(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)8.13《圓錐曲線壓軸小題突破》(原卷版)

§8.13圓錐曲線壓軸小題突破題型一圓錐曲線與向量、圓等知識(shí)的交匯問題例1(1)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(﹣c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，滿足|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))﹣eq\o(PF2,\s\up6(→))|，若以點(diǎn)P為圓心，r為半徑的圓與圓F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圓F2：(x﹣c)2＋y2＝a2都內(nèi)切，其中0<r<a，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),4)(2)已知A，B分別為橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB與直線x＝3交于M，N兩點(diǎn)，△PMN與△PAB的外接圓的周長(zhǎng)分別為l1，l2，則eq\f(l1,l2)的最小值為()A.eq\f(\r(5),4) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)思維升華高考對(duì)圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識(shí)交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導(dǎo)數(shù)交匯等等，這些問題的實(shí)質(zhì)是圓錐曲線問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2﹣eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與C的左、右兩支曲線分別交于A，B兩點(diǎn)，若l⊥F2B，則eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))等于()A．4﹣2eq\r(3) B．4＋eq\r(3)C．6﹣2eq\r(5) D．6＋2eq\r(5)(2)(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<eq\r(5))的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)Q是圓x2＋(y﹣4)2＝1關(guān)于直線x﹣y＝0對(duì)稱的曲線E上任意一點(diǎn)，若|PQ|﹣|PF2|的最小值為5﹣2eq\r(5)，則下列說法正確的是()A．橢圓C的焦距為2B．曲線E過點(diǎn)F2的切線斜率為±eq\f(\r(3),3)C．若A，B為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的異于頂點(diǎn)和點(diǎn)P的兩點(diǎn)，則直線PA與PB斜率之積為﹣eq\f(1,5)D．|PQ|＋|PF2|的最小值為2題型二圓錐曲線與三角形“四心”問題例2(1)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)H在直線x＝a上，且滿足eq\o(PH,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PF1,\s\up6(→)),|\o(PF1,\s\up6(→))|)＋\f(\o(PF2,\s\up6(→)),|\o(PF2,\s\up6(→))|)))，λ∈R.若5eq\o(HP,\s\up6(→))＋4eq\o(HF2,\s\up6(→))＋3eq\o(HF1,\s\up6(→))＝0，則雙曲線C的離心率為()A．3B．4C．5D．6(2)過拋物線C：x2＝2py(p>0)上點(diǎn)M作拋物線D：y2＝4x的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為P，Q，若△MPQ的重心為Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，則p＝________.思維升華圓錐曲線中面積、弦長(zhǎng)、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．但“四心”問題進(jìn)入圓錐曲線后，讓我們更是耳目一新．在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高數(shù)學(xué)解題能力．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知F1(﹣1,0)，F(xiàn)2(1,0)，M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的內(nèi)心，G是△MF1F2的重心，記△IF1F2與△GF1M的面積分別為S1，S2，則()A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．S1與S2大小不確定所以S1＝S2.(2)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，雙曲線C1：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p＞0)交于點(diǎn)O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為________．題型三圓錐曲線在生活中的應(yīng)用例3(1)根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．請(qǐng)解決下面問題：已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2﹣eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)，若從點(diǎn)F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)A(x0,2)反射后，反射光線為射線AM，則∠F2AM的角平分線所在的直線的斜率為()A．﹣eq\r(3)B．﹣eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)(2)第24屆冬奧會(huì)，是中國(guó)歷史上第一次舉辦的冬季奧運(yùn)會(huì)，國(guó)家體育場(chǎng)(鳥巢)成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD(如圖2)，且兩切線斜率之積等于﹣eq\f(9,16)，則橢圓的離心率為()圖1圖2A.eq\f(3,4)B.eq\f(\r(7),4)C.eq\f(9,16)D.eq\f(\r(3),2)思維升華圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應(yīng)用等內(nèi)容在高考占一席之地．研究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應(yīng)用等相關(guān)問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性．跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲線C的方程為x2＋4y2＝4，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且|PF1|＝1，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線l′與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M，則|F1M|∶|F2M|等于()A.eq\r(2)∶eq\r(3) B．1∶eq\r(2)C．1∶3 D．1∶eq\r(3)(2)一個(gè)工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是y2﹣x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球(規(guī)則的球體)，要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為()A．1B．2C．3D．2.5課時(shí)精練1．雙曲線eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,27)＝1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為6，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，則∠F1PF2的角平分線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(﹣1,0) B．(0,0)C．(1,0) D．(2,0)2．天文學(xué)家開普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律可表述為：繞同一中心天體的所有行星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸a的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(a3,T2)＝k，k＝eq\f(GM,4π2)，其中M為中心天體質(zhì)量，G為引力常量，已知地球繞以太陽(yáng)為中心天體的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為1.5億千米，地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的冥王星繞以太陽(yáng)為中心天體的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為60億千米，取eq\r(10)≈3.1，則冥王星的公轉(zhuǎn)周期約為()A．157年 B．220年C．248年 D．256年3．已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)·|eq\o(OA,\s\up6(→))﹣eq\o(OB,\s\up6(→))|，則實(shí)數(shù)a的值為()A．±2 B．±eq\r(2)C．±eq\r(3) D．±eq\r(6)4．已知A，B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P，Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)．若橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，則|k1|＋|k2|的最小值為()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)5．已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣y2＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D，且D為MF2的中點(diǎn)，點(diǎn)I為△OMF2的外心，若O，I，D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B．3C.eq\r(5)D．56．已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以O(shè)F1為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)M(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，若線段MF1交雙曲線于點(diǎn)P，且MF2∥OP，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(6)7．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)為拋物線C上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中x1<x2<x3且y2<0，若F為△P1P2P3的重心，記△P1P2P3三邊P1P2，P1P3，P2P3的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，d3，且滿足d1＋d3＝2d2，則P1P3所在直線的斜率為()A．1B.eq\f(3,2)C．2D．38．(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2同時(shí)為橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,a\o\al(2,1))﹣eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若()A．|F1F2|＝2|MO|，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝eq\r(2)B．|F1F2|＝2|MO|，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2C．|F1F2|＝4|MF2|，則e1e2的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))D．|F1F2|＝4|MF2|，則e1e2的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))9．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，過點(diǎn)A的直線l與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q，直線QF與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))，且eq\o(BQ,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則雙曲線的離心率e為________．10．早在一千多年之前，我國(guó)已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對(duì)橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個(gè)溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個(gè)溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系Oxy，根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為________，溢流孔與橋拱交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________．11．“康威圓定理”是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·康威引以為豪的研究成果之一．定理的內(nèi)容是這樣的：如圖，△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為BC＝a，AC＝