專題01 平行線的四大模型（原卷版）

專題01平行線的四大模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.【典例1】（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，射線FG分別交射線AB、DC于點F、G，點E為射線FG上一點．（1）如圖1，若∠A+∠D＝∠AED，求證：AB∥CD．（2）如圖2，若AB∥CD，求證：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如圖3，在（2）的條件下，DI交AI于點Ⅰ，交AE于點K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度數(shù)．【變式1-1】（2022秋?古縣期末）如圖：按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式1-2】（2023?金安區(qū)一模）如圖，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．125°【變式1-3】（2023秋?北碚區(qū)期末）如圖，AB∥CD，點E是直線AB，CD之間一點．（1）如圖1，求證：∠B+∠D+∠E＝360°；（2）如圖2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分線相交于點F．求∠DFE的度數(shù)；（3）如圖3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．請直接寫出∠BFE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【變式1-4】（2023秋?重慶期末）已知，MN∥PQ，直線AB交MN于點A，交PQ于點B，點C在線段AB上，過C作射線CE、CF分別交直線MN、PQ于點E、F．（1）如圖1，當(dāng)CE⊥CF時，求∠AEC+∠BFC的度數(shù)；（2）如圖2，若∠MEC和∠PFT的角平分線交于點G，求∠ECF和∠G的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)CE⊥CF，且∠ABP＝60°，∠ACE＝20°時，射線FT繞點F以5°每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)射線FG與△AEC的一邊互相平行時，請直接寫出t的值．模型二“豬蹄”模型（M模型）點P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.【典例2】（2023春?邵陽縣期末）如圖，直線AB∥CD，連接EF，直線AB，CD及線段EF把平面分成①②③④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點G落在某個部分時，連接GE，GF，構(gòu)成∠EGF，∠GEB，∠GFD三個角．（1）當(dāng)動點G落在第③部分時，如圖一，試說明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的關(guān)系；（2）當(dāng)動點G落在第②部分時，如圖二，思考（1）中三者關(guān)系是否仍然成立若不成立，說明理由．【變式2-1】（2023?盤錦）如圖，直線AB∥CD，將一個含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點E在AB上，邊GF，EF分別交CD于點H，K，若∠BEF＝64°，則∠GHC等于（）A．44° B．34° C．24° D．14°【變式2-2】（2023?大石橋市校級三模）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（）A．36° B．24° C．28° D．32°【變式2-3】（2023春?瀏陽市期末）（1）感知與探究：如圖①，直線AB∥CD，過點E作EF∥AB．請直接寫出∠B，∠D，∠BED之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）應(yīng)用與拓展：如圖②，直線AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）問中的結(jié)論，求∠BEG+∠GFD的度數(shù)；（3）方法與實踐：如圖③，直線AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，則∠D＝度．【變式2-4】（2023春?霸州市期中）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，如圖2，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為；請說明理由；（2）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，則∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【變式2-5】（2023春?南漳縣期中）如圖1，點A是直線HD上一點，C是直線GE上一點，B是直線HD、GE之間的一點．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．（1）求證：AD∥CE；（2）如圖2，作∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的角平分線交于點F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度數(shù)；（3）如圖3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，試探究∠NBM的值，若不變求其值，若變化說明理由．結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.【典例3】（2023春?中山區(qū)期末）如圖，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如圖1，求證AB∥CD；（2）如圖2，點P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于點F，探究∠BFP，∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，如圖3，PQ交ED延長線于點Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度數(shù)．【變式3-1】（2023春?伊通縣期末）如圖1，線段CD是由線段AB平移得到的．分別連接BD，AC．直線BE⊥AC于點E，延長DC與BE相交于點F．點P是射線FD上的一個動點，點P不與點F、點C、點D重合．連接BP，EP．（1）線段AC，BD的關(guān)系是；（2）如圖1，當(dāng)點P在線段FC上運動時，∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）如圖2，當(dāng)點P在線段CD上運動時，∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請寫出它們的關(guān)系，并證明；若沒有發(fā)生變化，請說明理由；（4）如圖3，當(dāng)點P在點D上方運動時，請直接寫出∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數(shù)量關(guān)系：．【變式3-2】（2023春?大足區(qū)期末）已知直線AB∥CD，E為平面內(nèi)一點，連接EB、EC．（1）如圖1，已知∠B＝32°，∠C＝120°，求∠BEC的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠ABE、∠BEC、∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）如圖3，BE⊥CE，BF平分∠ABE，若，求∠BFC的度數(shù)．【變式3-3】（2023春?吳興區(qū)期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的點，F(xiàn)、H是CD上的點，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過F點作FM⊥GH交GH延長線于點M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點N，EN交GH于點P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出的值．1．（2023?五華區(qū)校級模擬）如圖，點B在△CDE的邊EC的延長線上，AB∥CD，若∠B＝50°，∠E＝30°，則∠D的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．30° D．50°2．（2023?西峽縣三模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，則∠3的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°3.（2023春?西塞山區(qū)期中）如圖，AB與HN交于點E，點G在直線CD上，GF交AB于點M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④4．（2023春?德城區(qū)期末）已知M，N分別是長方形紙條ABCD邊AB，CD上兩點（AM＞DN），如圖1所示，沿M，N所在直線進(jìn)行第一次折疊，點A，D的對應(yīng)點分別為點E，F(xiàn)，EM交CD于點P；如圖2所示，繼續(xù)沿PM進(jìn)行第二次折疊，點B，C的對應(yīng)點分別為點G，H，若∠1＝∠2，則∠CPM的度數(shù)為（）A．74° B．72° C．70° D．68°5．（2023?西城區(qū)二模）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，∠BEF的平分線交CD點G，若∠BEF＝116°，則∠EGC的大小是（）A．116° B．74° C．64° D．58°6．（2023?佛山二模）如圖，把正方形ABCD沿EF折疊，點A的對應(yīng)點為點A′，點B的對應(yīng)點為點B′，若∠1＝40°，則∠AEF的度數(shù)是（）A．100° B．110° C．115° D．120°7．（2023秋?長春期末）如圖，AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點P是AB、CD之間的一個動點．【感知】如圖①，當(dāng)點P在線段EF左側(cè)時，若∠AEP＝50°，∠PFC＝70°，求∠EPF的度數(shù)．分析：從圖形上看，由于沒有一條直線截AB與CD，所以無法直接運用平行線的性質(zhì)，這時需要構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過點P作PG∥AB，根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知PG∥CD，進(jìn)而求出∠EPF的度數(shù)．【探究】如圖②，當(dāng)點P在線段EF右側(cè)時，∠AEP、∠EPF、∠PFC之間的數(shù)量關(guān)系為．8．（2023春?天元區(qū)校級期末）如圖，AQ∥BP，AB⊥BP，E、C、D分別是線段AQ、AB、BP上的點，且滿足EC⊥CD．EF是∠GEC的角平分線與BP交于點F，在EQ上截一點G，連接GF，令GF＝FE．（1）如圖1，若∠AEC＝40°，求∠CDB的度數(shù)．（2）如圖1，連接GP，若GP∥EF，H是線段FP上的一點（FH＜HP），連接GH，使得2∠GHP＝3∠AEC，求∠FGH和∠CDB的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖2，在（2）的條件下，過點Q作QM⊥GP，垂足為M．N是線段GP上的一點，且滿足∠QNM＝∠GEF．求∠GQN和∠CEF的數(shù)量關(guān)系．9．（2023春?安化縣期末）在課后學(xué)習(xí)中，小紅探究平行線中的線段與角的數(shù)量關(guān)系，如圖，直線AB∥CD，點N在直線CD上，點P在直線AB上，點M為平面上任意一點，連接MP，MN，PN．（1）如圖1，點M在直線CD上，PM平分∠APN，試說明∠PMN＝∠MPN；（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度數(shù)；（3）如圖3，∠APM和∠MNC的平分線交于點Q，∠PQN與∠PMN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．10．（2023春?海陽市期末）如圖，AM∥BN，∠A＝40°，點P是射線AM上一動點（不與點A重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C，D兩點．（1）求∠CBD的度數(shù)；（2）當(dāng)點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)；（3）當(dāng)點P運動時，∠APB與∠ADB的度數(shù)之比是否隨之發(fā)生變化？若不變，求出∠APB與∠ADB的度數(shù)之比；若變化，請說明變化規(guī)律．11．（2023春?大同期末）綜合與探究已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點G，H（0°＜∠EHD＜90°）．將一把含30°角的直角三角尺PMN按如圖1所示的方式放置，使點N，M分別在直線AB，CD上，且在直線EF的右側(cè)．（1）填空：∠PNB+∠PMD＝∠MPN．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）若∠MNG的平分線NO交直線CD于點O．①如圖2，當(dāng)NO∥PM∥EF時，求∠EHD的度數(shù)；②如圖3，若將三角尺PMN沿直線BA向左移動，保持PM∥EF（點N不與點G重合），點N，M分別在直線AB、CD上，請直接寫出∠MON和∠EHD之間的數(shù)量關(guān)系．12．（2023春?安陽期末）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，AB是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為∠1，反射光線與水平鏡面的夾角為∠2，則∠1＝∠2．（1）【初步應(yīng)用】生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測距．如圖2當(dāng)一束“激光”DO1射到平面鏡AB上，被平面鏡AB反射到平面鏡BC上，又被平面鏡BC反射后得到反射光線O2E，回答下列問題：①當(dāng)DO1∥EO2∠AO1D＝30°（即∠1＝30°）時，求∠O1O2E的度數(shù)；②當(dāng)∠B＝90°時，任何射到平面鏡AB上的光線DO1經(jīng)過平面鏡AB和BC的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據(jù)所學(xué)知識及新知說明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）（2）【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡AB，BC，CD，入射光線EO1經(jīng)過三次反射，得到反射光線O3F已知∠1＝∠6＝35°，若要使EO1∥O3F，請直接寫出∠B的度數(shù)；13．（2023春?宜都市期中）已知，直線AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點P是直線AB與CD外一點，連接PE、PF．（1）如圖1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度數(shù)；（2）如圖2，過點E作∠AEP的角平分線EM交FP的延長線于點M，∠DFP的角平分線FN交EM的反向延長線交于點N，若∠M與3∠N互補，試探索直線EP與直線FN的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若點P在直線AB的上方且