數(shù)學(xué)-專題04 勾股定理基本應(yīng)用（原版）

專題04勾股定理基本應(yīng)用專題說明專題說明勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一。勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。解題思路解題思路考點1求線段長直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.考點2求面積類型一直角三角形中求斜邊上的高類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度類型三巧妙割補求面積類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積考點3解直角三角形①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運用勾股定理解決一些實際問題【典例分析】【考點1求線段長】【典例1-1】（2022八下·德陽期末）已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，則AC＝（）A．6 B．41 C．4 D．3【典例1-2】（2021八上·龍泉期末）

若直角三角形的兩邊長分別是5和12，則它的斜邊長是()A．13B．13或119C．119 D．12或13【變式1-1】（2021八上·丹東期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，BC=6，那么AC的長是（）．A．10 B．27 C．10或27【變式1-2】（2021八上·槐蔭期末）直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（）A．13 B．14 C．89 D．1【變式1-3】（2020秋?寶安區(qū)期末）若一直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊長為（）A．10 B． C．10或 D．14【考點2求面積】【典例2】（2020春?東城區(qū)校級期末）若三個正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（）A．6 B．36 C．64 D．8【變式2-1】（2021八上·臨漳期中）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，若三個正方形的面積分別為225、400、S，則S的值為（）A．25 B．175 C．600 D．625【變式2-2】

（2021秋?和平區(qū)期末）如圖，分別以此直角三角形的三邊為直徑在三角形外部畫半圓，若S1＝9π，S2＝16π，則S3＝．【變式2-3】（2021八上·渠縣期中）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積和是cm2.【典例3】（2021八上·佛山月考）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A．255 B．355 C．【變式3-1】（2021八上·通州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為D．如果AC=6，BC=3，則BD的長為（）A．2 B．32 C．33 【變式3-2】（2021八上·六盤水月考）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD⊥BC于點D，則AD的長為（）

A．2 B．2 C．5 D．3【考點3解直角三角形】【典例4】（2021秋?紫金縣期中）如圖，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的長．【變式4-1】（2021八上·北鎮(zhèn)期中）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8，求CD的長．【變式4-2】（2021八上·連南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的長．

【夯實基礎(chǔ)】1．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，兩個較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．642．（2022秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（）A．20 B．26 C．30 D．523．（2022秋?綏中縣校級期末）若直角三角形的兩邊長分別為a，b，且滿足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，則該直角三角形的第三邊長的平方為（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16

4．（2022秋?青島期末）如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高是（）A． B． C． D．5．（2022春?靈寶市校級月考）如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的圖形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2022春?潛山市月考）如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°．若AE＝2，BE＝3，則正方形ABCD的面積為（）A．10 B．13 C．36 D．1697．（2022秋?興慶區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，則正方形ABDE的面積為（）

A．18 B．48 C．65 D．728．（2022秋?徐匯區(qū)期末）一個直角三角形兩條直角邊的比是3：4，斜邊長為10cm，那么這個直角三角形面積為．【答案】24cm29．（2022秋?邢臺期末）已知平面直角坐標系中，點P（m﹣2，4）到坐標原點距離為5，則m的值為．10．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC邊上的高的長．11．（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．12．（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C恰好在格點（網(wǎng)格線的交點）上．

（1）求△ABC的周長．（2）求△ABC的面積．【能力提升】13．（2022秋?二七區(qū)校級期末）如圖，已知直角三角形ABC的周長為24，且陰影部分的面積為24，則斜邊AB的長為．14．（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝．14．（2022秋?佛山校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t秒．

（1）求BC邊的長；（2）當△ABP為直角三角形時，求t的值；（3）當△ABP為等腰三角形時，求t的值．15．（2022秋?二道區(qū)校級期末）定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割．（1）已知M、N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；（2）已知點M