北京市房山區(qū)市級名校2024屆數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

北京市房山區(qū)市級名校2024屆數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．2．某校學生一次考試成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（110，102），從中抽取一個同學的成績ξ，記“該同學的成績滿足90＜ξ≤110”為事件A，記“該同學的成績滿足80＜ξ≤100”為事件B，則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P（B|A）＝（）附：X滿足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．A． B． C． D．3．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度4．已知函數(shù)的定義域為，為的導函數(shù)，且，若，則函數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A． B．C． D．6．二項式展開式中，的系數(shù)是（

）A． B． C．

D．7．已知命題，則命題的否定為()A． B．C． D．8．設則（）A．都大于2 B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于29．已知點為雙曲線上一點，則它的離心率為（）A． B． C． D．10．若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為()A．1或2 B．或2 C． D．211．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機從這次考試的成績中抽取個樣本，則成績小于分的樣本個數(shù)大約為（）A． B． C． D．12．已知，則下列結論正確的是A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在如圖所示的十一面體中，用種不同顏色給這個幾何體各個頂點染色，每個頂點染一種顏色，要求每條棱的兩端點異色，則不同的染色方案種數(shù)為__________．14．已知定義在上的函數(shù)在導函數(shù)為，若，且當時，，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是__________．15．的展開式中，項的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）16．已知集合，集合，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，已知橢圓經(jīng)過點，且其左右焦點的坐標分別是，.（1）求橢圓的離心率及標準方程；（2）設為動點，其中，直線經(jīng)過點且與橢圓相交于，兩點，若為的中點，是否存在定點，使恒成立？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由18．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（I）求曲線的直角坐標方程；（II）求直線與曲線交點的直角坐標.19．（12分）已知函數(shù)，其導函數(shù)的兩個零點為和.（I）求曲線在點處的切線方程；（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.20．（12分）橢圓過點，離心率為，左右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點．（1）求橢圓的方程；（2）當?shù)拿娣e為時，求直線的方程．21．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當時，求的最小值；（Ⅱ）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點．22．（10分）已知橢圓的離心率為，拋物線與橢圓在第一線象限的交點為．（1）求曲線、的方程；（2）在拋物線上任取一點，在點處作拋物線的切線，若橢圓上存在兩點關于直線對稱，求點的縱坐標的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求出導函數(shù)，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的實數(shù)根即可求解.【題目詳解】因為f(x)=x3-x2+mx+1，所以，又因為函數(shù)f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調(diào)函數(shù),所以有兩個不同的實數(shù)解，可得，即實數(shù)m的取值范圍是，故選：C.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于基礎題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為方程問題是解題的關鍵2、A【解題分析】

利用條件概率公式，即可得出結論.【題目詳解】由題意，，，所以，故選A項.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，正態(tài)分布的簡單應用，屬于簡單題.3、D【解題分析】因為把的圖象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象，向右平移個單位長度故選D.4、B【解題分析】分析：根據(jù)題意求得函數(shù)的解析式，進而得到的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的特征求得最值．詳解：由，得，∴，設（為常數(shù)），∵，∴，∴，∴，∴，∴當x=0時，；當時，，故當時，，當時等號成立，此時；當時，，當時等號成立，此時．綜上可得，即函數(shù)的取值范圍為．故選B．點睛：解答本題時注意從所給出的條件出發(fā)，并結合導數(shù)的運算法則利用構造法求出函數(shù)的解析式；求最值時要結合函數(shù)解析式的特征，選擇基本不等式求解，求解時注意應用不等式的條件，確保等號能成立．5、D【解題分析】

本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結合選項，判斷得出正確結論.題目不難，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【題目詳解】當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【題目點撥】易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數(shù)的單調(diào)性.6、B【解題分析】通項公式：，令，解得，的系數(shù)為，故選B.【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.7、D【解題分析】分析：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得結果.詳解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定為，故選D.點睛：本題主要考查全稱命題的否定，屬于簡單題.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞、存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結論，而一般命題的否定只需直接否定結論即可.8、C【解題分析】

由基本不等式，a，b都是正數(shù)可解得．【題目詳解】由題a，b，c都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式可得，若，，都小于2，則與不等式矛盾，因此，至少有一個不小于2；當，，都等于2時，選項A，B錯誤，都等于3時，選項D錯誤．選C.【題目點撥】本題考查了基本不等式，此類題干中有多個互為倒數(shù)的項，一般都可以先用不等式求式子范圍，再根據(jù)題目要求解題．9、B【解題分析】

將點P帶入求出a的值，再利用公式計算離心率?！绢}目詳解】將點P帶入得，解得所以【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，屬于基礎題。10、C【解題分析】

根據(jù)純虛數(shù)的定義可得2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0然后求解．【題目詳解】∵復數(shù)z＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是純虛數(shù)∴2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0∴m故選C．【題目點撥】本題主要考查了純虛數(shù)的概念，解題的關鍵是要注意m2﹣3m+2≠0，屬于基礎題.11、A【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的意義可得即可得出結論.詳解：由題可得：又對稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個數(shù)大約為100x0.04=4故選A.點睛：本題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題關鍵是要知道.12、A【解題分析】因為，所以，又，故，即答案C，D都不正確；又因為，所以應選答案A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解題分析】分析：首先分析幾何體的空間結構，然后結合排列組合計算公式整理計算即可求得最終結果.詳解：空間幾何體由11個頂點確定，首先考慮一種涂色方法：假設A點涂色為顏色CA，B點涂色為顏色CB，C點涂色為顏色CC，由AC的顏色可知D需要涂顏色CB，由AB的顏色可知E需要涂顏色CC，由BC的顏色可知F需要涂顏色CA，由DE的顏色可知G需要涂顏色CA，由DF的顏色可知I需要涂顏色CC，由GI的顏色可知H需要涂顏色CB，據(jù)此可知，當△ABC三個頂點的顏色確定之后，其余點的顏色均為確定的，用三種顏色給△ABC的三個頂點涂色的方法有種，故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數(shù)為6.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．14、【解題分析】分析：根據(jù)條件得到函數(shù)的對稱性，結合函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊值法進行求解即可.詳解：由，得函數(shù)關于對稱，當時，，即在上單調(diào)遞減，不妨設，則不等式等價為，即，即，得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.點睛：本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，利用特殊值法是解決本題的關鍵.15、-30【解題分析】

由題意利用冪的意義，組合數(shù)公式，求得項的系數(shù).【題目詳解】，表示個因式的積，要得到含項，需個因式選，個因式選，其余的個因式選即可.展開式中，項的系數(shù)為.故答案為：-30【題目點撥】本題考查了二項式定理、組合數(shù)公式，需熟記公式，屬于基礎題.16、{3，4}．【解題分析】

利用交集的概念及運算可得結果.【題目詳解】，.【題目點撥】本題考查集合的運算，考查交集的概念與運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）在定點【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的焦點得到，根據(jù)橢圓過點，由橢圓的定義得到，再求出，從而得到橢圓的離心率和標準方程；（2）設，，則，，利用點差法，得到，從而表示出線段的垂直平分線，再根據(jù)直線過定點，得到關于的方程組，得到定點的坐標.【題目詳解】（1）設橢圓方程：.∴.∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴，可得.橢圓的離心率為，橢圓標準方程：.（2）設，，因為為中點，則，.∵、在曲線上，∴，將以上兩式相減得：.所以得到，∴線段的垂直平分線方程：，整理得令，得故線段的垂直平分線過定點.所以存在定點，使恒成立.【題目點撥】本題考查根據(jù)橢圓定義求橢圓標準方程和離心率，直線與橢圓的位置關系，點差法表示線段垂直平分線，橢圓中直線過的定點，屬于中檔題.18、（I）；（II）.【解題分析】

（I）曲線C的極坐標方程為兩邊同乘，利用極坐標與直角坐標互化公式可得直角坐標方程．（II）將代入中，得的二次方程，解得則可求解【題目詳解】（I）將兩邊同乘得，，曲線的直角坐標方程為：.（II）將代入中，得，解得，直線與曲線交點的直角坐標為.【題目點撥】本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、直線與拋物線相交問題，考查的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、（I）；（II）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；（III）最大值為，最小值為.【解題分析】試題分析：對函數(shù)求導，由于導函數(shù)有兩個零點，所以這兩個零點值滿足，解方程組求出m,n；利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，先求f(1),求出切點，再求得出斜率，利用點斜式寫出切線方程，求單調(diào)區(qū)間只需在定義域下解不等式和，求出增區(qū)間和減區(qū)間；求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，先研究函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值，求出區(qū)間兩端點的函數(shù)值，比較后得出最值.試題解析：（1）∵，∴，由知，解得從而，∴.所以，∴，曲線在點處的切線方程為，即，（2）由于，當變化時，，的變化情況如下表：-30+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是（-3,0）.（3）由于，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為-1.20、（1）；（2）或．【解題分析】

（1）由已知條件推導出，由此能求出橢圓C的方程．

（2）由（1）知F1（-1，0），①當l的傾斜角是時，,不合題意；當l的傾斜角不是時，設l的方程為，由消去y得：，設A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韋達定理能求出直線l的方程．【題目詳解】（1）橢圓過點離心率為又,解得橢圓C的方程.（2）由（1）知，①當l的傾斜角是時，l的方程為，交點，此時,不合題意；②當l的傾斜角不是時，設l的斜率為k,則其直線方程為，由消去y得：，設，則，，又已知,解得，故直線l的方程為，即或．【題目點撥】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和函數(shù)與方程思想的合理運用．21、（Ⅰ）0；（Ⅱ）證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的最小值；（Ⅱ）對