2024年4月陜西省高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

*

I*

!?

f理科數(shù)學(xué)

j考試斶分?150分考戰(zhàn)時(shí)間?120分飾

注意摹項(xiàng)：

崔1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)消候，將條形碼準(zhǔn)購(gòu)粘貼在條形碼區(qū)城內(nèi).

2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B箱第把答即卡上對(duì)應(yīng)題目的普臬標(biāo)號(hào)徐黑.如襦改就，用做出歐T

凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào),回答非選擇題時(shí)，將答案用0,5mm黑色第龐簽字筆寫(xiě)在答題卡上.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回?

辱

曲:

3I一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

物?合題目要求的。

I.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足力=|后-力-i，則5=

jA.1+2ZB.-1+2ZC,-I-2/D.I-2/

2^^合/=.，＞1，,5={7|7=e"x+1),則/nGb=

A.(-00,1]B.(0,l)C.(0,2)D,(0,l]

3.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量蘇=(1,1),點(diǎn)8(-2,2),則向量與麗夾角的余弦值為

A也B后

55

4.這個(gè)冬天，哈爾濱“火了”，廣西南寧三位老師帶著11個(gè)3-5歲的幼兒園小朋友到哈爾佚研學(xué)，

身橘紅色的羽絨服，以她們獨(dú)特的服裝和歡快的姿態(tài)，在全國(guó)掀起了一股“小沙柳橘”熱潮“已知達(dá)

“個(gè)小朋友中有5個(gè)男孩,6個(gè)女孩，隨機(jī)請(qǐng)出3個(gè)“小沙黜橘”與小企解一起拍照引念，則出出的

“沙糖橘”中至少有2個(gè)女孩的概率是

5,已知直線x=l是函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，則函數(shù)/(x)的解析式可以是

A.Z(x)=-^-B./(x)=|ln(x+l)|Cj(x)=cos*D./(x)=x2-2lxl

X-]

6.已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的整PO型點(diǎn)為F的拋物線C:/=2Px(p>0)在第一象限交千點(diǎn)P,與C

的準(zhǔn)線/交于點(diǎn)。，若麗=4而，則直線尸尸的斜率為

A.-C.1D.i

333

7.已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為首項(xiàng)4=￡,若$8-S3=5乃，則§=經(jīng)愛(ài)=

62

A.-1B.lC.OD.於二■

4

理科數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))

依照考生都必績(jī)作魯。第22.23題為援考超，考生根據(jù)要求作答。

(一)必耆翅：共60分。

17,(12分)近年來(lái)，馬拉依比蟀到廣大體育型好者的喜愛(ài)某維體育局在五一長(zhǎng)假期間舉辦比賽,

2影存的股分工作是成功舉辦的儂保障里抽取了200名候選者的面試成績(jī),并分成六組：第一

納40,0)鄰二組［50,60)照留［60,70),第四組［70￡0),第五組80,90),第六組［90,100),繪^成10

囪所示的頻率分布直力圖.

(1)求加；

(2)估計(jì)候選者面試成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

(3)在抽出的200名候選者的面試成績(jī)中，若規(guī)定分姮不低于80分的候選者為被錄取的志愿者,

已知這200名候選者中男生與女生人數(shù)相同，男生中有20人被錄取，請(qǐng)補(bǔ)充2x2列聯(lián)表，并判斷

是否有99%的把握認(rèn)為“候選者是否被錄取與性別有關(guān)”

附./=〃(?-6cy

其中"=a+6+c+d.

-(a+6)(c+d)(a+c)(b")

戶(hù)(4認(rèn))0.050.0100.0050.001

A。38n6,635767910,828

18.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列｛幺｝滿(mǎn)足+0？+…=，〃(〃+1)(2〃+1).

6

(1)求數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和&；

(2)求數(shù)列｛如2｝的前〃項(xiàng)和4.

19..(!2分)如圖，在四棱錐P-/15c。中，底面四邊形4BCD為菱形，且Z￡XB=6。。.AB4D是邊

理科數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))

8.說(shuō)到汽車(chē)的車(chē)輪，我們能想到圓形，提到三角形，我們可以聯(lián)想到尖銳的角，把這兩種特征結(jié)合

一下,能得到一種什么樣的圖形呢？早在十九世紀(jì)，就由德廠、>1

國(guó)機(jī)械學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)“叛逆”的三角形，//TX

并在工業(yè)生產(chǎn)中得到廣泛的應(yīng)用。如圖.等邊三角形/V\

分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三角形邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)(sWk)7。、

圓，三圓重合的部分就是一個(gè)這樣的曲邊三角形，假設(shè)等邊I1

三角形的重心為0,連結(jié)/0并延長(zhǎng)交曲邊于點(diǎn)D,則\A0\D

與|。回的比值為

A6+1口73+1p73+1n5/3+1

A.-----B.--------u.---

5432

9.已知雙曲線C：4-^=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為4,右焦點(diǎn)為居，直線產(chǎn)H與雙曲線交于4,3兩

ab

點(diǎn)(點(diǎn)4在第一象限)，且/耳福=與，若|典|=3|伍則雙曲線C的離心率為

2叵B.—C.叵D.立

2222

10巖圓C：，+y2-2y_i=o上存在唯一點(diǎn)尸，使得網(wǎng)=物即，其中/S.Q),則JE數(shù)a的值為

A2士石B.3±73C.2±V5D.3±J5

1L已知正方體/BCMiBiGD】的棱長(zhǎng)為2,。為底面/BCD對(duì)角線的交點(diǎn)，M是側(cè)面的M內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，如圖所示，若G。，”。始終成立，則動(dòng)點(diǎn)”到點(diǎn)4距離x-------歷

的最小值為

4aB.巫C.邁

5555

12.函數(shù)/(x)=ex(x-l)-x-l的所有零點(diǎn)之和為

A.0B.-lC.石D.2

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知余弦曲線y=8sx經(jīng)過(guò)伸縮變換可以得到曲線股=2cos2x,則曲線y=cosx上的點(diǎn)

心,小)經(jīng)過(guò)此伸縮變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__.

14.在胸C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,<A=-9sinB=2sinC,且a+b=7+4j3,

則AABC的面積為_(kāi)_____.、『.

CML

15.已知正四棱柱/山iGd中，CCi=2,AD=l,E為441的中點(diǎn)，則平面BCE截此四梭樓的外

接球所得的截面面積為_(kāi)__,"

L.2,1

16.已知函數(shù)〃x)=lnx+exq,若/(引+/(6)=0,則產(chǎn)的最小值為

a+1

理科數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))

，小分）已知俯圓c￡+￥=l（a>b>0）左、右頂點(diǎn)分別為4,B.短軸長(zhǎng)為2萬(wàn)，離心率為;.

a"b12

（P求阿項(xiàng)C的方程；

（2）程不一象限內(nèi)一點(diǎn)尸在橢圓上，且點(diǎn)P與外接圓的圓心M的連線交x軸于點(diǎn)。,設(shè)

而=入面.求實(shí)數(shù)久的值.

Y

21、（12分）（1）當(dāng)x>0時(shí).比較cosxBl-下的大小，并證明;

?2

123.2M-2/+1

（2）設(shè)證明:in、*

tnnl.111

tan-tan一tan—2n

23n

（二）送考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)!：

分。'|

［選修7：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

n在直角坐標(biāo)系.g,中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓c的極坐標(biāo)方：容

慳^p=4cos（0+±）,直線為參數(shù)）.\I

2卜=4-揚(yáng)?\

G）分利求出直綾I與圓C的直角坐標(biāo)方程；；\

（2）若P為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線BI,切點(diǎn)為4,求面積的最小值.；|

|［選修7：不等式選講］（10分）

23、已蛔數(shù)八加2_卜7、

（2）記函數(shù)A）的最大直為林若正數(shù)a,6滿(mǎn)足a+2b=〃，求L2的最小值.

ab

理科數(shù)學(xué)第4頁(yè)（共4頁(yè)）

理科數(shù)學(xué)參考答案

1.【答案】B

【解析】因?yàn)閦f=|百-i]-i=2-i,所以z=2.'=(2?("；"=~^~^"=T-21，所以z=—l+2i.

故選B.

2.【答案】D

.【解析】因?yàn)?=x2>]，={x|0vxv2},B=-yy=-1+1>={y\y>1},所以CRB={y|y41},

所以故選D.

3.【答案】C

【解析】由B(-2,2)可得向江麗=(-2,2)，由觸=而一而得下=(-3,1),貝IJ萬(wàn)?麗=(-2)x

(-3)+2x]=8,因此cos(而，麗)=[竺；絲=L=偵.故選C.

/網(wǎng)叫如x返5

4.【答案】C

【解析】?從11人中任清3人，基本事件共有0=165種，恰好是3個(gè)女孩的方法數(shù)是以=20種,

瑞吟?故選仁

恰好是2個(gè)女孩的方法數(shù)是C：C；=75利?,故所求的概率是

5.【答案】C

【解析】選項(xiàng)A,函數(shù)圖象由y=L圖象沿f軸向右平移】個(gè)單位，故關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)；選項(xiàng)B,

由j=MH圖象沿X軸向左平移1，個(gè)單位，其圖象無(wú)對(duì)稱(chēng)軸；選項(xiàng)C.令內(nèi)=及/AeZ,則該函數(shù)

的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=O：wZ,故曰符合題意；選項(xiàng)D,/(_】)=_]"3)=3,顯然

圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).故選C.

6.【答案】A

【解析】因?yàn)閽佄锞€C：J=2px,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=\,故點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為飛=-勺

因?yàn)槎?4而，所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)與=-4x0=2八所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo))，p=2p.又焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)

為/4,0).所以直線尸產(chǎn)的斜率為土工=3.故選A.

12)22上3

"2

7.【答案】D

理科敷學(xué)參考答案第1頁(yè)(共9頁(yè))

【解析】由前“項(xiàng)和定義可得58-53=04+%+。6+。7+的，因?yàn)椋梗堑炔顢?shù)列,所以

a^at=as+cn=2a6,所以=兀?設(shè)等差數(shù)列｛。"的公差為"，由。6=q+5",所以"=二,所以

a2+a9=（ai+G+（G+8t/）=2ai+9d=4.所以而的*外=sin—=sinf?---]=sin—=sin伍-二）=瓜一五.

6212II2j12（34J4

故選D.

8.【答案】D

[解析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,AD與BC相交于點(diǎn)M,則|力必=2,"為8c的中點(diǎn)，且

JLAC,MM=.因?yàn)椤Ｊ侵匦?，所以|/。|=||/闿=|*萬(wàn)=竽，所以-|力。|=

2石

士亨3，所以|)。|與\0D\的比值為——=4r=-jJ—=年立.故選D.

36-36-2V33-"3V3-12

-3~

9.【答案】B

【解析】如圖，由雙山I線定義可知，,修-|月/胃=2。，

由題意得A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故|/用=|86：且明〃明,

因?yàn)閺]周-“閭=,片卜|月閭=2。?又忸閭=3|/闖

所以忸聞=3°；|陽(yáng)5,

由而=夕即+詞，得內(nèi)?！?；(內(nèi)4’+IM"+2|瑪mi”cos58),

2:22

n|l^C=lL+(3?)+2x/7x3flxl]=Hfl,得4=12,所以￡=姮.故選B.

4L2」4./4fl2

10.【答案】A

【解析】由題得圓C的圓心坐標(biāo)為a0,1),半徑為應(yīng).設(shè)P(孫,)，p)，則網(wǎng)=J(Xp-a)2+yj,

22

\PO\=JxJ+4.由網(wǎng)=711Poi可得（孫-o）+yP=2（xJ+抄2）,化簡(jiǎn)得

22

[xP+A)+y^=2a,故點(diǎn)P在以(-a,0)為圓心，半徑為Jia的圓上,又唯一的點(diǎn)P也在阿C上,

所以?xún)蓤A是外切或內(nèi)切,所以圓心距等于兩圓半徑相加，或者圓心距等于兩圓半徑差的絕對(duì)值,

即J(0+fl)2+(]-0)2=42+42a.或J(0+a)2+(1-0)2=_72a|.解得a=-2土石.或

a=2±-Ji,因?yàn)?。是正?shù)，所以a=2士百.故選A.

H.【答案】B

理科數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)(共9頁(yè))

［解析】取441的中點(diǎn)。，連結(jié)0。,如圖，則在平面4CG由中,44產(chǎn)2,AC=242,°!---------

O為4c的中點(diǎn)，。為441的中點(diǎn)，得條?=奈，所以直角&QAO與直角AOCqffl一/

似，則對(duì)應(yīng)角相等，又由兩角互余可得CQ_L。。.在正方體中AB。。是等邊三角形，I.器樂(lè)手

顯然可得GO，。。，因?yàn)?。?18=。，所以CQ_L平面O0D,故動(dòng)點(diǎn)”的軌跡是線段。0,

根據(jù)MDQ中的等面積法可得，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A距離的最小值為苧.故選B.

12.【答案】A

【解析】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程〃刈=0的實(shí)數(shù)根.令〃x)=0,則

-x-l=0,顯然,所以e*=—,構(gòu)造函數(shù)y=?！c函數(shù)y=四，則方程/=生史

x-lX-1x-1

的根，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象可知,兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，所以此方

程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)/(x)=e*(x-I)-x_l有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為xi,X2,所以短=工二=,

司-1

Ij3

e&=j^±l,UP/(xl)=e'(x,-D-xl-l?=O,/(x2)=e(x,-l)-x2-l=0.

X2-I-

另外發(fā)現(xiàn),將一司代人,可得/(-a)=ef(-$一1)-(一的)-1=二^尹+.*-1=0,

e1

所以-x,也是函數(shù)人”的零點(diǎn)，說(shuō)明心=-有，即的+工2=。,故選A.

13.【答案】(軍，7)

【解析】將余弦曲線y=cosx上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g,縱坐標(biāo)不變，可得曲線

y=cos2x.再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，可得曲線y=2cos2x,

所以“r=cos"=cosg+9)=-1，故所求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(空

332V3)

14.【答案】乎+6

［解析】由sinfi=2sinC，得b=2c,由余弦定理可得a?=良+c2-2iccos—=3c2，所以a=J5c.

3

所以a+b=y［3c+2c=7+4-J3,所以c=2+6,所以^ABC門(mén)勺面積為gBcsinA=gx2x(2+后)x

(2+石)x3=逋+6.

22

15.【答案】竽

【解析】由正四極柱可知底面488為正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直徑等

理科數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)(共9頁(yè))

于正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng),所以2火=廬不了\所以R=旦.

2

如圖.取長(zhǎng)方形的中心時(shí).連結(jié)。M,易得。M〃8C,且0M〃平面

BCE,所以，球心。到平而B(niǎo)CE的距離等于點(diǎn)M到平面BCE的距離.過(guò)點(diǎn)M

作MHLBE交BE于點(diǎn)H,則球心。到平面BCE的距離等于MH的長(zhǎng).在長(zhǎng)方

形中，連結(jié)ME.則=NMEH=45°,所以MH二互,又平而B(niǎo)CE截此四棱柱

24

的外接球所得的截而為圓面，所以此圓的半徑為r=-MH2=而可喟考，

故假而面積為獷2=半.

16.【答案】2痣-2

【解析】由/(x)=lnx+ex，得/'(x)」+e+A>0,所以?xún)?。?0,+8)上增函數(shù).易得

XXX

一、/n1,,2〃小而后+lb2+l(/>+l)z-2(A+l)+2,,

/(x)+/|-1=A0,所nri以Mrxb=1,即unLb=a(。>0)?貝ij—；—=-------=---------------------------=6+1+

⑴a2+\6+16+1

±-2*2&-2,當(dāng)且僅當(dāng)6+1=工時(shí)取等號(hào)，此時(shí)6=挺一1.故絲匚最小值為2JI-2.

6+1——6+1+1

17.【解析】(1)(??+0.015+0.025+0.035+/?+0.005)x10=1.........................................................2分

解得，H=0.010..........................................................................................................................................3分

(2)平均數(shù)為:

45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.1+95x0.05=68.57分

(3)列聯(lián)表如下:男生女生合計(jì)

被錄取201030

耒被錄取8090170

合計(jì)100100200

9分

11分

所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“候選者是否被錄取與性別有關(guān)“12分

理科數(shù)學(xué)參考答案第4頁(yè)(共9頁(yè))

2

18.【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，a,=lxlx2x3=l,因?yàn)檎?xiàng)，所以。產(chǎn)L

6

2

當(dāng)〃22時(shí)，+a2+…+〃/=,〃(〃+】)(2〃+1),

6

+022+■■?+G/I-]2=一】)〃(2〃-1)...........................................................................................2分

6

兩式相減得口；=〃(4+1)(2〃+l)-7(?-Ww-1)

66

=—nx[(/?+1)(2〃+1)―(/i-1)(2M-1)]=—Mx6/I=w2(?I>2)........................................................4分

66

2

當(dāng)”=】時(shí)，=1=1成立，所以an=〃(〃GN*)........................................................................5分

顯然，數(shù)列｛服｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以S“=4|+42+…+a“=l+2+3d----b〃=""2^)...................................................................6分

(2)冊(cè)％+2=〃(〃+2)=〃2+2〃...............................................................................................7分

所以數(shù)列｛4%+2｝的前〃項(xiàng)和

或=口必3+。2a4+???+4°/2..........................................................................................................................................8分

=(p+2xl)+(22+2x2)+-+(w2+2n)

=(12+2斗??+〃2)+2x(1+2力??+〃)

=-?(?+1乂2”++2x?"(”+)....................................................................................................10分

62

=?(n+l)x1(2“+1)+1

6

所以.,=!"(〃+1)(2"+7)...........................................................................................................12分

6

19.【解析】(1)證明：在AO/E中.由NCUB=60°,WO=1,48=2,

得OB=ijAO2+AB2-2AO-.ABcosZOAB=7L...................................................................1分

即AO2+OB2=力”,所以O(shè)BIAD...........................................................................................2分

由O8u平面45CO,平而P/OL平面/BCD,且平面/MOD平面/BCD=4。

得O8_L平面尸/O;......................................................................................................................5分

(2)ril(1)得80_L平面P/1D,所以BOJ.P。.

理科數(shù)學(xué)參考答案第5頁(yè)（共9頁(yè)）

所以元=（-2,收,設(shè)麗=APOCO<A<1）,則麗=（-24向,-&）得到

M（-2九屆，百（1T））,

易,知平面CBO的一個(gè)法向量為=（0,0,1）...........................................................................................8分

設(shè)平而MOB的一個(gè)法向員為％=(x,y,z),又而=(-21,732,-73(1-2))，05=(0,73,0),

[n2-OM=-2Ax++A/3(1-A)z=0人rm.3-3A

由，______廠?Vz=V3.1^y=0,x=-—,

〃2?OB=y3y=02，

所以一,3一37廠、.............................................................1°分

又二面角"-5。-C的大小為60。，所以

......................................................................................................................11分

——I”「〃2

cos<%,n2>=一l=cos60°

為〃2

V3_1

得到。3—22,又0<2V1,解得A=-,

lxJ(-------->+33

V2A

所以存在M點(diǎn)使二而角〃-60-。的大小為60°，且

PM1

分

PC=312

20.【解析】（I）因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為2百，所以6=0,1分

又靦C的離心率為力

理科數(shù)學(xué)參考答案第6頁(yè)（共9頁(yè)）

則有e=￡=JZ?[=g.解得”=2.所以C的方程為手+。=1.........................................4分

(2)因?yàn)锳E4B外接圓經(jīng)過(guò)橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以圓心M在y軸上,

2

設(shè)圓心M(O,m),P(xo,yo),則圓M的半徑為7?/+4,所以的耳=/黯+4,

所以與2+(乂>一m)2=W2+4............................................................................................................?6分

又點(diǎn)p在橢圓上，所以￥+￥=】，

解得卜。="-48/........................................................................................................................8分

jo=-6m

直線PM的斜率為kpM="*=.

X。x0

)直線PM的方程為j-熱="—(x-0)............................................................................................9分

令)=0,所以點(diǎn)0的橫坐標(biāo)為多..................................................】0分

又而=4麗，所以與-&=4(0-半)解得；1=6................................................................12分

v2

2】,【解析】(1)當(dāng)x>0時(shí),cosx>l--.......................................................................................1分

2

下面給出證明:

令g(x)=cosx—(l-M)(x>0)，則g'(x)=-sinx+x(x>0),.......................................................3分

令//(x)=-sinx+x(x>0),則力'(x)=-cosx+1N0,

所以函數(shù)人x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,即當(dāng)x>0時(shí)，&(x)>Zr(O)=O,.......................................4分

所以g'(x)>0在(0,+oo)上恒成立，所以函數(shù)g(x)任(0,+0O)上單調(diào)遞增，即當(dāng)彳>0時(shí)，

g(x)>g(0)=0

故當(dāng)x>0時(shí),cosx>1..........................................................................................................................5分

2

.1I1丫―

(2)因?yàn)?wN，，所以貝1cos—>0,sin—>0,1-->0,由(I)可得：8sx>1------

.n2nit22

且x>sinx.....................................................................................................................