2024屆全國百強校山西大學附屬中學數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆全國百強校】山西大學附屬中學數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若隨機變量的數(shù)學期望，則的值是()A． B． C． D．2．在的展開式中，各項系數(shù)與二項式系數(shù)和之比為，則的系數(shù)為（）A．21 B．63 C．189 D．7293．已知一袋中有標有號碼、、的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當三種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取次卡片時停止的概率為（）A． B． C． D．4．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.35．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個，求適合條件的映射的個數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．406．如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()A． B． C． D．7．已知函數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．設，則z的共軛復數(shù)為A． B． C． D．9．下面是列聯(lián)表：合計2163223557合計56120則表中的值分別為（）A．84，60 B．42，64 C．42,74 D．74,4210．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．11．設全集為R，集合，，則A． B． C． D．12．從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．14．，若，則的最大值為______.15．若復數(shù)z滿足方程，其中i為虛數(shù)單位，則________.16．若雙曲線的焦點在軸上，焦距為，且過點，則雙曲線的標準方程為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：.18．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，求的值．19．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，．的前n項和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前項和．20．（12分）某品牌經(jīng)銷商在一廣場隨機采訪男性和女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時的用戶稱為“微信控”，否則稱其“非微信控”，調(diào)查結(jié)果如下：微信控非微信控合計男性262450女性302050合計5644100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有的把握認為“微信控”與“性別”有關(guān)？（2）現(xiàn)從采訪的女性用戶中按分層抽樣的方法選出10人，再從中隨機抽取3人贈送禮品，求抽取3人中恰有2人為“微信控”的概率.參考數(shù)據(jù)：P（）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828參考公式：，其中.21．（12分）已知函數(shù)（1）當時，解不等式；（2）若時，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。22．（10分）如圖所示,在三棱柱中,是邊長為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由題意結(jié)合二項分布數(shù)學期望的計算公式求解實數(shù)p的值即可.詳解：隨機變量則的數(shù)學期望，據(jù)此可知：，解得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查二項分布的數(shù)學期望公式及其應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、C【解題分析】分析：令得各項系數(shù)和，由已知比值求得指數(shù)，寫出二項展開式通項，再令的指數(shù)為4求得項數(shù)，然后可得系數(shù)．詳解：由題意，解得，∴，令，解得，∴的系數(shù)為．故選C．點睛：本題考查二項式定理，考查二項式的性質(zhì)．在的展開式中二項式系數(shù)和為，而展開式中各項系數(shù)的和是在展開式中令變量值為1可得，二項展開式通項公式為．3、B【解題分析】分析：由題意結(jié)合排列組合知識和古典概型計算公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：根據(jù)題意可知，取5次卡片可能出現(xiàn)的情況有種；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有兩種編號，所以總的可能有種；所以恰好第5次停止取卡片的概率為.本題選擇B選項.點睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.4、C【解題分析】因，故由正態(tài)分布的對稱性可知，應選答案C。5、D【解題分析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個進行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個元素作象，共有種選法，中每組第一個對應集合中的較小者，適合條件的映射共有個，故選D.點睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對應關(guān)系.6、A【解題分析】

觀察已知中的三個圖形，得到每一次變化相當于“順時針”旋轉(zhuǎn)2個角，由此即可得到答案．【題目詳解】由題意，觀察已知的三個圖象，每一次變化相當于“順時針”旋轉(zhuǎn)2個角，根據(jù)此規(guī)律觀察四個答案，即可得到A項符合要求，故選A．【題目點撥】本題主要考查了歸納推理的應用，其中解答中熟記歸納的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某項相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），合理使用歸納推理是解得關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

令，由可知在上單調(diào)遞增，從而可得在上恒成立；通過分離變量可得，令，利用導數(shù)可求得，從而可得，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】由且得：令，可知在上單調(diào)遞增在上恒成立，即：令，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒁阎P(guān)系式變形為符合單調(diào)性的形式，從而通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)大于等于零恒成立的問題；解決恒成立問題常用的方法為分離變量，將問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較的問題，屬于常考題型.8、D【解題分析】試題分析：的共軛復數(shù)為，故選D．考點：1.復數(shù)的四則運算；2.共軛復數(shù)的概念．9、B【解題分析】因，故,又，則，應選答案B。10、A【解題分析】

根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進而求得正三棱錐的體積.【題目詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運算，考查幾何體外接球有關(guān)問題的求解，屬于中檔題.11、B【解題分析】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12、D【解題分析】

從、、中任取兩個字母排成一列，直接利用排列數(shù)公式可得出結(jié)果.【題目詳解】由排列數(shù)的定義可知，從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為.故選：D.【題目點撥】本題考查排列數(shù)的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解題分析】，它展開式中的第項為，令，則，的系數(shù)為，故答案為.14、【解題分析】

均值不等式推廣；【題目詳解】【題目點撥】熟練掌握。15、2【解題分析】

設，利用復數(shù)的乘法運算計算得到即可.【題目詳解】由已知，設，則，所以，解得，故，.故答案為：2.【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘法、復數(shù)模的運算，涉及到復數(shù)相等的概念，是一道容易題.16、【解題分析】

設雙曲線的標準方程為，利用雙曲線的定義求出的值，結(jié)合焦距求出的值，從而可得出雙曲線的標準方程.【題目詳解】設雙曲線的標準方程為，由題意知，該雙曲線的左、右焦點分別為、，由雙曲線的定義可得，，則，因此，雙曲線的標準方程為.故答案為：.【題目點撥】本題考查過點求雙曲線的方程，在雙曲線的焦點已知的前提下，可以利用定義來求雙曲線的標準方程，也可以利用待定系數(shù)法求解，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)-1；(2)；(3)參考解析【解題分析】試題分析：（1），可知在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以最大值為f(1).(2)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),即在上恒成立．，利用分離參數(shù)在上恒成立，即求的最大值．（3）有兩個實根，，兩式相減，又，．要證：，只需證：，令可證．試題解析：（1）函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以．（2）因為，所以，因為在區(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)，所以在（0，3）恒成立，有=，（）綜上：（3）∵，又有兩個實根，∴，兩式相減，得，∴,于是．要證：，只需證：只需證：．(*)令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．∴．（其他解法根據(jù)情況酌情給分）18、（1）極小值為，極大值為；（2）或【解題分析】

(1)直接利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.(2)設切點為，再根據(jù)求得，再求b的值.【題目詳解】(1)因為令=0，得，解得=或=1．1-0+0-↘極小值↗極大值↘所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，極大值為．（2）因為，直線是的切線，設切點為，則，解得，當時，，代入直線方程得，當時，，代入直線方程得．所以或.【題目點撥】(1)本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查利用導數(shù)求曲線的切線方程，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與曲線的切線方程有關(guān)的問題，如果不知道切點，一般設切點坐標，再解答.19、（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知可得解得，則及可求；（2）由（1）可得，裂項求和即可試題解析：（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，，所以，所以，即數(shù)列的前項和.考點：等差數(shù)列的通項公式，前項和公式．裂項求和20、（1）沒有；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)列聯(lián)表及公式計算出，與比較大小即可得出答案；（2）分成抽樣可得“微信控”有6人，“非微信控”有4人，由古典概型的概率公式可得所求概率.【題目詳解】解：（1）由題意得由于，故沒有的把握認為“微信控”與“性別”有關(guān).（2）在所選出的10人中“微信控”有6人，“非微信控”有4人.記事件A表示“抽取3人中恰有2人為“微信控”，則，所以，抽取3人中恰有2人為“微信控”的概率.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗統(tǒng)計案例，考查古典概型的概率，是基礎(chǔ)題.21、(1);(2)的取值范圍為.【解題分析】分析：（1）進行分類討論，分別解出種情況下不等式的解集，最后取并集可得不等式的解集；（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，可得，從而可得結(jié)果.詳解：（1）當時，，即不等式的解集為（2）由已知在上恒成立，由，不等式等價于在上恒成立，由，得即：在上恒成立，的取值范圍為點睛：絕對值不等式的常見解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．22、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求