北京市東城區(qū)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題

2022北京東城高三一模數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A） （B）（C） （D）（2）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（A） （B）在此處鍵入公式。（C） （D）（3）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1（4）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則是（A）公差為2的等差數(shù)列 （B）公差為3的等差數(shù)列（C）公比為2的等比數(shù)列 （D）公比為3的等比數(shù)列（5）已知，則（A） （B） （C） （D）（6）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為（A） （B） （C） （D）（7）在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首。北京2022年冬奧會(huì)開(kāi)幕正逢立春，開(kāi)幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧。墩墩同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取3個(gè)介紹給外國(guó)的朋友，則這3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為（A） （B） （C） （D）（8）已知，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，，若，則當(dāng)，變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（A） （B） （C） （D）（10）李明開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶，經(jīng)過(guò)天后，用戶人數(shù)，其中為常數(shù)。已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶，則用戶超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（本題取）（A）31 （B）32 （C）33 （D）34第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.（用數(shù)字作答）（12）已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示。若網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則________.（13）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，則________；若點(diǎn)，在上，為的焦點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，則________.（14）已知函數(shù)若，則不等式的解集為_(kāi)_______；若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______.（15）某學(xué)校開(kāi)展“測(cè)量故宮角樓高度”的綜合實(shí)踐活動(dòng)。如圖1所示，線段表示角樓的高，，，為三個(gè)可供選擇的測(cè)量點(diǎn)，點(diǎn)，在同一水平面內(nèi)，與水平面垂直?，F(xiàn)設(shè)計(jì)能計(jì)算出角樓高度的測(cè)量方案，從以下六組幾何量中選擇三組進(jìn)行測(cè)量，則可以選擇的幾何量的編號(hào)為_(kāi)_______.（只需寫(xiě)出一種方案）①，兩點(diǎn)間的距離；②，兩點(diǎn)間的距離；③由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角；④由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角；⑤和；⑥和.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題13分）已知函數(shù).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅰ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（17）（本小題14分）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.（18）（本小題13分）根據(jù)Z市2020年人口普查的數(shù)據(jù)，在該市15歲及以上常住人口中，各種受教育程度人口所占比例（精確到）如下表所示：受教育程度性別未上學(xué)小學(xué)初中高中大學(xué)?？拼髮W(xué)本科碩士研究生博士研究生男女合計(jì)（Ⅰ）已知Z市15歲及以上常住人口在全市常住人口中所占比例約為85%，從全市常住人口中隨機(jī)選取1人，試估計(jì)該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率；（Ⅱ）從Z市15歲及以上常住人口中隨機(jī)選取2人，記這2人中受教育程度為大學(xué)本科及以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）若受教育程度為未上學(xué)、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)?？萍耙陨系氖芙逃晗薹謩e記為0年、6年、9年、12年、16年，設(shè)Z市15歲及以上男性與女性常住人口的平均受教育年限分別為年和年，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接寫(xiě)出與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為－1，求的值；（Ⅱ）若在上有最大值，求的取值范圍.（20）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，焦距為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在常數(shù)，使得直線與直線的交點(diǎn)在，之間，且總有？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.（21）（本小題15分）設(shè)數(shù)列.如果，且當(dāng)時(shí)，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)列，定義數(shù)列，其中.