八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期壓軸題綜合試題(一)

八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期壓軸題綜合試題（一）1．已知：AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度數(shù)．(2)如圖1，求證：EF＝2AD．(3)如圖2，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)R，F(xiàn)C與EB交于點(diǎn)M，若點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，且∠BAE＝60°，請(qǐng)?zhí)骄俊螱AF和∠CAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)，且a，b滿足．（1）直接寫(xiě)出______，______；（2）連接AB，P為內(nèi)一點(diǎn)，．①如圖1，過(guò)點(diǎn)作，且，連接并延長(zhǎng)，交于．求證：；②如圖2，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，連接．若，點(diǎn)P(2n，?n)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（–a，0）、點(diǎn)B（0，b），且a、b滿足a2+b2–4a–8b+20=0，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，且∠APB＝45°．（1）a＝；b＝．（2）若點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出圖形（BP為虛線），并寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P不在x軸上，是否存在點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．已知：，．(1)當(dāng)a，b滿足時(shí)，連接AB，如圖1．①求：的值．②點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合，其中BM＞AM），以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，OM為腰作等腰直角△MON，連接BN，求證：．(2)當(dāng)，，連接AB，若點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)E，D重合）且滿足，連接AF，試判斷線段AC與AF之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a，0)，點(diǎn)B(0，b)，已知a，b滿足．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)A在第二象限作，且，連接BF交x軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)；：（3）在（2）的條件下，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)P，M是EP延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接MO，作，ON交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．6．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,,動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)在軸上以的速度運(yùn)動(dòng),且滿足關(guān)系式,連接,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)求的值;(2)當(dāng)為何值時(shí)，(3)如圖2,在第一象限存在點(diǎn),使,求.7．我們不妨約定：把“有一組鄰邊相等”的凸四邊形叫做“菠菜四邊形”．(1)如下：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四邊形”的是________（填序號(hào)）；(2)如圖1，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積；(3)①如圖2，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且AB＝AD，記四邊形ABCD，△BOC，△AOD的面積依次為S，，，若．求證：ADBC；②在①的條件下，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，記BC＝m，DC＝n，求證：．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥AB，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線l對(duì)稱，連接BD交直線于點(diǎn)P，連接CD．點(diǎn)E是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→C路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C．點(diǎn)F從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒2cm的速度沿D→C→B→C→D路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為D．點(diǎn)E、F同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，第一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)第二個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．

(1)當(dāng)AC＝BC時(shí)，試證明A、C、D三點(diǎn)共線；（溫馨提示：證明∠ACD是平角）(2)若AC＝10cm，BC＝7cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)F沿D→C方向時(shí)，求滿足CE＝2CF時(shí)t的值；(3)若AC＝10cm，BC＝7cm，過(guò)點(diǎn)E、F分別作EM、FN垂直直線l于點(diǎn)M、N，求所有使△CEM≌△CFN成立的t的值．【參考答案】2．(1)∠BAC＝50°(2)見(jiàn)解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解解析：(1)∠BAC＝50°(2)見(jiàn)解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）延長(zhǎng)AD至H，使DH＝AD，連接BH，想辦法證明△ABH≌△EAF即可解決問(wèn)題；（3）結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想辦法證明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再證明∠BCF＝150°即可．(1)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．(2)證明：證明：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H，使DH=AD，連接BH∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB（SAS），∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，∴BH=AF，∵∠BHD=∠DAC，∴BH∥AC，∴∠BAC+∠ABH=180°，又∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠ABH=∠EAF，又∵AB=AE，BH=AF，∴△AEF≌△BAH（SAS），∴EF=AH=2AD，∴EF＝2AD；(3)結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．理由：由（2）得，AD＝EF，又點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∴EG＝AD，由（2）△AEF≌△BAH，∴∠AEG=∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，∴△AEB是等邊三角形，AG=CD，∴∠ABE＝60°，∴∠CBM＝60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD＝∠FAG，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，在四邊形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，∴60°+2∠BCF＝360°，∴∠BCF＝150°，∴∠BCA+∠ACF＝150°，∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1）3，；（2）①見(jiàn)解析；②的坐標(biāo)為(，)【分析】（1）先利用冪的乘方和積的乘方化簡(jiǎn)，再利用單項(xiàng)式的性質(zhì)求解即可；（2）①連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用SAS證明解析：（1）3，；（2）①見(jiàn)解析；②的坐標(biāo)為(，)【分析】（1）先利用冪的乘方和積的乘方化簡(jiǎn)，再利用單項(xiàng)式的性質(zhì)求解即可；（2）①連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用SAS證明△OPB≌△OCA，再證明△BNP為等腰直角三角形，利用AAS證明△ACD≌△BND，即可證明AD=DB；②作出如圖所示的輔助線，證明△BMP為等腰直角三角形，利用AAS證明△PBF≌△MPE，求得E(2n，n)，M(3n?3，n)，證明點(diǎn)M，E關(guān)于y軸對(duì)稱，得到3n?3+2n=0，即可求解．【詳解】（1）∵，∴，∴，，解得：，，故答案為：3，；（2）①連接AC，∵∠COP=∠AOB=90°，∴∠COP-∠AOP=∠AOB-∠AOP，∴，在△OPB和△OCA中，，∴△OPB≌△OCA(SAS)，∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠COP=90°，OP=OC，∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°，∵∠OPB=90°，∴∠BPN=45°，∴△BNP為等腰直角三角形，∴∠BPN=∠N=45°，∴BN=BP=AC，在△ACD和△BND中，，∴△ACD≌△BND(AAS)，∴AD=DB；②∵∠AOB=90°，AO=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵∠MBO=∠ABP，∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°，∴∠MBP=45°，∵OP⊥BP，∴△BMP為等腰直角三角形，∴MP=BP，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線EF，分別過(guò)M，B作ME⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF交x軸于G，ME交y軸于H，連接OE，∴∠MPE+∠EMP=∠MPE+∠FPB=90°，∴∠EMP=∠FPB，在△PBF和△MPE中，，∴△PBF≌△MPE(AAS)，∴BF=EP，PF=ME，∵P(2n，?n)，∴BF=EP=EH=2n，PG=EG=n，PF=ME=3?n，∴MH=ME-EH=3?n?2n=3?3n，∴E(2n，n)，M(3n?3，n)，∴點(diǎn)P，E關(guān)于x軸對(duì)稱，∴OE=OP，∠OEP=∠OPE，同理OM=OE，點(diǎn)M，E關(guān)于y軸對(duì)稱，∴3n?3+2n=0，解得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．4．（1）2，4；（2）見(jiàn)解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負(fù)性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由（1）得出OB的長(zhǎng)，結(jié)合∠AP解析：（1）2，4；（2）見(jiàn)解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負(fù)性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由（1）得出OB的長(zhǎng)，結(jié)合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）分當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)和當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)即可求出點(diǎn)P坐標(biāo).【詳解】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，∴（a–2）2+（b–4）2＝0∴a＝2，b＝4，故答案為：2，4；（2）如圖1，由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，且在x軸上，∵∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0），故答案為：（4，0）；（3）存在．理由如下：由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，Ⅰ、如圖2，當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，∵∠APB＝∠BAP＝45°，∴AB＝PB，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝2，∴P（4，2），Ⅱ、如圖3，當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P'作P'D⊥OA于D，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣OA＝2，∴P'（2，﹣2）；即：滿足條件的點(diǎn)P（4，2）或（2，﹣2）；【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難度不大，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論.5．(1)10；證明見(jiàn)解析；(2)，，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明解析：(1)10；證明見(jiàn)解析；(2)，，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明；(1)解：①由圖可知，∵∴，即，∴，，∴；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，如圖，∵，，∴，在和中，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，即，(2)解：，，理由如下：假設(shè)DE交BC于點(diǎn)G，有已知可知：，，，，∴，∵∴∵，且，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，等量代換，絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，直角坐標(biāo)系中的圖形，（1）的關(guān)鍵是證明，（2）的關(guān)鍵證明．6．（1），；（2）D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)絕對(duì)值和乘方的性質(zhì)，得，，通過(guò)求解一元一次方程，得，；結(jié)合坐標(biāo)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）解析：（1），；（2）D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)絕對(duì)值和乘方的性質(zhì)，得，，通過(guò)求解一元一次方程，得，；結(jié)合坐標(biāo)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AO于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明，得AH=EO=2，F(xiàn)H=AO=4，從而得OH=2，即可得點(diǎn)F坐標(biāo)；通過(guò)證明，推導(dǎo)得HD=OD=1，即可得到答案；（3）過(guò)點(diǎn)N分別作NQ⊥ON交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，NG⊥PN交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，再分別過(guò)點(diǎn)Q和點(diǎn)N作QR⊥EG于點(diǎn)R，NS⊥EG于點(diǎn)S，根據(jù)余角和等腰三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明等腰和等腰，推導(dǎo)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明，得等腰，再通過(guò)證明，得NS=EM=4，MS=OE=2，即可完成求解．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AO于點(diǎn)H∵AF⊥AE∴∠FHA=∠AOE=90°，∵∴∠AFH=∠EAO又∵AF=AE，在和中∴∴AH=EO=2，F(xiàn)H=AO=4∴OH=AO-AH=2∴F(-2，4)∵OA=BO，∴FH=BO在和中∴∴HD=OD∵∴HD=OD=1∴D(-1，0)∴D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)N分別作NQ⊥ON交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，NG⊥PN交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，再分別過(guò)點(diǎn)Q和點(diǎn)N作QR⊥EG于點(diǎn)R，NS⊥EG于點(diǎn)S∴∴，∴∴∴∴等腰∴NQ=NO，∵NG⊥PN,NS⊥EG∴∴，∴∵，∴∵點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)∴∴∴∴∴∴∴∴等腰∴NG=NP，∵∴∴∠QNG=∠ONP在和中∴∴∠NGQ=∠NPO，GQ=PO∵，∴PO=PB∴∠POE=∠PBE=45°∴∠NPO=90°∴∠NGQ=90°∴∠QGR=45°.在和中∴．∴QR=OE在和中∴∴QM=OM.∵NQ=NO，∴NM⊥OQ∵∴等腰∴∵∴在和中∴∴NS=EM=4，MS=OE=2∴N(-6，2)．【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、絕對(duì)值、乘方的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．7．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫(huà)出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫(huà)出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-1：

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-2：（3）過(guò)作，連在與∴，在與中∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，又∵∴∵∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是本題的關(guān)鍵．8．(1)③④(2)16(3)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過(guò)A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，解析：(1)③④(2)16(3)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過(guò)A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）記面積為，則，，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而可得，得出由平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得BD平分，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)N，則DH=DN,則，由此即可得出結(jié)論．（1）根據(jù)菱形于正方形的定義值，一定是菠菜四邊形的是菱形與正方形，故答案為：③④（2）如圖，過(guò)A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，∴四邊形AFCE是矩形則四邊形AFCE是正方形，即四邊形ABCD的面積為16（3）①記，∴∵∴∴∵∴∴∴∴如圖：作，∴∴AMAD∴四邊形AMND為平行四邊形∴ADMN∴ADBC②∵ADBC∴又∵AD＝AB∴∴∴BD平分如圖：∵∴∴又∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，對(duì)于同第登高的三角形的面積相等的推到是關(guān)鍵．9．(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°，進(jìn)而得到∠CBD=∠CDB=45°，然后得到∠BCD=90°，最后得到∠ACB+∠BCD=18解析：(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=B