考點(diǎn)15乘法公式的10大題型方法歸類-

考點(diǎn)15乘法公式的10大題型方法歸類1平方差公式及其推導(dǎo)和變形（1）平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.公式的推導(dǎo)【注意】在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（3）公式的變形①位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型②系數(shù)變化：如③指數(shù)變化：如④符號(hào)變化：如⑤增項(xiàng)變化：如⑥增因式變化：如2完全平方公式及其推導(dǎo)與變形（1）完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.（2）公式的推導(dǎo)【注意】公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍。（3）公式的變形3添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).【注意】添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.4運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算學(xué)習(xí)乘法公式后，遇到計(jì)算題時(shí)應(yīng)先觀察能不能運(yùn)用乘法公式.若能運(yùn)用公式，則直接運(yùn)用公式寫出結(jié)果，這樣既可以簡(jiǎn)化計(jì)算，又能避免出錯(cuò)；若不能運(yùn)用公式，則按照乘法運(yùn)算的順序依次進(jìn)行計(jì)算.5運(yùn)用乘法公式化簡(jiǎn)求值涉及到乘法公式時(shí)，套用公式進(jìn)行變形，化為最簡(jiǎn)的形式即可。6運(yùn)用完全平方公式的變形求值運(yùn)用完全平方公式的變形求值的關(guān)鍵是緊扣完全平方公式是恒等變形，完全平方公式可以看成(a±b)2,a2+b2,2ab三個(gè)部分，若已知兩個(gè)部分的值，則可求出第三個(gè)部分的值，總體思想就是結(jié)合完全平方公式，將要求的式子用已知的式子表示出來，然后整體代入求值。7運(yùn)用公式解方程組或不等式組先把式子展開、合并、化簡(jiǎn)，最終化為一元一次方程或不等式的形式，解出來即可。8運(yùn)用乘法公式解決實(shí)際問題涉及圖形的應(yīng)用題，一般先畫出符合題意的圖形，將數(shù)據(jù)一一標(biāo)出，再根據(jù)圖形和數(shù)據(jù)正確列出式子化簡(jiǎn)。9完全平方公式在三角形中的應(yīng)用此類問題往往都需先將所給的等式進(jìn)行恒等變形，再利用完全平方公式，最后利用平方的非負(fù)性求解考點(diǎn)1平方差公式及其推導(dǎo)和變形考點(diǎn)2完全平方公式及其推導(dǎo)與變形考點(diǎn)3添括號(hào)法則考點(diǎn)4運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算考點(diǎn)5運(yùn)用乘法公式化簡(jiǎn)求值考點(diǎn)6運(yùn)用完全平方公式的變形求值考點(diǎn)7運(yùn)用公式解方程組或不等式組考點(diǎn)8運(yùn)用乘法公式解決實(shí)際問題考點(diǎn)9完全平方公式在三角形中的應(yīng)用考點(diǎn)10規(guī)律考點(diǎn)1平方差公式及其推導(dǎo)和變形1．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇侥苡闷椒讲罟竭M(jìn)行計(jì)算的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用平方差公式時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．【詳解】解：A、能運(yùn)用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)符合題意；B、不存在相同的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不存在相反的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；D、不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．2．（2023春·安徽宿州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】注意平方差公式的特征：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中一項(xiàng)相等，另一項(xiàng)互為相反數(shù)即可運(yùn)用平方差公式．【詳解】解：，∴不能運(yùn)用平方差公式．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)符合題意；B、，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·安徽合肥·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，從邊長(zhǎng)為的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的矩形，根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個(gè)正確的等式是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)面積的不同表示方法得到等式即可．【詳解】第一個(gè)圖形陰影部分的面積是，第二個(gè)圖形的面積是．則．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查整式乘法的公式，解題關(guān)鍵是用不同代數(shù)式表示相同圖形的面積列等式．考點(diǎn)2完全平方公式及其推導(dǎo)與變形5．（2023春·安徽宿州·七年級(jí)校考期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，逐一進(jìn)行計(jì)算后判斷即可．【詳解】A．，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，故此選項(xiàng)符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）下列式子中是完全平方式的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】完全平方公式：．看哪個(gè)式子整理后符合即可．【詳解】根據(jù)完全平方公式可知A、B、C、都不符合，符合的只有，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式，解題關(guān)鍵在于掌握計(jì)算公式．7．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校?？计谥校┤?，，，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由題意知，，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)完全平方公式的熟練掌握與靈活運(yùn)用．8．（2023春·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列運(yùn)算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪的乘方積的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【詳解】解：、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，、，故選項(xiàng)正確，、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方積的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3添括號(hào)法則9．（2020秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列去括號(hào)或添括號(hào)的變形中，錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)﹣（b﹣c）=a﹣b+cB．a(chǎn)﹣b﹣c=a﹣（b+c）C．（a+1）﹣（﹣b+c）=（﹣1+b﹣a+c）D．a(chǎn)﹣b+c﹣d=a﹣（b+d﹣c）【答案】C【分析】根據(jù)去括號(hào)和添括號(hào)的法則計(jì)算可得．【詳解】A選項(xiàng)：a（bc）=ab+c，正確；B選項(xiàng)：abc=a（b+c），正確；C選項(xiàng)：（a+1）（b+c）=（1+b+ac），錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：ab+cd=a（b+dc），正確；故選C．【點(diǎn)睛】考查去括號(hào)和添括號(hào)的法則，解題的關(guān)鍵是掌握添括號(hào)法則：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．10．（2021秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列添括號(hào)錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A．，故A正確；B．，故B正確；C．，故C正確；D．，故D錯(cuò)誤；故選D．點(diǎn)睛：本題考查添括號(hào)的方法：添括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是“+”，添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；若括號(hào)前是“﹣”，添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．11．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如下是嘉淇計(jì)算某道題的過程，下列選項(xiàng)中結(jié)論不正確的是（）?????第一步?????第二步?????????第三步??????????第四步A．第一步用到了去括號(hào)法則 B．第二步用到了加法交換律C．第三步用到了減法結(jié)合律 D．第四步用到了完全平方公式【答案】C【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則解答即可.【詳解】解：A、第一步用到了去括號(hào)法則，故A不符合題意；B、第二步用到了加法交換律，故B不符合題意；C、第三步用到了合并同類項(xiàng)，故C符合題意；D、第四步用到了完全平方公式，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握整式運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.12．（2020春·廣東茂名·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）去括號(hào)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及完全平方公式去括號(hào)即可得到答案.【詳解】，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查整式的乘法計(jì)算，正確掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵，還要掌握去括號(hào)法則.考點(diǎn)4運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算13．（2023春·陜西西安·七年級(jí)校考階段練習(xí)）簡(jiǎn)便運(yùn)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)1【分析】（1）先利用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算即可；（2）先利用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．14．（2023春·河南駐馬店·七年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？计谥校┯?jì)算(1)；(2)（用乘法公式進(jìn)行計(jì)算）．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算積的乘方，再利用整式的混合運(yùn)算法則即可求解；（2）利用平方差公式即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算、平方差公式．熟記相關(guān)運(yùn)算法則和公式形式是解題關(guān)鍵．15．（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校┖?jiǎn)便運(yùn)算：．【答案】【分析】原式轉(zhuǎn)化成，利用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算，即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算(1)；(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查整式混合運(yùn)算，完平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5運(yùn)用乘法公式化簡(jiǎn)求值17．（2023春·山東威?！ち昙?jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】(1)；(2)，2．【分析】（1）先分別計(jì)算積的乘方和單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，即可求解；（2）利用完全平方公式和平方差公式即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式將代入得：【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算．掌握相關(guān)運(yùn)算法則即可．18．（2023春·山東泰安·六年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)后求值：，其中．【答案】,【分析】按照完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)得到最簡(jiǎn)代數(shù)式，再代入x取值求出代數(shù)式的值．【詳解】原式當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，平方差公式，掌握相應(yīng)方法和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．（2）已知，求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式展開，再合并同類項(xiàng)，然后將，代入計(jì)算即可得出答案；（2）先將式子轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)完全平方公式分解因式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出，，最后代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：（1）當(dāng)，時(shí)原式；（2），∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）利用整式乘法公式計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】（1）；（2），【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)整式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入求值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，把，代入得，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式化簡(jiǎn)求值，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．考點(diǎn)6運(yùn)用完全平方公式的變形求值21．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)1【分析】（1）根據(jù)完全平方公式變形求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)完全平方公式變形求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，即，∴；（2）解：∵，∴，，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．22．（2023春·陜西西安·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，，求和的值．【答案】13；19．【分析】根據(jù)完全平方公式解答即可．【詳解】解：∵，，∴；∴．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，熟記完全平方公式并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．23．（2023春·湖南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列條件求值：(1)已知，求代數(shù)式和的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)3；(2)5【分析】（1）把變形為，再把代入求值即可，同理可得；（2）把配方可得，代入求值即可【詳解】（1），，∵∴∴（2）∵∴∴代入得：【點(diǎn)睛】考查了化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是利用完全平方公式化簡(jiǎn)代數(shù)式．24．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）【問題解決】（1）若，求的值；【類比探究】（2）若，求的值；【拓展延伸】（3）如圖，是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形和正方形，已知，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）12（2）12（3）10【分析】(1)將變形為，由此即可求解；(2)將變形為，即可求解；(3)設(shè)，可得，，變形求出，，由此即可求解．【詳解】解：（1），；（2），；（3）設(shè)，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的變形，理解并掌握完全平方公式的變形，幾何圖形面積與完全平方公式的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7運(yùn)用公式解方程組或不等式組25．（2023春·安徽亳州·七年級(jí)?？计谥校┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若的值是不等式的最小整數(shù)解，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）先解一元一次不等式，求得最小整數(shù)解，代入（1）中，即可求解．【詳解】（1）解：．（2），去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．所以不等式最小的整數(shù)解是4，即．把代入，得．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與完全平方公式，求不等式的整數(shù)解，求代數(shù)式的值，熟練掌握乘法公式、解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．26．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）解不等式，并求出該不等式的最小整數(shù)解．【答案】，該不等式的最小整數(shù)解為0【分析】按運(yùn)算順序先進(jìn)行整式乘法計(jì)算，然后移項(xiàng)合并同類項(xiàng)并解出不等式，再求該不等式的最小整數(shù)解即可．【詳解】解：，，，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：系數(shù)化為1，得：，所以該不等式的最小整數(shù)解為0．【點(diǎn)睛】本題考查的是整式乘法運(yùn)算及解一元一次不等式，牢記運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題關(guān)鍵．27．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程與不等式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括號(hào)，然后再移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，最后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；（2）先去括號(hào)，然后再移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，最后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可．【詳解】（1）解：去括號(hào)得：，即：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：．（2）解：，去括號(hào)得：，即：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，不等式兩邊同除以8得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程和一元一次不等式的基本步驟，準(zhǔn)確計(jì)算．28．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)河南師大附中校考期中）解方程或不等式：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】(1)先根據(jù)完全平方公式展開得，再移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為1即可；（2）根據(jù)乘法公式展開得到，再去括號(hào)得，然后移項(xiàng)、合并得，再把的系數(shù)化為1即可．【詳解】（1）解∶去括號(hào)，得移項(xiàng)、合并，得，系數(shù)化為1，得；（2）去括號(hào)，得移項(xiàng)，得合并，得系數(shù)化為1，得．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算：對(duì)于整式的乘法，先利用乘法公式展開，然后合并同類項(xiàng)；對(duì)于多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式．也考查了一元一次方程和一元一次不等式的解法．考點(diǎn)8運(yùn)用乘法公式解決實(shí)際問題29．（2023春·福建漳州·七年級(jí)校考期中）如圖，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間預(yù)留部分是邊長(zhǎng)為米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）；(2)若，，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【答案】(1)平方米(2)5400元【分析】（1）用長(zhǎng)方形的面積減去中間正方形的面積并化簡(jiǎn)即可；（2）把，代入（1）的結(jié)果乘以100即可．【詳解】（1）解：平方米（2）解：（元），答：完成綠化共需要5400元．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．30．（2023秋·廣西貴港·七年級(jí)?？计谀揪C合實(shí)踐】圖1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個(gè)大正方形．(1)觀察圖1，圖2，請(qǐng)寫出，，之間的等量關(guān)系是：________；(2)已知，，求的值；(3)如圖3，是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向上分別作正方形和正方形，連接．若，，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個(gè)長(zhǎng)方形的面積，進(jìn)行求解即可；（2）將，利用完全平方公式展開，再相加即可得出答案；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)圖形中的關(guān)系得出，，再求解，最后利用三角形面積公式即可得出答案；【詳解】（1）解：由圖2知，陰影部分正方形的面積為，故答案為：；（2）解：，①，，②，①②得：，；（3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．31．（2023春·安徽宿州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中的虛線剪開，把它分成四個(gè)形狀和大小都相同的小長(zhǎng)方形，然后按圖那樣拼成一個(gè)正方形中間是空的(1)觀察圖2，寫出代數(shù)式，與之間的等量關(guān)系為______；(2)根據(jù)中的等量關(guān)系解決下面的問題：若，，求的值；(3)如圖3，，分別表示邊長(zhǎng)為，的正方形的面積，且，，三點(diǎn)在同一條直線上．若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用面積法進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得：，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）根據(jù)已知可得：，然后利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：，故答案為：；（2）由（1）可得：，，，，，的值為；（3），，，圖中陰影部分的面積，圖中陰影部分的面積為【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，完全平方公式變形求值，熟練掌握面積法，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．32．（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)綏德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，將一張大長(zhǎng)方形紙板按圖中的方式裁剪成塊，其中有塊是邊長(zhǎng)為厘米的大正方形，塊是邊長(zhǎng)為厘米的小正方形，塊是長(zhǎng)為厘米，寬為厘米的相同的小長(zhǎng)方形，且(1)該大長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)為_________厘米，寬為________厘米；(用含，的代數(shù)式表示)(2)若圖中陰影部分的面積為平方厘米，大長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為厘米，求圖中空白部分的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接根據(jù)圖示即可得出答案；（2）直接根據(jù)題意以及完全平方公式的變形可得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：大長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，故答案為：，；（2）根據(jù)題意可得，，∴，，∴，∴，∴，∴空白部分的面積為平方厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，完全平方公式，讀懂題意，能根據(jù)不同方式表示出圖形的面積是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)9完全平方公式在三角形中的應(yīng)用33．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知在中，的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足，試判斷三角形的形狀．【答案】是等邊三角形【分析】根據(jù)題意將代數(shù)式變形得到，進(jìn)而得到即可判斷三角形的形狀．【詳解】即即即是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，等邊三角形的判定，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．34．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）完全平方公式：經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，，所以，，所以，所以．根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，求xy．(2)如圖，C是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積之和，求三角形的面積．【答案】(1)12(2)3【分析】（1）根據(jù)完全平方公式變形即可求解；（2）設(shè)，，可得，，求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：設(shè)，，∵，∴，∴又，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．35．（2022春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：a，b，c是三角形的三邊，且滿足，若，求b，c的長(zhǎng)以及該三角形各角的度數(shù)．【答案】各角為60°，【分析】將已知等式利用提公因式法、合并同類項(xiàng)和完全平方公式進(jìn)行變形即可判斷出三角形的形狀進(jìn)而得出角度．【詳解】解：∴，，，∴，，，∴該三角形是等邊三角形，各角為60°，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用提公因式法、合并同類項(xiàng)、完全平方公式和乘方的非負(fù)性的有關(guān)應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上基本的運(yùn)算法則的應(yīng)用．36．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：若，求m，n的值．解：∵，∴．∴，∴，．∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知：，求的值；(2)已知：的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足：，求的周長(zhǎng)的最大值；(3)已知：的三邊長(zhǎng)是a，b，c，且滿足：，試判斷是什么形狀的三角形并說明理由．【答案】(1)(2)周長(zhǎng)的最大值為29(3)是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）利用完全平方公式以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．（2）利用完全平方公式以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．（3）利用完全平方公式以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，，∴，，∴．（2）∵，∴，∴，∴，由三角形的三邊關(guān)系可知且c為正整數(shù)，∴c的最大值是14．∴周長(zhǎng)的最大值為29．（3）結(jié)論：是等邊三角形．理由：∵，∴，∴，∴，，即，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，等邊三角形的判定等知識(shí)，是三角形綜合題，解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．考點(diǎn)10規(guī)律37．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）[推理意識(shí)]已知，觀察下列各式：，，．(1)猜想：____________（為正整數(shù)）．(2)計(jì)算：①；②（為正整數(shù)）；③．(3)通過以上規(guī)律，請(qǐng)你進(jìn)行下面的探索：①____________；②____________；③____________．【答案】(1)(2)①；②；③(3)①；②；③【分析】（1）對(duì)已知等式變形，易得；；根據(jù)上一步的等式，可以發(fā)現(xiàn)等式右邊由兩項(xiàng)組成：第一項(xiàng)底數(shù)與第二項(xiàng)底數(shù)的指數(shù)，比等式左邊第二項(xiàng)的首位與末尾的指數(shù)多，從而得出規(guī)律；（2）①直接利用（1）的結(jié)論代入數(shù)值計(jì)算即可；②對(duì)比（1）中結(jié)論，湊成規(guī)律公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解；③對(duì)比（1）中結(jié)論，湊成規(guī)律公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）仿照所給等式的規(guī)律即可直接寫出答案．【詳解】（1）解：，故答案為：．（2）①解：．②解：．③解：．（3）①②；③．【點(diǎn)睛】