常微分方程初值問題的數(shù)值解法

常微分方程初值問題的數(shù)值解法預(yù)備知識一階常微分方程初值問題指的數(shù)值解法：在指定的區(qū)間[a,b]中的點(diǎn)列xk=x0+k*h(k=0,1,…,n)的近似值yk。即求解函數(shù)y(x)一歐拉法二龍格庫塔法(R-K)多步法代表是Adams法§1歐拉法1)歐拉法根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義離散化之后，有：代入常微分方程，并構(gòu)造迭代系列得：2)隱式歐拉法代入常微分方程，并構(gòu)造迭代系列得：隱式歐拉法的求解:利用迭代的思路進(jìn)行.中點(diǎn)歐拉法、改進(jìn)的歐拉法3)中點(diǎn)歐拉法代入常微分方程，并構(gòu)造迭代系列得：4)改進(jìn)的歐拉法歐拉法例題在區(qū)間[0，1]上取步長h=0.2求解如下的常微分方程：解：按照歐拉法的計(jì)算公式，分別得到如下的函數(shù)值：建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從(xi,yi)點(diǎn)出發(fā)，以某一斜率沿直線達(dá)到(xi+1

,yi+1

)點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為2階。

考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：斜率一定取K1K2的平均值嗎？步長一定是一個(gè)h

嗎？§2龍格-庫塔法/*Runge-KuttaMethod*/§2Runge-KuttaMethod首先希望能確定系數(shù)

1、

2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

Step1:將K2在(xi,yi)

點(diǎn)作Taylor展開將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:將K2代入第1式，得到§2Runge-KuttaMethodStep3:將yi+1與y(xi+1)在xi點(diǎn)的泰勒展開作比較要求，則必須有：這里有個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程。32存在無窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。注意到，就是改進(jìn)的歐拉法。Q:

為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？其中

i

(i=1,…,m)，

i

(i=2,…,m)

和

ij

(i=2,…,m;j=1,…,i1

)

均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似?！?Runge-KuttaMethod)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl

最常用為四級4階經(jīng)典龍格-庫塔法

/*ClassicalRunge-KuttaMethod