專題10 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用（解析版）

答案第=page22頁，共=sectionpages33頁專題10導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用【練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）函數(shù)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性可得，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)x的取值范圍.【詳解】由題意，函數(shù)，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；而，，由可得，即，易知，故選：D.2．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，設(shè)，則，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，即，所以.故選：A.3．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎桥己瘮?shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題干條件得到時，，故在上單調(diào)遞減，結(jié)合為偶函數(shù)，得到在上單調(diào)遞增，從而判斷出大小關(guān)系.【詳解】時，即，∴在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增．∴，∴.故選：A．4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知得出在沒有變號零點(diǎn)，即在沒有變號零點(diǎn)，令，通過導(dǎo)數(shù)求出其在上的最值，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，，則，，，函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，且在上有一個變號零點(diǎn)，在沒有變號零點(diǎn)，即在沒有變號零點(diǎn)，令，，則，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減；則，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令，借助分析的單調(diào)性，極值和最值情況即可求解【詳解】由可得，令，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋援?dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，即，要使函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，則需，解得，當(dāng)時，，，所以存在，使得，所以當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；因?yàn)?，所以，因?yàn)楫?dāng)趨向于正無窮時，指數(shù)函數(shù)的增長速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過一次函數(shù)，且趨向于正無窮，則趨向于正無窮，所以存在，使得綜上，當(dāng)時，函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵之處是發(fā)現(xiàn)，故只需要存在，，則即可6．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）函數(shù)的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和符號判斷.【詳解】，∴是奇函數(shù)；令，則有，是增函數(shù)，∴當(dāng)時，，即；故選：A.7．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）曲線在點(diǎn)處的切線平分圓，則（

）A．有兩個零點(diǎn)B．有極大值C．在上為增函數(shù)D．當(dāng)時，【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義確定在點(diǎn)處的切線方程為，由于平分圓，所以得，于是得函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的零點(diǎn)，單調(diào)性，極值即可判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，又，則切線方程為：，即，若該切線平分圓，則切線過圓心，則，解得，所以，，對于A，，即，所以，則有一個零點(diǎn)，故A不正確；對于B，，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以有極小值，故B不正確；對于C，由B可知，C不正確；對于D，由B可知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，故D正確.故選：D.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，將有四個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的圖像與有四個不同交點(diǎn)，分析可知，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，，由導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即可求出范圍.【詳解】解：時，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，畫出的圖像如下圖，有四個零點(diǎn)即的圖像與有四個不同交點(diǎn)，由圖可得，是方程，即的兩根，是方程，即的兩根，，，則，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即.故選：A.二：多選擇9．（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，則（

）A．是函數(shù)的一個極大值點(diǎn)B．C．函數(shù)在處切線的斜率小于零D．【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性的關(guān)系，以及極值的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】令，解得，則在上單調(diào)遞增，令，解得或，則在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的一個極大值點(diǎn)，，A、B正確；∵，則，故函數(shù)在處切線的斜率大于零，C錯誤；又∵，則，但無法確定函數(shù)值的正負(fù)，D錯誤；故選：AB.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知m，n關(guān)于x方程的兩個根，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可得，結(jié)合條件可得，，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷CD.【詳解】畫出函數(shù)與的大致圖象，由題可知，即，所以，又，所以，可得，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，，即，故B錯誤；設(shè)函數(shù)，則，由，可得單調(diào)遞增，由，可得單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所以，即，故C正確；又，，所以，即，所以，即，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)不等式的“形狀”變換函數(shù)“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).11．（2023春·湖北襄陽·高三襄陽市襄州區(qū)第一高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，下列說法正確的是（

）A．曲線在處的切線方程為B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．對于任意的總滿足D．直線與在上有一個交點(diǎn)且橫坐標(biāo)取值范圍為【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程判斷A；確定給定區(qū)間上單調(diào)性判斷B；構(gòu)造函數(shù)推理論證不等式判斷C；利用零點(diǎn)存在性定理判斷D作答.【詳解】，則，而，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，A正確；，則，設(shè)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此對任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，B錯誤；，，設(shè)，，則由選項(xiàng)B知，在上單調(diào)遞增，而，則，即有，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即有，所以對任意的，總滿足，C正確；令，，，令，，，由選項(xiàng)B知，，當(dāng)時，，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，存在，使得，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則有，又，因此存在，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又，從而存在唯一，使得，顯然當(dāng)時，，又，令，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，有，，則，即，從而函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，所以直線與在上有一個交點(diǎn)且橫坐標(biāo)取值范圍為，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)m＞0時，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為B．當(dāng)m＝l時，函數(shù)在上單調(diào)遞減C．當(dāng)m＝l時，函數(shù)的最小值為1D．若對恒成立，則【答案】ABD【分析】A.由m＞0直接求導(dǎo)求解判斷；B.由m＝l，利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；C.由m＝l，利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；D.將對恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對恒成立求解判斷.【詳解】解：，當(dāng)時，，則，故A正確；當(dāng)m＝l時，，令，則，所以在上遞增，又，即在上成立，所以在上遞減，故B正確；當(dāng)m＝l時，，令，則，所以在上遞增，又，，所以存在，有，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故C錯誤；若對恒成立，則對恒成立，設(shè)，則，所以在上遞增，則對恒成立，即對恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，則，解得，故D正確.故選：ABD三：填空題13．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）①，②，③，④，上述不等式正確的有______（填序號）【答案】②④【分析】由指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則和不等式的性質(zhì)比較大小.【詳解】對于①：，，∴，不等式①錯誤；對于②：，∴，即，不等式②正確對于③：，∴，即，不等式③錯誤；對于④：，令，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，∴，，得，，∴，∴，不等式④正確.故答案為：②④14．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】對分類討論：，和，分別求出對應(yīng)情況下的實(shí)根情況列不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.當(dāng)時，令，解得：，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時，要使函數(shù)只有一個零點(diǎn)，只需的極大值小于0或的極小值大于0.令，解得：或.列表：0+0-0+單增極大值單減極小值單增所以極大值不符合題意.所以極小值，解得：；當(dāng)時，要使函數(shù)只有一個零點(diǎn)，只需極大值小于0或的極小值大于0..令，解得：或.列表：0-0+0-單減極小值單增極大值單減所以極大值不符合題意.所以極小值，解得：.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對，都有成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________．【答案】【分析】將變形為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題即可.【詳解】，，由得，整理得，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，，實(shí)數(shù)a的最大值為故答案為：.16．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【分析】首先將不等式整理為，分別構(gòu)造函數(shù)與，然后利用導(dǎo)數(shù)研究的函數(shù)性質(zhì)并將作出其圖象，進(jìn)而將原問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】已知，即，令，，，則，易知在上單調(diào)遞增，又，，所以存在實(shí)數(shù)，使得，且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，又，是過定點(diǎn)的直線，所以畫出函數(shù)和的大致圖象如圖所示，令，，，由圖可知若存在唯一整數(shù)，使得成立，則需，而，所以，因?yàn)椋?，即?shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是將不等式變形為，并構(gòu)造函數(shù)與，將原問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)畫出與的大致圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方法求出參數(shù)的取值范圍，該方法是解決函數(shù)整數(shù)解問題或者零點(diǎn)問題的一種重要手段.四：解答題17．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若且存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2).【分析】(1)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系確定函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)即可求解；(2)根據(jù)不同取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，討論函數(shù)的極值，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，①?dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，所以在存在唯一零點(diǎn)，所以在存在唯一零點(diǎn)；②當(dāng)時，，所以在無零點(diǎn)；③當(dāng)時，，，此時在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，且，若存在零點(diǎn)，則只需要即可，所以，由①②③可得，實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）①當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，當(dāng)時與恒成立矛盾；②當(dāng)時，，則，所以，③當(dāng)時，，，此時在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，令，所以，，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以由①②③可得，的最大值為.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，記，是否存在整數(shù)t，使得關(guān)于x的不等式有解?若存在，請求出t的最小值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)存在，t的最小值為0【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)一元二次不等式的解法，再分，，討論求解；（2）由，得到，求導(dǎo)得到，確定其范圍，再由不等式有解求解.【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

，①當(dāng)時，時，，在單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，時，，在單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，，∴，∴單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，所以，即，若關(guān)于x的不等式有解，則，又t為整數(shù)，所以，所以存在整數(shù)t滿足題意，且t的最小值為0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若不等式有解，則；若不等式恒成立，則.19．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)設(shè)，，證明：有且僅有個零點(diǎn).（參考數(shù)據(jù)：，.）【詳解】（1）已知，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，即，所以在上單調(diào)遞減，即，所以的最小值為（2）因?yàn)?，所?①當(dāng)時，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增.又，，故，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，.所以在上存在唯一零點(diǎn)，顯然，故是的一個零點(diǎn).②當(dāng)時，，設(shè)，，再設(shè)，于是，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，且，，故，使得.當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，故，使?當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以在上無零點(diǎn).③當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，，所以在上存在唯一零點(diǎn).④當(dāng)時，因?yàn)?，，所以，此時無零點(diǎn).綜上所述，在上有且僅有個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵地方是第二問要分四種情況進(jìn)行討論，然后對函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，得到原函數(shù)的單調(diào)性和正負(fù)情況20．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).（注：…是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若只有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若存在，對與任意的，使得恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合點(diǎn)斜式求切線方程；(2)討論的符號，判斷的單調(diào)性，進(jìn)而確定的零點(diǎn)；(3)要使取到最小值，則取最大，分析可得，結(jié)合零點(diǎn)代換處理即可.【詳解】（1）（1）當(dāng)時，，故，故在點(diǎn)處的切線方程為；（2）解：由題意知有且只有一個根且有正有負(fù)，構(gòu)建，則.①當(dāng)時，當(dāng)時恒成立，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋杂幸粋€零點(diǎn)，即為的一個極值點(diǎn)；②當(dāng)時，在上恒成立，即無極值點(diǎn)；③當(dāng)時，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，若，則，即.因?yàn)椋援?dāng)時，，當(dāng)時，，令，則，故，故在上為增函數(shù).故，故，故當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，此時有兩個極值點(diǎn)，當(dāng)時，當(dāng)時恒成立，即無極值點(diǎn)；綜上所述：.（3）解：由題意知，對于任意的，使得恒成立，則當(dāng)取最大值時，取到最小值.當(dāng)時，因?yàn)?，故?dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，當(dāng)時，，所以無最小值，即無最小值；當(dāng)時，由（2）得只有一個零點(diǎn)，即且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時，因?yàn)?，所以，代入得，令，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)時，常采用分離常數(shù)法，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問題.【提能力】一、單選題21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.22．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，在上遞增，，所以.所以的取值范圍是.故選：B23．（2021·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增有恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，求的范圍，即可判斷條件間的充分、必要性.【詳解】若在上單調(diào)遞增，則對任意的恒成立，∴有對任意的恒成立，即，而當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則.∴“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)在時值的集合，函數(shù)在時值的集合，再由已知并借助集合包含關(guān)系即可作答.【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合是，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合為，因函數(shù)的值域?yàn)?，于是得，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為且當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，從而可得時的正負(fù)，利用奇函數(shù)性質(zhì)得出時的正負(fù)，然后分類討論解不等式．【詳解】設(shè)，則，所以在上遞增，又，所以時，，此時，所以，時，，此時，，所以，所以時，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以時，，由得或，所以或．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)解不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后，得出的解．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．曲線是軸對稱圖形 D．曲線是中心對稱圖形【答案】C【分析】由解析式易得且定義域?yàn)榍壹纯膳袛郈；對求導(dǎo)，并討論、研究在上的符號判斷A、B；根據(jù)是否為定值判斷D.【詳解】由題設(shè)，，定義域?yàn)榍?，所以關(guān)于對稱，C正確；又，當(dāng)時，不妨假設(shè)，則，顯然，此時在上有遞減區(qū)間，A錯誤；當(dāng)時，在上，即在上遞增，B錯誤；由，不可能為定值，故D錯誤.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論研究函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，根據(jù)、是否成立判斷對稱性(為常數(shù)).二、多選題28．（2023春·山東濟(jì)寧·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個零點(diǎn)C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D．是偶函數(shù)【答案】AC【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷D，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C，根據(jù)函數(shù)值的情況及零點(diǎn)定義可判斷B.【詳解】由知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，，故在單調(diào)遞增，A正確；由，當(dāng)時，，當(dāng)，所以只有0一個零點(diǎn)，B錯誤；令，，故曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，C正確；由函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱知，不是偶函數(shù)，D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題時，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，屬于中檔題.29．（2022秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在兩個不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時，方程有且只有兩個實(shí)根D．若時，，則的最小值為【答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項(xiàng)．【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對于C．當(dāng)時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，方程有且只有兩個實(shí)根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項(xiàng)容易判斷錯了．30．（2022春·全國·高三開學(xué)考試）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得成立D．對任意兩個正實(shí)數(shù)，，且，若，則.【答案】BD【分析】A選項(xiàng)借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值情況；BC選項(xiàng)，構(gòu)造新函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題以及參數(shù)取值范圍；D選項(xiàng)根據(jù)新函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，從而得到雙變量的關(guān)系.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），，∴在（0，2）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＝2是f（x）的極小值點(diǎn)，即A錯誤；對于B，﹣x，∴y′10，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且，，∴函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，即B正確；對于C，若f（x）＞kx，可得k，令g（x），則g′（x），令，則，∴在x∈（0，1）上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞）上函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；對于D，令t∈（0，2），則2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令ln，則，∴g（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，則g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，則x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，當(dāng)x2≥4時，x1+x2＞4顯然成立，∴對任意兩個正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1+x2＞4，故D正確.故選：BD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值情況，構(gòu)造新函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題以及參數(shù)取值范圍；可以將自變量的大小比較通過構(gòu)造新函數(shù)，通過單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小比較，從而得到自變量間的關(guān)系.31．（2021·吉林松原·?？既＃╆P(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是的極小值點(diǎn)；B．函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)；C．存在正整數(shù)，使得恒成立；D．對任意兩個正實(shí)數(shù)，，且，若，則.【答案】ABD【解析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值可判斷A選項(xiàng)；求出函數(shù)的單調(diào)性利用特殊值可判斷B；轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)并求函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；利用已知得出，構(gòu)造函數(shù)證明不等式可判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)數(shù)，∴時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，故A正確；對于B選項(xiàng)，，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又∵，，∴函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，故B正確；對于C選項(xiàng)，若，可得，令，則，令，則，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，上，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)，使得成立，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，由，結(jié)合A選項(xiàng)可知，要證，即證，且，由函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，由于，所以，即證明，令，則，所以在是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即成立，故成立，所以D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】函數(shù)中涉及極值、零點(diǎn)，不等式恒成立，一般都需要通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題是常用方法.三、填空題32．（2022·重慶北碚·西南大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）函數(shù)在處取得極值10，則___________.【答案】【分析】由在處取得極值10，求得解得或，再結(jié)合函數(shù)的極值的概念進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值10，可得，解得或，檢驗(yàn)知，當(dāng)時，可得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)為極值點(diǎn)，不符合題意，（舍去）；當(dāng)時，可得，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，符合題意.所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】解決函數(shù)極值、最值綜合問題的策略：1、求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小；2、求函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過比較才能下結(jié)論；3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值.33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且，則不等式的解集是________．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后，利用單調(diào)性解函數(shù)不等式．【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，在上單調(diào)遞減，，即，令，即，，所以，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確實(shí)單調(diào)性，已知不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)不等式，然后求解．34．（2022秋·北京·高三北京市回民學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，，使得，則的取值范圍是______.【答案】【分析】由，得到，再研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，將表示出來，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.【詳解】，，，，，當(dāng)時，，，由得，由得，所以在上遞減，在上遞增，在處取得最小值，，，令，則，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值0，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，令，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生分析試題能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于較難題.35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，因?yàn)椋詳?shù)在上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．點(diǎn)睛:解函數(shù)不等式時，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)．36．（2022春·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程有且僅有四個不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【分析】設(shè)，由題可得當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，進(jìn)而可得有兩個正數(shù)解，利用數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍.【詳解】令，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，由題意可知當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，，，即當(dāng)時，，由，可得，即方程在上有兩個正數(shù)解，∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為在上恒成立，∴作出函數(shù)與直線大致圖象如下圖∵方程在上有兩個正數(shù)解，恒過點(diǎn)，∴，由相切，設(shè)切點(diǎn)為，由可得，故切線的斜率為，所以切線的方程為，由切線過，可得，解得或（舍去），故切線的斜率為，即，所以當(dāng)時，直線與曲線由兩個交點(diǎn)，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：（1）直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題．四、解答題37．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)椋裕从忠驗(yàn)?，所以，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.38．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.39．（2022·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）答案