一上，則函數(shù)的周期為2a；

/(x)

⑷若，(x+a)=/—,則函數(shù)的周期為2a；

f(x)

⑸若函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=a與x=bx=a與x=b對稱，那么函數(shù)/(x)的

周期為2屹-。|；

⑹若函數(shù)/(幻關(guān)于點30)對稱，又關(guān)于點S,o)對稱，則函數(shù)/(幻的周期

是2屹-。|；

⑺若函數(shù)/(幻關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點(仇0)對稱，則函數(shù)/(力的周

期是4\b-a\；

⑻若函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=”對稱，則其周期為2a；

(9)若函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則其周期為4a.

21.幕函數(shù)的定義

形如y=x"(aeR)的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù).對于累

函數(shù)，只討論a=l,2,3」,T時的情形.

2

22.五種幕函數(shù)的圖象

23.五種塞函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)性y=x

y=x2y=x3y=x-1

質(zhì)y=x^

定義域RRR[0,+8)(―8,0)U(0,+°0)

值域R[0,+8)R[0,+8)(―8,o)u(0,+°°)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

單調(diào)性增x￡[0,+8)時，增增xE(0,+8)時,減；

增；X《(—8,0)時，減

xe(-oo,o]時，減

募函數(shù)圖象的規(guī)律

⑴幕函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是

否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性；

(2)基函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；

(3)如果幕函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點；

(4)當(dāng)a為奇數(shù)時，基函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；當(dāng)a為偶數(shù)時，累函數(shù)的圖

象關(guān)于y軸對稱.

24.基函數(shù)的性質(zhì)

⑴累函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

(2)幕函數(shù)的圖象過定點(1,1)；

(3)當(dāng)a>0時，基函數(shù)的圖象都過點(1,1)和。0)，且在9,+8)上單調(diào)遞增；

(4)當(dāng)a<0時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1)，且在(0，+8)上單調(diào)遞減；

(5)當(dāng)a為奇數(shù)時，嘉函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)a為偶數(shù)時，事函數(shù)為偶函數(shù).

幕值大小比較的常見類型及解題策略

(1)同底不同指，可以利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行比較.

(2)同指不同底，可以利用幕函數(shù)單調(diào)性進行比較.

(3)既不同底又不同指，常常找到一個中間值，通過比較兩個基值與中間值的

大小來判斷兩個嘉值的大小.

25.二次函數(shù)解析式的三種形式

b

(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a^0),圖象的對稱軸是x=------，頂點坐標(biāo)

2a

是

(2)頂點式：f(%)=a(x-m)2+n(a0),圖象的對稱軸是％=〃?，頂點坐標(biāo)是

(m,n)；

⑶零點式：f(x)=a(x-xt)(x-x2)(a^0),其中是方程+公+c=0

的兩根’圖象的對稱軸是戶詈?

26.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

6Z>0?<0

f(x)=ax2+bx-\-c

圖象O.

TV

定義域R

值域22

Aac-b、z4ac-b,

[—-——，+8)Y，/J

4。4。

奇偶性

0=0時為偶函數(shù)，8NO時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

單調(diào)性

A

在(-00,-2］上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，

2a

b

在［2,+00)上單調(diào)遞增在［2,+8)上單調(diào)遞減

2a2a

最值

22

、,，bR4ac-h、i，〃14ac-h

當(dāng)％=c時，?min=/3%=----------時，'max=-------------------

2a4。2amax4〃

求二次函數(shù)解析式的方法

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下:

憶知I

27.二次函數(shù)的圖象

確定二次函數(shù)的圖象，主要有以下三個要點：

一看U-三版質(zhì)素應(yīng)而存寶與“仁三面苗薪晶涵:

符號—!開口方向：

原二二二二二二二二二二二二二、

二看而需麻腦欣而，它就定亍二秘函藪鹵象曲:

對稱軸一;具體位置

I_、________________________________./

仁三廣：看函數(shù)圖象上的一些特殊點，如函數(shù)圖象與：

《康L—y軸的交點、與，軸的交點，函數(shù)帕象的被高：

I材冰叼：<.點..或..最.低..點..等.........................?

從這三方面入手，能準(zhǔn)確地判斷出二次函數(shù)的圖象.反之，也可以從圖象中

得到如上信息.

28.二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)的最值問題主要有三種類型：“軸定區(qū)間定”、“軸動區(qū)間定”、“軸

定區(qū)間動”.解決的關(guān)鍵是弄清楚對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，要結(jié)合函數(shù)圖象，依據(jù)

對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論.設(shè)/(x)=o?+法+c(a>()),則二次函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間1加,〃］上的最大值、最小值有如下的分布情況:

對稱軸與bb

bm<-----<幾,-----<m<n,

區(qū)間的關(guān)m<n<-----,2a2a

2a

系

即----e(m.n)HP--e(—oo,m)

即--e(H,+oo)2a2a

2a

圖象

lx(])\munxL

最值

/(X)max=f(m)，/(X)max=max"(加),/(〃)}/(?max=/(〃)，

/(X)min=/(?)h/(?min=/(附

/Wmin=/(--)

2a

29.根式

⑴根式的概念

若x"=a,則x叫做a的〃次方根，其中〃>1且“GN*.式子標(biāo)叫做根式,

這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(2)a的〃次方根的表示

x=折'(當(dāng)〃為奇數(shù)且〃>1時)

x"=a=〈_

x=土麻(當(dāng)〃為偶數(shù)且〃>1時)

30.有理數(shù)指數(shù)募

幕的有關(guān)概念

正分數(shù)指數(shù)幕：an=\[cT(4i>O,m,A2G>1)

負分數(shù)指數(shù)基：a〃=

an

0的正分數(shù)指數(shù)累等于0,。的負分數(shù)指數(shù)累無意義

有理數(shù)指數(shù)幕aras=ar+s(a>0,r,seQ)

的性質(zhì)

(arY=ars(a>0,r,SEQ)

(ab)r=a'br(a>0,h>0,r&Q)

31.指數(shù)幕的運算規(guī)律

⑴有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算.

⑵先乘除后加減，負指數(shù)幕化成正指數(shù)曙的倒數(shù).

⑶底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，

先化成假分數(shù).

(4)若是根式，應(yīng)化為分數(shù)指數(shù)累，盡可能用事的形式表示，運用指數(shù)累的運

算性質(zhì)來解答.

32.指數(shù)函數(shù)的圖象

函數(shù)

y=ax(a>0,且awl)

O<￡Z<1a>\

33.指數(shù)函數(shù)圖象畫法的三個關(guān)鍵點

畫指數(shù)函數(shù)丁=火彼0且醉的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：

（la）,（0-,^-）

34.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)⑴y=ax,（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=d"的圖象,底數(shù)

a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d〉l〉a>。

由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右（左）側(cè)圖象越高（低），其底數(shù)越大.

35.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)

y-a\a>Q,且awl)

0<a<la>\

一

性定義域R

質(zhì)值域(0,+°°

單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)

函數(shù)值變當(dāng)％=0時，，y=l

化規(guī)律

當(dāng)x<0時，y>1;當(dāng)％<0時,0<y<1;

當(dāng)x>