達(dá)朗貝爾方程及其解

標(biāo)量位與矢量位

設(shè)媒質(zhì)是線性均勻且各向同性的，那么對微分形式的麥克斯韋方程中全電流定律兩邊取旋度，再將電磁感應(yīng)定律 代入，整理后得若對電磁感應(yīng)定律兩邊取旋度，再將全電流定律代入，整理后得利用矢量恒等式，同時考到及 ，那么上述兩式變?yōu)?/p>

11/14/20231由此可見，時變電磁場的場強與場源的關(guān)系比較復(fù)雜，直接求解上述方程需要較多的數(shù)學(xué)知識。為簡化求解過程，引入標(biāo)量位與矢量位作為求解時變電磁場的兩個輔助函數(shù)。

已知時變磁場是無散場，因此可以表示為矢量場A的旋度，即可令式中A稱為矢量位。將上式代入式中，得11/14/20232上式又可改寫為由此可見，矢量場為無旋場。因此它可以用一個標(biāo)量場的梯度來表示，即可令式中稱為標(biāo)量位。由此得注意，這里的矢量位A

及標(biāo)量位均是時間及空間函數(shù)。當(dāng)它們與時間無關(guān)時，矢量位A及標(biāo)量位與場量的關(guān)系和靜態(tài)場完全相同。因此矢量位A

又稱為矢量磁位，標(biāo)量位又稱為標(biāo)量電位。11/14/20233位函數(shù)與源的關(guān)系

為了導(dǎo)出位函數(shù)與源的關(guān)系，根據(jù)位函數(shù)定義式及麥克斯韋方程，求得

利用矢量恒等式，上兩式又可寫為11/14/20234根據(jù)亥姆霍茲定理得知，只有當(dāng)矢量場的散度及旋度共同給定后，這個矢量場才被惟一地確定。已知規(guī)定了矢量場A的旋度，，必須再規(guī)定其散度。原則上，其散度值可以任意給定，但是為了簡化計算，由上式可知，若令則前兩式可以簡化為羅倫茲條件由上可見，按照羅倫茲條件規(guī)定A的散度后，原來兩個相互關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€獨立方程。矢量位

A

僅與電流J有關(guān)，標(biāo)量位

僅與電荷

有關(guān)。11/14/20235由上可見，已知電流分布，即可求出矢量位A。已知電荷分布，由即可求出標(biāo)量位

。求出A

及以后，即可求出電場與磁場。麥克斯韋方程的求解歸結(jié)為位函數(shù)方程的求解，而且求解過程顯然得到了簡化。因為原來電磁場方程為兩個結(jié)構(gòu)復(fù)雜的矢量方程，在三維空間中需要求解六個坐標(biāo)分量，而位函數(shù)方程分別為一個矢量方程和一個標(biāo)量方程，且結(jié)構(gòu)較為簡單，在三維空間中僅需求解四個坐標(biāo)分量。尤其在直角坐標(biāo)系中，矢量位方程可以分解為三個結(jié)構(gòu)如同標(biāo)量位方程一樣的標(biāo)量方程。因此，實際上等于求解一個標(biāo)量方程。由此可見，位函數(shù)A及

的引入顯著地簡化了麥克斯韋方程的求解。11/14/20236

函數(shù)方程的直接求解需要較多的數(shù)學(xué)知識，我們根據(jù)靜態(tài)場的結(jié)果，采用類比的方法，推出其解。位函數(shù)方程的求解當(dāng)場源是位于坐標(biāo)原點的時變點電荷時，其場分布一定具有球?qū)ΨQ特點，即場量僅為變量r的函數(shù)，與球坐標(biāo)變量

及

無關(guān)。那么，在除坐標(biāo)原點以外整個空間，位函數(shù)滿足的方程式為首先求解標(biāo)量位函數(shù)方程。為此設(shè)場源是位于坐標(biāo)原點的時變點電荷，求出其解后，采用疊加原理推出任意分布的時變體電荷的解。式中11/14/20237上式為函數(shù)（

r）的齊次波動方程，其通解為由后面分析可以獲知，式中第二項不符合實際的物理條件，應(yīng)該舍去。因此，求得位于原點的時變點電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為已知位于原點的靜止點電荷產(chǎn)生的電位為將此式同上式比較，可見函數(shù)f1

為:11/14/20238因此，求得位于原點的時變點電荷產(chǎn)生的標(biāo)量位為式中r

為體元dV

至場點的距離。對于位于V

中的任意體分布電荷，如圖示。r'rzyx

m(r,t)VdV'r'-r0點電荷的位置矢量為r'，則全部電荷在r

處產(chǎn)生的電位由上式積分求得11/14/20239為了求出矢量位函數(shù)A，可將矢量位函數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中展開，則各個分量均滿足結(jié)構(gòu)相同的非齊次標(biāo)量波動方程式，即顯然，對于每一個分量均可求得結(jié)構(gòu)如同前式的解。三個分量合成后，矢量位A

的解為式中V'

為電流J

的分布區(qū)域。11/14/202310首先兩式均表明，空間某點在時刻t

產(chǎn)生的標(biāo)量位或矢量位必須根據(jù)時刻的場源分布函數(shù)進(jìn)行求積。換言之，位于r

處

t

時刻的場強不是由同一時刻t的源的分布決定的，而是取決于比t

時刻超前時刻的源分布。這就意味著，位于r

處的源產(chǎn)生的場傳到r

處需要一段時間，這段時差就是。已知(

r-r’)為源點至場點的距離，因此v代表電磁波的傳播速度。11/14/202311恒定電流或低頻交流電的情況下，場量往往是通過電流、電壓及負(fù)載阻抗等參數(shù)表現(xiàn)，表面給人造成能量是通過電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸?shù)募傧?。I如能量真是通過電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸，常溫下導(dǎo)體中的電荷運動速度約10-5m/s，電荷由電源端到負(fù)載端所需時間約是場傳播時間（L/c）的億萬倍負(fù)載只需經(jīng)過極短（t=L/c，其中c為光速）的時間就能得到能量的供應(yīng)。11/14/202312由式可見，電磁波的傳播速度與媒質(zhì)特性有關(guān)。在真空中，最新測得的數(shù)據(jù)為這就是光波在真空中的傳播速度，或簡稱為光速。光速通常以c表示。值得注意的是，既然空間場強不是取決于同一時刻的源特性，那么即使在同一時刻源已消失，只要前一時刻源還存在，它們原來產(chǎn)生的空間場強仍然存在，這就表明源已將電磁能量釋放到空間，而空間電磁能量可以脫離源單獨存在，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射。11/14/202313此外，顯然只有時變電磁場才具有這種輻射特性，而靜態(tài)場完全被源所束縛。當(dāng)靜止電荷或恒定電流一旦消失，它們所產(chǎn)生的靜電場或恒定磁場也隨之失去，因而靜態(tài)場又稱為束縛場。若源隨時間變化很快，空間場強的滯后現(xiàn)象更加顯著，即使在源附近也會有顯著的電磁輻射現(xiàn)象。所以似穩(wěn)場和輻射場的區(qū)域劃分不僅取決于空間距離，也與源的變化快慢有關(guān)。因此，為了向空間輻射電磁能量，必須使用變化很快的高頻電流激勵發(fā)射天線，而通常