新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題38橢圓及其性質(zhì)(原卷版+解析)

專題38橢圓及其性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．知識點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點(diǎn)）（為切點(diǎn)）對于過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【方法技巧與總結(jié)】（1）過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．距離的最大值為，距離的最小值為．（2）橢圓的切線①橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；②過橢圓外一點(diǎn)，所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：橢圓方程的充要條件題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換方向2：利用與建立一次二次方程不等式方向3：利用最大頂角滿足方向4：坐標(biāo)法方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理方向7：利用基本不等式方向8：利用焦半徑的取值范圍為．方向9：利用橢圓第三定義．題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題題型八：利用第一定義求解軌跡【典例例題】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（

）A．13 B．1 C．7 D．5【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長為4，短軸長為2，焦點(diǎn)在y軸上；(2)經(jīng)過點(diǎn)，；(3)一個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)頂點(diǎn)為；(4)一個(gè)焦點(diǎn)為，長軸長為4；(5)一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為；(6)一個(gè)焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為6，2.例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為了使橢圓C的方程為，可以再添加一個(gè)條件：______．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.例6．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)（文））如圖，?分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Р在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是（

）A． B． C． D．題型二：橢圓方程的充要條件例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“"是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【方法技巧與總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.例8．（2023·江西·模擬預(yù)測（理））“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為3與5的等差中項(xiàng)，為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對曲線描述錯誤的是（

）A．曲線可表示為焦點(diǎn)在軸的橢圓 B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線C．曲線可表示為離心率是的橢圓 D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于橢圓：，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：的焦距為6；丁：的焦點(diǎn)在軸上.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁例11．（2023·全國·高三階段練習(xí)）“”是“曲線：（）是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【方法技巧與總結(jié)】焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定義，即.例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)在橢圓上，若則的大小為___．例14．（多選題）（2023·河北·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓上，且，則下列說法正確的是（

）A．不存在點(diǎn)，使得 B．滿足為等腰三角形的點(diǎn)有2個(gè)C．若，則 D．的取值范圍為例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．例17．（2023·四川成都·高三階段練習(xí)（理））已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6例18．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校一模（理））設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點(diǎn)Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（

）A． B． C． D．例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））橢圓的焦點(diǎn)為，，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則（

）A．1 B． C． D．2例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．例21．（2023·安徽淮北·一模（理））為橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是____________．例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長的最小值為______．例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長為______．例24．（2023·重慶一中高三期中）在中，點(diǎn)，，點(diǎn)C在橢圓上，則的周長為____________．例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積等于_______.例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:的焦點(diǎn)為，，第一象限點(diǎn)P在C上，且，則的內(nèi)切圓半徑為_________.例27．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，若的面積為1，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.例28．（2023·陜西·西安交大第二附屬中學(xué)南校區(qū)高二期末（理））已知為橢圓上一點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，，則______．例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為__________.例30．（2023·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，延長交橢圓于點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A． B． C． D．題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題例31．（多選題）（2023·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動點(diǎn)（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3【方法技巧與總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點(diǎn)，求的取值范圍．例33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，則的最大值為______.例34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，為橢圓C上任意一點(diǎn)，則的最小值為______．例35．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測（文））已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動，求的最小值為___．例36．（2023·上海市市北中學(xué)高三期中）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上任意一點(diǎn)到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離恒大于1，則t的取值范圍為__________．例37．（2023·河北石家莊·一模）設(shè)點(diǎn)是橢圓：上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，且直線與圓相切，則的最小值是______.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題例38．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點(diǎn)，則的最大值為___．【方法技巧與總結(jié)】在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．例39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（），設(shè)點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓上一動點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．例40．（2023·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為________．例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則取最大值時(shí)，直線的斜率為________例42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓上一動點(diǎn)P分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為________．例43．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓C上一動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，4)，則|PA|－|PF|的最小值為________．例44．（2023·重慶·高三階段練習(xí)（文））點(diǎn)在橢圓上，的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，則的最小值為____________例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn)，則的最小值為___________.題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換例46．（2023·重慶八中高三開學(xué)考試（理））設(shè)橢圓E:1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),點(diǎn)A(﹣c,c)為橢圓E內(nèi)一點(diǎn),若橢圓E上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]例47．（2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．例48．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與相交于兩點(diǎn)（在第一象限）.若四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例49．（2023·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為______.例51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，AB是橢圓過點(diǎn)的弦，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為，，且，則橢圓的離心率為___________.例52．（2023·山東·青島二中高三期末）已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．例53．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的上頂點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，連接，并延長交橢圓于另一點(diǎn)P，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例54．（2023·山西太原·一模（理））設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．例55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為_____________．方向2：利用與建立一次二次方程不等式例56．（2023·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是（

）A．或 B． C． D．或例57．（2023·江西·高三開學(xué)考試（文））設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．例58．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））已知是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．例59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．例60．（2023·貴州·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，且四邊形的面積為（c是橢圓C的半焦距），則橢圓C的離心率是（

）A． B． C． D．例61．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓以為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在橢圓上，且過右焦點(diǎn)，，若，則該橢圓離心率是（

）A． B． C． D．例62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓）的左?右焦點(diǎn)分別為和為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．方向3：利用最大頂角滿足例63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．例64．（2023·北京豐臺二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.例65．（2023·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．方向4：坐標(biāo)法例66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例67．（2023·河南洛陽·三模（文））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，的平分線與軸交于點(diǎn)，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.例68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例69．（2023·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理例70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例71．（2023·河北廊坊·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在上，則的離心率為________.例72．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例73．（2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理例74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．例75．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為()A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)例76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．例77．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．例78．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．方向7：利用基本不等式例79．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例80．（2023·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例81．（2023·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.例82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.方向8：利用焦半徑的取值范圍為．例83．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．例84．（2023·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.例85．（2023·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為______.例86．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例87．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在橢圓C上，若，則該橢圓的離心率不可能是（

）A． B． C． D．例88．（2023·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．方向9：利用橢圓第三定義．例89．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．例90．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．例91．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題例92．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長軸長為（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，，軸長軸長，短軸長離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）例93．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓為其左焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若（為原點(diǎn)），則橢圓的長軸長等于（

）A．6 B．12 C． D．例94．（2023·湖南湖南·二模）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，的周長為16，則___________.例95．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的焦距為4，則m的值為___________.例96．（2023·貴州省思南中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的焦點(diǎn)為，，橢圓上的動點(diǎn)坐標(biāo)在第一象限，且為銳角，的取值范圍為__________．例97．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓滿足，長軸上2021個(gè)等分點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在x軸上方；過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在x軸上方；以此類推，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在x軸上方；則4042條直線的斜率乘積為___________．題型八：利用第一定義求解軌跡例98．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是兩個(gè)定點(diǎn)且的周長等于則頂點(diǎn)的軌跡方程為______．例99．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)定點(diǎn)，且（是正常數(shù)），動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線【方法技巧與總結(jié)】常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.例100．（2023·貴州遵義·高三開學(xué)考試（文））已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例101．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）平面上，動點(diǎn)M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是（

）A．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為4B．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6C．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6D．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為8例102．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，M是橢圓上任意一點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，則動點(diǎn)P的軌跡的方程為______．例103．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知、動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程_______．例104．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：，動圓同時(shí)與圓外切和圓內(nèi)切，則動圓的圓心的軌跡方程為________．例105．（2023·全國·高三專題練習(xí)）動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，則動點(diǎn)的軌跡方程是___________.例106．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為____________.例107．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上任意一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是________．例108．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，|CP|=2，動點(diǎn)C的軌跡方程為___________.例109．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一動圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．例110．（2023·遼寧·沈陽二中高三階段練習(xí)（理））一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.例111．（2023·江西宜春·高三階段練習(xí)（文））已知定點(diǎn),直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則動點(diǎn)的軌跡方程為_______．例112．（2023·廣東湛江·一模（理））已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)為動點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，則動點(diǎn)的軌跡方程是______．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，若的周長為16，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知集合關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根方程表示橢圓，則（

）A． B．點(diǎn)C． D．4．（2023·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，以為圓心的圓與直線恰好相切于點(diǎn)P，則是（

）A． B． C． D．5．（2023·湖南·高三開學(xué)考試）明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）?（2）?（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別，設(shè)圖（1）?（2）?（3）中橢圓的離心率分別為，則（

）A． B．C． D．6．（2023·江西·高三階段練習(xí)（文））設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)B在C上，若，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（

）A． B．，C． D．，8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上不同于、的任一點(diǎn)，若將的三個(gè)內(nèi)角記作、、，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知為橢圓的焦點(diǎn)，，分別為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)（且不是離最近的那個(gè)頂點(diǎn)），若，，則橢圓的離心率可以為（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線C的離心率可以是（

）A． B． C． D．211．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上.若是直角三角形，則的面積為（

）A． B． C．4 D．212．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為上一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長為C． D．三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長為的橢圓方程是________.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的焦點(diǎn)為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，以，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)恰好也在橢圓上，則______．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，直線和的斜率分別為、，寫出一個(gè)滿足的橢圓的方程：___________.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）因?yàn)檎切蝺?nèi)角余弦值為，所以有人將離心率為的橢圓稱為“正橢圓”.已知“正橢圓”C：的上下頂點(diǎn)分別為，且“正橢圓”C上有一動點(diǎn)P（異于橢圓的上下頂點(diǎn)），若直線的斜率分別為，則為______.四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為20，半焦距長為6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸的交點(diǎn)分別為，，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點(diǎn)與平面上點(diǎn)，的距離之和等于.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線的方程.20．（2023·黑龍江·佳木斯一中三模（理））已知橢圓，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線BF與橢圓交于另一點(diǎn)Q，且，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，，M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線與直線交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn).證明：是等腰三角形.專題38橢圓及其性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．知識點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點(diǎn)）（為切點(diǎn)）對于過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【方法技巧與總結(jié)】（1）過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．距離的最大值為，距離的最小值為．（2）橢圓的切線①橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；②過橢圓外一點(diǎn)，所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：橢圓方程的充要條件題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換方向2：利用與建立一次二次方程不等式方向3：利用最大頂角滿足方向4：坐標(biāo)法方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理方向7：利用基本不等式方向8：利用焦半徑的取值范圍為．方向9：利用橢圓第三定義．題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題題型八：利用第一定義求解軌跡【典例例題】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（

）A．13 B．1 C．7 D．5答案：D【解析】橢圓方程為：，由橢圓定義可知：，故故選：D【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長為4，短軸長為2，焦點(diǎn)在y軸上；(2)經(jīng)過點(diǎn)，；(3)一個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)頂點(diǎn)為；(4)一個(gè)焦點(diǎn)為，長軸長為4；(5)一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為；(6)一個(gè)焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為6，2.【解析】（1）由題設(shè)，，又焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)橢圓方程為，又，在橢圓上，所以，即，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由題設(shè)，，則，又焦點(diǎn)為所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（4）由題設(shè)，，則，又焦點(diǎn)為所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（5）由題設(shè)，，則，，又焦點(diǎn)為所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（6）由題設(shè)，，則，故，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為或.例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．答案：【解析】所求橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，則其焦點(diǎn)在y軸上，半焦距c有c2=25-9=16，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，即，聯(lián)立兩個(gè)方程得，即，解得b2=4，則a2=20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為了使橢圓C的方程為，可以再添加一個(gè)條件：______．答案：橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為10（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，，并且焦點(diǎn)在軸，若使橢圓方程為，只需，所以可添加條件“橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為10”.故答案為：橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為10（答案不唯一）例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.答案：【解析】因?yàn)樗髾E圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在軸上，且.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)椋?，故①，又點(diǎn)在所求橢圓上，所以②由①②得，，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例6．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)（文））如圖，?分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Р在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由于是面積為的正三角形，所以且，則，代入橢圓方程得，解得.故選：A題型二：橢圓方程的充要條件例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“"是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】因?yàn)榉匠?=1表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得，故“”是“方程+=1表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：B【方法技巧與總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.例8．（2023·江西·模擬預(yù)測（理））“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：D【解析】[解法一]方程即方程，表示橢圓的充分必要條件是,顯然“，”是“”既不充分也不必要條件，故“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，[解法二]當(dāng)時(shí)，滿足“，”，此時(shí)題中方程可化為：,表示的曲線是圓而不是橢圓，當(dāng)時(shí)，不滿足“，”，只是題中方程可化為：,表示中心在原點(diǎn)，半長軸為1，半短軸為的橢圓，故：“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，故選：例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為3與5的等差中項(xiàng)，為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對曲線描述錯誤的是（

）A．曲線可表示為焦點(diǎn)在軸的橢圓 B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線C．曲線可表示為離心率是的橢圓 D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線答案：B【解析】由為3與5的等差中項(xiàng)，得，即，由為4與16的等比中項(xiàng)，得，即，則曲線的方程為或．其中表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，此時(shí)它的離心率，故A正確，C正確；其中表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，焦距為，漸近線方程為，故B不正確，D正確．故選：B例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于橢圓：，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：的焦距為6；?。旱慕裹c(diǎn)在軸上.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案：A【解析】當(dāng)甲乙為真命題時(shí)，橢圓方程為，橢圓的焦距為：，且焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)丙和丁都是假命題，不符合題意，因此甲和乙有一個(gè)是假命題．當(dāng)乙，丙和丁是真命題時(shí)，，，，此時(shí)橢圓方程為：，符合題意，故甲是假命題．故選：．例11．（2023·全國·高三階段練習(xí)）“”是“曲線：（）是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件答案：C【解析】因?yàn)椋ǎ┦墙裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以,解得：，由可得成立，反之不能推出成立.所以”是“曲線：（）是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件．故選：C．題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6答案：C【解析】由橢圓可得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，最大值為9.故選：C．【方法技巧與總結(jié)】焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定義，即.例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)在橢圓上，若則的大小為___．答案：【解析】，．在中，，．故答案為：.例14．（多選題）（2023·河北·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓上，且，則下列說法正確的是（

）A．不存在點(diǎn)，使得 B．滿足為等腰三角形的點(diǎn)有2個(gè)C．若，則 D．的取值范圍為答案：CD【解析】根據(jù)題意:可得，的最小值為1，所以，則，所以橢圓方程當(dāng)為該橢圓頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí),所以存在點(diǎn)，使得，故A錯誤；當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上，下頂點(diǎn)時(shí)，滿足為等腰三角形，又因?yàn)?，，所以滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，同理，滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，故B錯誤.若，則，所以C正確.因?yàn)?分析可得，，所以D正確.故選:CD.例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9答案：A【解析】因?yàn)椋?，又記，則，②2-①整理得：，所以故選：A例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，，又，解得，.故選：A.例17．（2023·四川成都·高三階段練習(xí)（理））已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6答案：C【解析】由橢圓可得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，最大值為，故選：C．例18．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校一模（理））設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點(diǎn)Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由橢圓的定義，，由余弦定理有：，化簡整理得：，又，由以上兩式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，所以.故選：B.例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））橢圓的焦點(diǎn)為，，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則（

）A．1 B． C． D．2答案：C【解析】在橢圓中，，，.易知.又，所以為等邊三角形，即，所以，即.故選：C.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，橢圓方程，可得，所以焦點(diǎn)，又由橢圓的定義，可得，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理可?所以，解得，又由，所以.故選:C．例21．（2023·安徽淮北·一模（理））為橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是____________．答案：【解析】由題意，圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，圓的半徑為，因?yàn)闉閳A的任意一條直徑，，由橢圓的定義可得，所以．故答案為：例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長的最小值為______．答案：10【解析】橢圓的方程為，∴，，，連接，，則由橢圓的中心對稱性可得的周長，當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，．故答案為：10例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長為______．答案：【解析】橢圓，所以，即、，直線過左焦點(diǎn)，所以，，，所以；故答案為：例24．（2023·重慶一中高三期中）在中，點(diǎn)，，點(diǎn)C在橢圓上，則的周長為____________．答案：16【解析】由橢圓方程可知，，，則，即、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以的周長為.故答案為：16.例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積等于_______.答案：【解析】由，且，在中，∠.故答案為：例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:的焦點(diǎn)為，，第一象限點(diǎn)P在C上，且，則的內(nèi)切圓半徑為_________.答案：【解析】由已知條件得，，，則（－1，0），（1，0）.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），則，，即①，∵第一象限點(diǎn)P在C上，∴則，即②，聯(lián)立解得由橢圓的定義得設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則又∵，∴，即.故答案為：例27．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，若的面積為1，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.答案：【解析】由已知，解得，故右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：例28．（2023·陜西·西安交大第二附屬中學(xué)南校區(qū)高二期末（理））已知為橢圓上一點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，，則______．答案：【解析】由已知得，，所以，從而，在中，，即，①由橢圓的定義得，即，②由①②得，所以.故答案為：例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為__________.答案：【解析】易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)闄E圓方程為，所以，，此時(shí)，，滿足，所以為等腰直角三角形，所以．故答案為：例30．（2023·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，延長交橢圓于點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可知的面積為，故，在中，設(shè)，由余弦定理可得，即，則，所以的面積，即，所以，即，由于，．又．所以△的是等邊三角形，即，由橢圓的定義可得，即有則，則，則，，則．故選：．題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題例31．（多選題）（2023·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動點(diǎn)（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3答案：ABD【解析】對于，由橢圓的方程可知，橢圓焦點(diǎn)在軸上，故正確；對于，因?yàn)?，而的周長為，故B正確；對于，因?yàn)椴辉谳S上，所以，所以的取值范圍為，故C不正確；對于，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，則，所以的最大值為.設(shè)，則，且，而，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.【方法技巧與總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】由橢圓方程可得，則，如圖所示：設(shè)銳角，在中，，因?yàn)椋?，故，所?故答案為：.例33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，則的最大值為______.答案：【解析】橢圓的右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，即，且，于是得，因，則當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：例34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，為橢圓C上任意一點(diǎn)，則的最小值為______．答案：1【解析】由橢圓C：知：，故，所以，所以，的最小值為.故答案為：例35．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測（文））已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動，求的最小值為___．答案：1【解析】因?yàn)槭菣E圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.所以.即的最小值為1.故答案為：1例36．（2023·上海市市北中學(xué)高三期中）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上任意一點(diǎn)到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離恒大于1，則t的取值范圍為__________．答案：【解析】由題意得，即，解得，故答案為：例37．（2023·河北石家莊·一模）設(shè)點(diǎn)是橢圓：上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，且直線與圓相切，則的最小值是______.答案：【解析】由題可知，＝1，設(shè)，，，則，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題例38．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點(diǎn)，則的最大值為___．答案：9【解析】根據(jù)題意可得：則點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，取橢圓的右焦點(diǎn)∴，即∵，即點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AF的延長線上時(shí)，等號成立.故答案為：9．【方法技巧與總結(jié)】在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．例39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（），設(shè)點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓上一動點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解析】如圖，過點(diǎn)A作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N，與橢圓交于點(diǎn)M．∵橢圓的離心率，∴由第二定義得，的最小值為|AN|的長，且，的最小值為10，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．例40．（2023·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為________．答案：【解析】由題,設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點(diǎn)為.又,.故,當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長線上時(shí)取等號.此時(shí)最大值為.故答案為：.例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則取最大值時(shí)，直線的斜率為________答案：1【解析】如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為．由題意可得：，，．由橢圓的定義可得：，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線時(shí)，即運(yùn)動到圖中點(diǎn)取等號）．故答案為：1．例42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓上一動點(diǎn)P分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為________．答案：【解析】，，，易知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，根據(jù)橢圓定義，設(shè)，則，即，則，當(dāng)時(shí)，取到最小值．故答案為：例43．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓C上一動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，4)，則|PA|－|PF|的最小值為________．答案：1【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，則|PF|＋|PF′|＝4，所以|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝＝5，所以|PA|－|PF|的最小值為1.故答案為：1.例44．（2023·重慶·高三階段練習(xí)（文））點(diǎn)在橢圓上，的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，則的最小值為____________答案：【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義可得，，所以，由得，即圓的圓心為，半徑為，作出圖形如下：由圓的性質(zhì)可得，，（當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，等號成立.）故答案為：.例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn)，則的最小值為___________.答案：4【解析】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為，依題意，，由橢圓的定義得：，而，即，有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段的延長與橢圓C的交點(diǎn)時(shí)取“=”，所以的最小值為4.故答案為：4題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換例46．（2023·重慶八中高三開學(xué)考試（理））設(shè)橢圓E:1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),點(diǎn)A(﹣c,c)為橢圓E內(nèi)一點(diǎn),若橢圓E上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]答案：D【解析】如圖：設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以由，所以，所以，即，所?因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，所以，所以，解得，因?yàn)椋?故選：D例47．（2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：因?yàn)椋?，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.例48．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與相交于兩點(diǎn)（在第一象限）.若四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意四邊形為平行四邊形，又由四點(diǎn)共圓，可得平行四邊形為矩形，即又直線的傾斜角為，則有則，，則，即則橢圓的離心率故選：B例49．（2023·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．答案：【解析】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，都經(jīng)過，且在中，，如圖，所以，由橢圓的定義可知，即，又，可得，在中，，所以，所以.故答案為：例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為______.答案：【解析】如圖所示：延長，交于點(diǎn)Q，∵PA是的外角平分線，，，又O是的中點(diǎn)，，且.又，，，∴離心率為.故答案為：例51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，AB是橢圓過點(diǎn)的弦，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為，，且，則橢圓的離心率為___________.答案：【解析】連接，，，設(shè)，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，而，故四邊形為矩形，?又，由橢圓的定義可得，，，即，解得，∴是短軸的端點(diǎn)，且，，.故答案為：.例52．（2023·山東·青島二中高三期末）已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在橢圓C：中，由橢圓的定義可得，因?yàn)?，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的離心率.故選：A.例53．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的上頂點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，連接，并延長交橢圓于另一點(diǎn)P，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意得，所以，則，由橢圓的定義可得，所以，因?yàn)?，所以，解得，，在中，，在中，，因?yàn)椋?，即，所以所?故選：C例54．（2023·山西太原·一模（理））設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，則有，，因此，在中，，令橢圓半焦距為c，于是得，，由橢圓定義得：，，所以橢圓的離心率是.故選：B例55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為_____________．答案：【解析】設(shè)橢圓，，設(shè)由橢圓的定義可得，可得取的中點(diǎn)，連接，則由勾股定理可得即為將帶入上式化簡可得，所以，所以，所以或者，所以或（舍），所以.故答案為：．方向2：利用與建立一次二次方程不等式例56．（2023·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是（

）A．或 B． C． D．或答案：A【解析】是2和8的等比中項(xiàng)，或，當(dāng)時(shí)，方程為，表示橢圓，，離心率為，當(dāng)時(shí)，方程為，表示雙曲線，，離心率為，故選：A例57．（2023·江西·高三開學(xué)考試（文））設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故選：C．例58．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））已知是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意得：，則，由橢圓定義可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的離心率為.故選：C.例59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由，得,故，即，故，，在△中，由余弦定理可得：，，化簡得，即，則，，因?yàn)?，所以解得或（舍），故選：B.例60．（2023·貴州·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，且四邊形的面積為（c是橢圓C的半焦距），則橢圓C的離心率是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由橢圓的對稱性可知四邊形是平行四邊形．因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形．設(shè)，，則整理得，所以，解得，故橢圓C的離心率為．故選：B.例61．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓以為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在橢圓上，且過右焦點(diǎn)，，若，則該橢圓離心率是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意可得如圖橢圓，是直角三角形，，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以離心率．故選：A．例62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓）的左?右焦點(diǎn)分別為和為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】連接，延長交軸于，則，又，，所以，故，即，又，所以，即.故選：D.方向3：利用最大頂角滿足例63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．答案：【解析】設(shè)點(diǎn)，易知，，則，故點(diǎn)的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，由圖可知，即，可得，又因?yàn)?，故．故答案為：．?4．（2023·北京豐臺二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.答案：【解析】根據(jù)橢圓的幾何意義可知橢圓的離心率最小值為根據(jù)橢圓離心率的取值范圍可知故答案為：例65．（2023·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．答案：【解析】由橢圓的定義可知：，在△中，由余弦定理得：，所以，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，所以，，解得：.故答案為：方向4：坐標(biāo)法例66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】將代入C中，得，，由題意得，即，．故選：D.例67．（2023·河南洛陽·三模（文））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，的平分線與軸交于點(diǎn)，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.答案：【解析】如圖，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠叫杏谳S，故為的中點(diǎn)，且，故，又，故，因?yàn)椋?，所以，故四邊形為：，故即離心率為，故答案為：例68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，方程為，，，設(shè)，由，且，故，，由點(diǎn)在橢圓上，故，整理得，故離心率，故選：B.例69．（2023·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】記中點(diǎn)為，則，由題意點(diǎn)在線段的中垂線上，將坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減可得，所以，得，所以的中垂線的方程為，令得，由題意，，故，所以所以故選：B.方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理例70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)椋蓹E圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)椋?，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去?故選：D例71．（2023·河北廊坊·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在上，則的離心率為________.答案：【解析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為Q，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以在中，由余弦定理有：，即由橢圓定義可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故答案為：例72．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)椋蓹E圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去?故選：D例73．（2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理例74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B例75．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為()A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)答案：D【解析】由正弦定理可得：,結(jié)合題意可得，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，，易知.因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，所以，即，整理得，所以，解得.故選D.例76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．例77．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．答案：【解析】由已知，得，由正弦定理，得，所以．由橢圓的幾何性質(zhì)，知，所以且，所以且，即且，結(jié)合，可解得．故答案為：.例78．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．方向7：利用基本不等式例79．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B例80．（2023·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，則，，因?yàn)?，所以，所以，則，解得，故選：A.例81．（2023·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.答案：【解析】由對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號，∵直線l上存在點(diǎn)P滿足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.例82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.答案：；【解析】設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn)，如圖，連接，根據(jù)橢圓和直線的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，又因?yàn)椋?在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?故答案為：.方向8：利用焦半徑的取值范圍為．例83．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．答案：【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，解得，，由題意可得，解得，又，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是．故答案為：.例84．（2023·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.答案：【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則由橢圓的定義可得，，由題意可得，，，，則該橢圓的離心率的取值范圍是，，故答案為：，．例85．（2023·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為______.答案：【解析】，，又，，解得，則.

故答案為例86．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，，所以橢圓C的離心率，故選：A.例87．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在橢圓C上，若，則該橢圓的離心率不可能是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以，所以．因?yàn)椋?，解得．由題意可知，即．由，可得，即，顯然成立．由，可得，則．又，所以，因?yàn)?，，，，故選：A．例88．（2023·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】法一：顯然，是短軸端點(diǎn)時(shí)，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個(gè)點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)，設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時(shí)，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個(gè)，不合題意．綜上，的范圍是．法二：①當(dāng)點(diǎn)與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿足條件的；②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點(diǎn)滿足為等腰三角形即可，則或當(dāng)時(shí)，則，即，則，當(dāng)時(shí)，則有，則，綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.故選：A.方向9：利用橢圓第三定義．例89．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．答案：【解析】由題可知，，設(shè)，由點(diǎn)P在橢圓上，得，所以，可得，所以．故答案為：.例90．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為