(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)7.1《基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》(教師版)

第第頁(yè)§7.1基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積考試要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖．知識(shí)梳理1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體S表＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體S表＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S表＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．(√)(3)菱形的直觀圖仍是菱形．(×)(4)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方．(×)教材改編題1．如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱答案C2．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm答案B解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3．如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．答案1∶47解析設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出的棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc﹣eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.題型一基本立體圖形命題點(diǎn)1結(jié)構(gòu)特征例1下列命題正確的是()A．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線B．直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐C．棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等D．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)答案D解析A不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線垂直于底面時(shí)才是母線；B不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；C錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且對(duì)應(yīng)邊互相平行．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是這些側(cè)棱的長(zhǎng)不一定相等．教師備選(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體答案ABC解析選項(xiàng)A，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，即其余各面的三角形必須有公共的頂點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，棱臺(tái)是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺(tái)，因?yàn)樗膫?cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面的共頂點(diǎn)的角之和是360°時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，則說(shuō)明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長(zhǎng)方形，符合長(zhǎng)方體的定義，故D正確．思維升華空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．命題點(diǎn)2直觀圖例2有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．答案2＋eq\f(\r(2),2)解析DC＝ABsin45°＝eq\f(\r(2),2)，BC＝ABcos45°＋AD＝eq\f(\r(2),2)＋1，S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·DC＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,4)，S＝eq\f(4,\r(2))S梯形ABCD＝2＋eq\f(\r(2),2).教師備選如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為()A.eq\r(2)B．4eq\r(2)C．8eq\r(2)D．2eq\r(2)答案C解析由S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖，得S原圖形＝2eq\r(2)×4＝8eq\r(2).思維升華(1)在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．(2)按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．命題點(diǎn)3展開圖例3如圖所示的扇形是某個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，已知扇形所在圓的半徑R＝eq\r(5)，扇形弧長(zhǎng)l＝4π，則該圓錐的表面積為()A．2πB．(4＋2eq\r(5))πC．(3＋eq\r(5))πD．8π＋eq\r(5)答案B解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2πr＝4π，解得r＝2，∴圓錐的表面積S表＝S底面圓＋S側(cè)＝πr2＋eq\f(1,2)lR＝π×22＋eq\f(1,2)×4π×eq\r(5)＝(4＋2eq\r(5))π.教師備選已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是________．答案1解析如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝2π，∴r·l＝2.又圓錐側(cè)面展開圖為半圓，∴eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，∴l(xiāng)＝2，∴r＝1.思維升華多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)給出下列命題，其中真命題是()A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直C．在四棱柱中，若過(guò)相對(duì)側(cè)棱的兩個(gè)截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D．存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體答案BCD解析A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)二面角都是直二面角；C正確，因?yàn)檫^(guò)相對(duì)側(cè)棱的兩個(gè)截面的交線平行于側(cè)棱，又兩個(gè)截面都垂直于底面，故該四棱柱為直四棱柱；D正確，如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱錐C1﹣ABC，四個(gè)面都是直角三角形．(2)已知水平放置的△ABC按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．鈍角三角形答案A解析根據(jù)斜二測(cè)畫法還原△ABC在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖，則BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝eq\r(3)，AC＝AB＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，所以△ABC是一個(gè)等邊三角形．(3)如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲爬行的最短路程為()A．12eq\r(3)B．16C．24D．24eq\r(3)答案A解析如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為θ，則由題意可得2π×4＝12θ，則θ＝eq\f(2π,3)，在△POP′中，OP＝OP′＝12，則小蟲爬行的最短路程為PP′＝eq\r(122＋122－2×12×12×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝12eq\r(3).題型二表面積與體積命題點(diǎn)1表面積例4(1)(2022·濟(jì)南調(diào)研)如圖，四面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面的圓心，則圓柱的表面積是()A.eq\f(\r(2)＋2π,3) B.eq\f(9\r(2)＋8π,12)C.eq\f(2\r(2)＋1π,3) D.eq\f(\r(2)＋2π,2)答案C解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點(diǎn)E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D.AE＝eq\f(2,3)AD，AD＝eq\f(\r(3),2)，∴AE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\f(\r(6),3).設(shè)圓柱底面半徑為r，則r＝AE＝eq\f(\r(3),3)，∴圓柱的側(cè)面積S1＝2πr·PE＝2π×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(2\r(2)π,3)，底面積S2＝πr2×2＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2×2＝eq\f(2π,3)，∴圓柱的表面積S＝S1＋S2＝eq\f(2\r(2)π,3)＋eq\f(2π,3)＝eq\f(2\r(2)＋1π,3).(2)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為________．答案(60＋4eq\r(2))π解析由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺(tái)上面挖去一個(gè)圓錐的組合體．如圖，過(guò)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E，過(guò)C作AB的垂線，垂足為F.則∠EDC＝180°﹣∠ADC＝45°，EC＝CD·sin45°＝2，ED＝CD·cos45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB﹣AF＝3，BC＝eq\r(32＋42)＝5.故圓臺(tái)的上底面半徑r＝2，下底面半徑R＝5，高h(yuǎn)＝4，母線長(zhǎng)l2＝5.圓錐底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2，母線長(zhǎng)l1＝2eq\r(2).所以圓臺(tái)側(cè)面積S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，圓錐側(cè)面積S2＝eq\f(1,2)×2πr×l1＝eq\f(1,2)×2π×2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)π，圓臺(tái)下底面面積S3＝πR2＝25π.故該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4eq\r(2)π＋25π＝(60＋4eq\r(2))π.教師備選已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π答案B解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.思維升華(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．(3)組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理．命題點(diǎn)2體積例5(1)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A．20＋12eq\r(3) B．28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)答案D解析作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq\r(2)，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(16＋4＋eq\r(64))＝eq\f(28\r(2),3).(2)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1﹣D1MN的體積為________．答案1解析如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2，得SKIPIF1<0＝2×2﹣2×eq\f(1,2)×2×1﹣eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,2)，又易知D1A1為三棱錐D1﹣A1MN的高，且D1A1＝2，SKIPIF1<0＝eq\f(1,3)·SKIPIF1<0·D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.(3)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長(zhǎng)AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是()A．4立方丈 B．5立方丈C．6立方丈 D．8立方丈答案B解析如圖，過(guò)E作EG⊥平面ABCD，垂足為G，過(guò)F作FH⊥平面ABCD，垂足為H，過(guò)G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，過(guò)H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由圖形的對(duì)稱性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形．則它的體積V＝VE﹣AQPD＋VEPQ﹣FMN＋VF﹣NBCM＝eq\f(1,3)·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋eq\f(1,3)·FH·S矩形NBCM＝eq\f(1,3)×1×1×3＋eq\f(1,2)×3×1×2＋eq\f(1,3)×1×1×3＝5(立方丈)．教師備選如圖所示，在直徑AB＝4的半圓O內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180°形成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為______．答案eq\f(10,3)π解析如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ABC中，AC＝ABcos30°＝2eq\r(3)，CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)，AD＝ACcos30°＝3，BD＝AB﹣AD＝1，將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180°形成一個(gè)幾何體，該幾何體是以AB為直徑的半個(gè)球中間挖去兩個(gè)同底的半圓錐，故所求幾何體的體積為V＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π×23－\f(1,3)×π×\r(3)2×3＋1))＝eq\f(10,3)π.思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為()A.eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π答案AB解析如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，長(zhǎng)為eq\r(2)，所以所形成的幾何體的表面積S＝π×1×eq\r(2)＋π×12＝(eq\r(2)＋1)π；如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則形成的是上、下兩個(gè)圓錐．圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高，所以圓錐的半徑為eq\f(\r(2),2)，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長(zhǎng)是1，所以形成的幾何體的表面積S′＝2×π×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\r(2)π.綜上可知，形成幾何體的表面積是(eq\r(2)＋1)π或eq\r(2)π.(2)已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A﹣B1CD1的體積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C．4D．6答案B解析如圖，三棱錐A﹣B1CD1是由正方體ABCD﹣A1B1C1D1截去四個(gè)小三棱錐A﹣A1B1D1，C﹣B1C1D1，B1﹣ABC，D1﹣ACD，又SKIPIF1<0＝23＝8，SKIPIF1<0＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×23＝eq\f(4,3)，所以SKIPIF1<0＝8﹣4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).課時(shí)精練1．已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)答案B解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為eq\r(2)，所以2π×eq\r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq\r(2).2．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有木長(zhǎng)二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問(wèn)葛長(zhǎng)幾何？”意思是“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)為5尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問(wèn)葛藤最少長(zhǎng)多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個(gè)問(wèn)題中，葛藤長(zhǎng)的最小值為()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺答案C解析如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊(即圓木的高)長(zhǎng)24尺，另一條直角邊長(zhǎng)5×2＝10(尺)，因此葛藤長(zhǎng)的最小值為eq\r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．3．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，則將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．(5＋eq\r(2))πB．(4＋eq\r(2))πC．(5＋2eq\r(2))πD．(3＋eq\r(2))π答案A解析如圖所示，梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC﹣AD＝2﹣1＝1的圓錐，∴該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.4．玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器”，是古人用于祭祀神祇的一種禮器．《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文．如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對(duì)稱，圓筒內(nèi)徑2.0cm，外徑2.4cm，筒高6.0cm，方高4.0cm，則其體積約為(單位：cm3)()A．23.04﹣3.92π B．34.56﹣3.92πC．34.56﹣3.12π D．23.04﹣3.12π答案D解析由題圖可知，組合體由圓柱、長(zhǎng)方體構(gòu)成，組合體的體積為V＝2×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2.4,2)))2＋4×2.4×2.4﹣π×12×6＝23.04﹣3.12π.5．正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積之比為()A.eq\f(\r(6),18)B.eq\f(\r(6),9)C.eq\f(\r(6),12)D.eq\f(\r(6),3)答案B解析取BC的中點(diǎn)G，連接EG，BD，取BD的中點(diǎn)O，連接EO，如圖，由棱長(zhǎng)為2，可得正八面體上半部分的斜高為EG＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，高為EO＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則正八面體的體積為V＝2×eq\f(AB·BC·EO,3)＝2×eq\f(2×2×\r(2),3)＝eq\f(8\r(2),3)，其表面積為S＝8×eq\f(EG·BC,2)＝8×eq\f(\r(3)×2,2)＝8eq\r(3)，∴此正八面體的體積與表面積之比為eq\f(\r(6),9).6．(多選)在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀可能是()A．圓面B．矩形面C．梯形面D．橢圓面或部分橢圓面答案ABD解析將圓柱桶豎放，水平面為圓面；將圓柱桶斜放，水平面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水平面為矩形面，但圓柱桶內(nèi)的水平面不可以呈現(xiàn)出梯形面．7．(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．圓柱的每個(gè)軸截面都是全等的矩形B．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形D．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面答案AD解析A正確；B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行；C不正確，棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)可能不相等；D正確，用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面．8．(多選)攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個(gè)角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(21)米，則()A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米B．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為24eq\r(3)平方米D．正四棱錐的側(cè)面積為12eq\r(3)平方米答案AC解析如圖，在正四棱錐S﹣ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，則SH⊥AB，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a.因?yàn)椤蟂HO＝30°，所以O(shè)H＝AH＝a，OS＝eq\f(\r(3),3)a，SH＝eq\f(2\r(3),3)a.在Rt△SAH中，a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))2＝21，解得a＝3，所以正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米，側(cè)面積為S＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)×4＝24eq\r(3)(平方米)．9．如圖是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則由斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為________．答案eq\f(\r(2),2)解析利用斜二測(cè)畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標(biāo)系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.過(guò)點(diǎn)B′作x′軸的垂線，垂足為點(diǎn)D′.在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).10.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.答案2600π解析將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm2)．11.如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.答案12eq\r(3)﹣eq\f(π,2)解析螺帽的底面正六邊形的面積S＝6×eq\f(1,2)×22×sin60°＝6eq\r(3)(cm2)，正六棱柱的體積V1＝6eq\r(3)×2＝12eq\r(3)(cm3)，圓柱的體積V2＝π×0.52×2＝eq\f(π,2)(cm3)，所以此六角螺帽毛坯的體積V＝V1﹣V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3.12．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓周上的兩點(diǎn)A，B滿足△SBA為等邊三角形，且面積為4eq\r(3)，又知圓錐軸截面的面積為8，則圓錐的側(cè)面積為________．答案8eq\r(2)π解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由△SAB為等邊三角形，且面積為4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)l2sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，解得l＝4；又設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則由軸截面的面積為8，得rh＝8；又r2＋h2＝16，解得r＝h＝2eq\r(2)，所以圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝π×2eq\r(2)×4＝8eq\r(2)π.13．魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方)起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu)．如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為()圖1圖2A．8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3)) B．6(8＋8eq\r(2)＋eq\r(3))C．8(6＋6eq\r(3)＋eq\r(2)) D．6(8＋8eq\r(3)＋eq\r(2))答案A解析由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為2＋2eq\r(2)的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)，則該幾何體的表面積為S＝6×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋2\r(2)2－4×\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))＋8×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3))．14．小張周末準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點(diǎn)心，為了美觀起見，售貨員用彩繩對(duì)點(diǎn)心盒做了一個(gè)捆扎(如圖①所示)，并在角上配了一個(gè)花結(jié)．彩繩與長(zhǎng)方體點(diǎn)心盒均相交于棱的四等分點(diǎn)處．設(shè)這種捆扎方法所用繩長(zhǎng)為l1，一般的十字捆扎(如圖②所示)所用繩長(zhǎng)為l2.若點(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高之比為2∶2∶1，則eq\f(l1,l2)的值為________．圖①圖②答案eq\f(\r(2),2)解析∵點(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高之比是2∶2∶1，∴設(shè)點(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高分別為4a,4a,2a，由題意可得l1＝4×eq\r(2)a＋4×2eq\r(2)a＝12eq\r(2)a，l2＝4×4a＋4×2a＝24a，∴eq\f(l1,l2)＝eq\f(12\r(2)a,24a)＝eq\f(\r(2),2).15．(多選)如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列判斷正確的是()A．直三棱柱的側(cè)面積是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱的體積是eq\f(1,3)C．三棱錐E﹣AA1O的體積為定值D．AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)答案ACD解析在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×