第五章相交線與平行線 平行線的性質(zhì)及平移例題精析及練習2023-2024學年人教版七年級數(shù)學下冊

平行線的性質(zhì)及平移例題精析及練習思維導圖重難點分析重點分析：1.平行線的性質(zhì)：(1)兩直線平行，同位角相等.(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等.(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.2.利用命題的定義來判斷語句是否為命題，關(guān)鍵看是否為一個判斷句.命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，可以寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后寫題設(shè)，“那么”后寫結(jié)論.3.經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理，定理可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).4.證明一個命題是真命題，主要依據(jù)已知的定理、公理或相關(guān)數(shù)學性質(zhì)；而判斷一個命題是假命題，只要舉一個反例即可.5.平移的概念：一個圖形沿著某個方向運動，在移動過程中，原圖形上的每一個點都沿著同一個方向移動相等的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移.6.平移的性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀和大小.一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點的連線平行(或在同一條直線上)且相等.難點分析：1.注意平行的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別是條件與結(jié)論不同，聯(lián)系是條件與結(jié)論互換位置；性質(zhì)是由平行線得到角的關(guān)系，判定是由角的關(guān)系得到平行線.2.連接平移前后兩個圖形的對應(yīng)點的線段平行(或在同一條直線上)且相等，注意一定要對應(yīng)點相連，連線的平行是指它們的位置關(guān)系，相等是指它們的數(shù)量關(guān)系.例題精析例1如圖，把邊長為2的正方形的局部進行圖1~圖4的變換，拼成圖5，則圖5的面積是().A.18B.16C.12D.8思路點撥根據(jù)平移的基本性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小，即圖形平移后面積不變，則圖5的面積可求.解題過程一個正方形的面積為4，而把一個正方形從圖1~圖4進行變換，面積并沒有改變，圖5由4個圖4構(gòu)成，故圖5的面積為4×4=16.故選B.方法歸納本題考查圖形拼接與平移的變換，解決本題的關(guān)鍵是要知道平移不改變圖形的形狀和大小，即面積沒有改變.易錯誤區(qū)圖5由4個圖4構(gòu)成，沒有多也沒有少，本題易誤認為圖5有殘缺.例2某數(shù)學興趣小組探究命題“兩邊分別平行的兩個角相等”是否是真命題，甲同學認為該命題是真命題，并作圖如圖1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC與DE交于點G.(1)根據(jù)甲同學的作圖及題設(shè)，求證：∠(2)乙同學對甲同學的判斷提出質(zhì)疑，認為該命題不一定成立，是假命題，并作圖如圖2所示，題設(shè)與甲同學相同，得到∠B≠∠D.根據(jù)乙同學的作圖，試判斷∠B與∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)請你根據(jù)以上內(nèi)容，總結(jié)出一個真命題.思路點撥(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B=∠CGE,∠D=∠CGE,那么∠B=∠D.(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得.∠B+∠DGB=180°,∠D解題過程(1)∵AB∥DE,BC∥DF,∴∠B=∠CGE,∠D=∠CGE(兩直線平行,同位角相等).∴∠B=∠D(等量代換).(2)∠B+∠D=180°.理由如下:∵AB∥DE,BC∥DF,∴∠B+∠DGB=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補),∠D=∠DGB(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∴∠B+∠D=180°(等量代換).(3)兩邊分別平行的兩個角相等或互補.方法歸納本題考查了命題的真假、推理論證及平行線的相關(guān)知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.易錯誤區(qū)要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.推理證明的過程中需要全面考慮各種情況，才能得出正確結(jié)論.例3如圖,∠A+∠D=180°,∠1=3∠2,∠2=24°,P是BC上的一點.(1)求∠EFC與∠E的度數(shù).(2)若∠BFP=46°,請判斷CE與PF是否平行?并說明理由.思路點撥(1)由.∠A+∠D=180°可得出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠1=∠DFE,再結(jié)合∠1=3∠2,∠2=24°,通過角的計算即可得出∠EFC與∠E的度數(shù).(2)由(1)中∠E的度數(shù)結(jié)合.∠BFP=46°,即可得出∠E≠∠BFP,解題過程(1)∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CD.∴∠1=∠DFE.∵∠1=3∠2,∠2=24°,∴∠1=∠DFE=72°.∴∠∴∠(2)不平行.理由如下：∵∠E=48°,∠BFP=46°,∴∠E≠∠BFP.∴CE與PF不平行.方法歸納本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)得出AB∥CD.(2)熟悉平行線的判定定理.解決該類型題目時，根據(jù)相等(或互補)的角證出兩直線平行是關(guān)鍵.易錯誤區(qū)判定兩條直線平行，需要根據(jù)角的關(guān)系來判斷，不能只憑觀察得出結(jié)果.例4珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B，C，D三點拐彎后與原來相同,如圖,若∠ABC=120°,∠BCD=80°,求∠CDE的度數(shù).思路點撥由已知可得AB∥DE,過點C作CF∥AB,由平行線的性質(zhì)可得∠BCF+∠ABC=180°,所以能求出∠BCF,繼而求出.∠DCF.又由平行線的傳遞性得CF∥DE,所以∠CDE=解題過程如圖,過點C作CF∥AB.∴∠BCF+∠ABC=180°.∵∠ABC=120°,∴∠BCF=60°.又∵∠BCD=80°,∴∠DCF=∠BCD-∠BCF=20°.∵江水流向經(jīng)過B，C，D三點拐彎后與原來相同，∴AB∥DE.∴CF∥DE.∴∠CDE=∠DCF=20°.方法歸納本題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過點C先作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)求解.易錯誤區(qū)作輔助線只能作其中一條直線的平行線，然后利用傳遞性說明三條直線平行，不能出現(xiàn)過點C作CF∥AB∥DE的錯誤.例5如圖1,已知AD∥BC,∠B=∠D.(1)求證:AB∥CD.(2)若∠B=100°,點E,F在線段CD上,且滿足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如圖2,求∠FAC的度數(shù).(3)若點E在直線CD上,且滿足∠EAC=1n∠BACn1),求∠ACD:∠AED思路點撥(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及判定，即可得到AB∥CD.(2)依據(jù)AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,即可得到∠EAC=12∠BAE,∠EAF=12∠DAE,進而得出∠FAC=∠EAC+∠解題過程(1)∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.又∵∠B=∠D,∴∠D+∠A=180°.∴AB∥CD.2∵AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,∴∠∴∠(3)分兩種情況：當點E在線段CD上時，如圖3.由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.又∴∠當點E在DC的延長線上時，如圖4.由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.又∵∠EAC=1x∠BAC,∴∠ACD:∠AED=n:(n-1方法歸納本題主要考查平行線的性質(zhì)以及判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.易錯誤區(qū)(3)需要根據(jù)點E的位置分類討論，是本題的難點和易錯點，特別注意由于圖形不確定，所以還要按要求畫出圖形，同時也考查幾何作圖能力.探究提升例探究:(1)如圖1,若AB∥CD,則∠B+∠D=∠E,你能說明為什么嗎?(2)如圖1,反之,若∠B+∠D=∠E,直線AB與CD有什么位置關(guān)系?請證明.(3)若將圖1中的點E移至如圖2所示的位置，此時∠B，∠D，∠E之間有什么關(guān)系?請證明.(4)若將圖1中的點E移至如圖3所示的位置，情況又如何?(5)如圖4,若AB∥CD,∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系?(6)如圖5,若AB∥CD,又得到什么結(jié)論?思路點撥已知AB∥CD，連接AB，CD的折線內(nèi)折或外折、或改變點E的位置、或增加折線的條數(shù)，通過適當?shù)馗淖兤渲械囊粋€條件，就能得出新的結(jié)論，給我們創(chuàng)造性的思考留下了極大的空間.解題的關(guān)鍵是過點E或點F作AB(或CD)的平行線，把復雜的圖形化歸為基本圖形.解題過程(1)過點E作EF∥AB,如圖6,則∠B=∠BEF.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠D=∠DEF.∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.(2)AB∥CD.理由如下:過點E作EF∥AB,如圖6,則∠B=∠BEF.∵∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D,∴∠D=∠DEF.∴EF∥CD.∴AB∥CD.(3)∠BED+∠B+∠D=360°.理由如下:若將點E移至如圖2所示位置，過點E作EF∥AB，如圖7.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠D+∠DEF=180°,∠B+∠BEF=180°.∴∠BED+∠B+∠D=360°.(4)如圖8,∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD.∵∠D+∠E+∠EFD=180°,∠BFD+∠EFD=180°,∴∠D+∠E=∠BFD.∴∠D+∠E=∠B.(5)如圖9,過點F作.FH‖AB,，則由(1)的結(jié)論可知.又∵∠EFG=∠EFH+∠HFG,∴∠E+∠G=∠B+∠EFG+∠D.(6)由以上可知.∠E方法歸納本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線，把復雜的圖形化歸為基本圖形，使問題得以簡化.易錯誤區(qū)為了合理應(yīng)用平行線的性質(zhì)定理，過折點作平行線時畫射線比較好，但要注意射線的方向，盡量避免添加輔助線后的圖形復雜化.專項訓練拓展訓練A組1.如圖,AB∥CD,CB∥DE,若∠B=72°,則∠D的度數(shù)為().A.36°B.72°C.108°D.118°2.如圖，三角形DEF經(jīng)過怎樣的平移可得三角形ABC().A.先向左平移4個單位，再向下平移2個單位B.先向右平移4個單位，再向下平移2個單位C.先向右平移4個單位，再向上平移2個單位D.先向左平移4個單位，再向上平移2個單位3.【濟南】如圖,DE∥BC,BE平分∠ABC,若∠1=70°,則∠CBE的度數(shù)為().A.20°B.35°C.55°D.70°4.如圖,.∠1=83°,∠2=97°,∠3=78°,,則∠4的度數(shù)為.5.將一副三角尺按如圖所示擺放，邊DE∥AB，則∠1=.6.將一張長方形紙片折疊成如圖的圖形，若∠ABC=26°，則∠∠7.如圖，圖1為北斗七星的位置圖，圖2將北斗七星分別標為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，將A,B,C,D,E,F順次首尾連接,若AF恰好經(jīng)過點G,且AF∥DE,∠B=∠C+10°,∠D=105°,則∠B-∠CGF=.8.在括號內(nèi)填寫理由.如圖,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D.求證:∠E=∠DFE.證明:∵∠B+∠BCD=180°(已知),∴∴∠B=∠DCE().又∵∠B=∠D(),∴∠DCE=∠D().∴AD∥BE().∴∠E=∠DFE().9.潛望鏡中的兩面鏡子MN和PQ是互相平行的，如圖，光線AB經(jīng)鏡面反射后，∠1=∠2,∠3=∠4,射入的光線AB與射出的光線CD平行嗎?為什么?10.如圖,已知AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2.(1)求證:AE∥FG.(2)求證:AB∥CD.(3)若∠D=∠3+50°,∠CBD=80°,求∠C的度數(shù).B組11.如圖，有兩條長分別為a，b的鐵絲，其中長為a的鐵絲恰好圍成一個大正方形；AB是大正方形的對角線，把AB分成n條相等的線段，再以每條線段作為小正方形的對角線，長為b的鐵絲恰好能圍成n個這樣的小正方形.若均不考慮接口情況，則a，b的大小關(guān)系是().A.a>bB.a<bC.a=bD.a≥b12.【萊蕪】如圖,AB∥CD,∠BED=61°,∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點F,則∠DFB等于().A.149°B.149.5°C.150°D13.下列命題：①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③若b∥c，a∥c，則b∥a；④若∠1=40°,∠2的兩邊與∠1的兩邊分別平行,則∠2=40°或140°;⑤若b⊥c,a⊥c,則b∥a.其中是真命題的有.(填序號)14.如圖,已知.EF‖AD,AD‖BC,CE平分15.如圖,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2..16.如圖,已知AB∥CD,點C在點D的右側(cè),BE平分.∠ABC,,DE平分∠ADC,BE,DE(1)求∠EDC的度數(shù)(2)若∠ABC=n°,，求∠BED的度數(shù)((3)將線段BC沿DC方向移動，使得點B在點A的右側(cè)，其他條件不變，若∠ABC=n°,求∠BED的度數(shù)(走進重高1.【鞍山】如圖,AB∥CD,EF與AB,CD分別交于點G,H,∠CHG的平分線HM交AB于點M,若∠EGB=50°,則∠GMH的度數(shù)為().A.50°B.55°C.60°D.65°2.【襄陽】如圖,直線BC∥AE,CD⊥AB于點D,若∠BCD=40°,則∠1的度數(shù)是().A.60°B.50°C.40°D.30°3.【通遼】如圖,∠AOB的一邊OA為平面鏡,∠AOB=37°45',在OB邊上有一點E，從點E射