空間向量運算的坐標(biāo)表示 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）+選擇性必修第一冊

1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示【知識回顧】問題1：平面向量的運算有哪些？向量相加c=a+b向量相減c=a－b向量的數(shù)乘c=λa數(shù)量積c=a·b向量的模｜a｜向量夾角cos<a,b>名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)a⊥ba·b＝0__________________模|a|＝______________________

夾角

cos〈a，b〉＝

設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a1b1＋a2b2＝0問題2：平面向量的平行、垂直及模、夾角如何用坐標(biāo)表示？思考1：向量a在平面上可用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示，在空間如何表示？【探究新知】由平面向量的坐標(biāo)運算，推廣到空間向量運算.提示：在空間則用有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）表示.思考2.如何理解空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算間的關(guān)系?提示：空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算類似,僅多了一個豎坐標(biāo),其運算法則相似.證明：設(shè)i,j,k為單位正交基底，則a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k.所以a?b=(a1i+a2j+a3k)?(b1i+b2j+b3k).利用向量數(shù)量積的分配律以及i?i=j?j=k?k=1i?j=j?k=i?k=0，即可得出

a?b=a1b1+a2b2+a3b3.思考3.如何證明空間向量的數(shù)量積運算?設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a1=λb1，a2=λb2，a//ba=λb設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)空間兩向量平行與平面兩向量平行的表達式不一樣，但實質(zhì)上是一致的，即對應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為λ.注意思考4.如何利用空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的平行?a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)a//ba=λb思考5.如何利用空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的垂直?a⊥ba·b=0a⊥ba·b=0a1b1+a2b2=0a1b1+a2b2+a3b3=0設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)思考6.如何利用空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的長度?思考7.如何利用空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的夾角?

思考8.如何利用空間向量的坐標(biāo)表示空間兩點間的距離?例1：已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)（1）設(shè)|c|＝3，c∥.求c；（2）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.【鞏固新知】

點撥：1.向量平行與垂直問題的兩種類型(1)平行與垂直的判斷.①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行,只需判斷兩直線的方向向量是否共線;②判斷兩直線是否垂直,關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直,即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②選擇坐標(biāo)形式,以達到簡化運算的目的.2.向量坐標(biāo)處理空間平行與垂直的三步驟(1)向量化:將空間中的平行與垂直轉(zhuǎn)化為向量的平行與垂直.(2)代數(shù)化:向量關(guān)系代數(shù)化即寫出向量的坐標(biāo).(3)求解:利用向量坐標(biāo)運算列出關(guān)系式求解.三、舉例應(yīng)用掌握定義例3.如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱