銳角三角函數(shù)教案

銳角三角函數(shù)一．知識(shí)框架知識(shí)概念1、正弦，余弦，正切的概念如圖，在中，〔1〕sinA＝，〔2〕cosA＝，〔3〕tanA＝。asinacosatana30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)2、2.坡度〔坡比〕的概念及表示形式如下圖，我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度l的比叫做坡度〔或坡比〕，坡度常用字母i表示．斜坡的坡度陽(yáng)坡角的正切值有如下關(guān)系：，即坡度是坡角的正切值．1．正切與梯子的傾斜程度的關(guān)系：的值越大，梯子越陡．注意：梯子的傾斜程度與梯子和地面的夾角的大小有關(guān)，夾角越大說(shuō)明梯子越傾斜．2．正弦、余弦與梯子的傾斜程度的關(guān)系：的值越大，梯子越陡；的值越小，梯子越陡．3.解直角三角形：銳角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函數(shù)，直角三角形中，除直角外，共5個(gè)元素：3條邊和2個(gè)角．除直角外只要知道其中2個(gè)元素〔至少有1個(gè)是邊〕，就可利用以上關(guān)系求出另外3個(gè)元素．4.仰角，俯角當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角，如下圖，為仰角，俯角：當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，仰角：視線與水平線所成的銳角，如下圖，為俯角，例題：題型一：三角函數(shù)的定義例1、〔2015?崇左〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，則以下三角函數(shù)表示正確的選項(xiàng)是〔A〕A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．tanB=例2、〔2015?慶陽(yáng)〕在△ABC中，假設(shè)角A，B滿足|cosA﹣|+〔1﹣tanB〕2=0，則∠C的大小是〔D〕A．45° B．60° C．75° D．105°例3、〔2015?**〕在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長(zhǎng)為〔D〕A．7 B．8 C．8或17 D．7或17【解答】解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖1，∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖2，BC=BD+CD=12+5=17，應(yīng)選D．題型分析：〔1〕對(duì)于利用三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，一般要把這條線段放在一個(gè)直角三角形中來(lái)解決，因此必須先構(gòu)造出以該條線段為邊的直角三角形?！?〕在構(gòu)造直角三角形時(shí)，要善于聯(lián)系，使題目中的條件能盡量轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中。并且盡量構(gòu)造出含特殊角的直角三角形。另外還需注意根本的幾何模型，補(bǔ)全根本的幾何模型，也是我們作輔助線的一個(gè)常用策略?！?〕對(duì)于一個(gè)直角三角形，如果知道除直角的另外兩個(gè)元素(至少含一邊)，則可以求出其他三個(gè)元素。題型二：坡度的實(shí)際應(yīng)用例1、〔2014?**〕如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長(zhǎng)為〔B〕A．4米B．6米C．12米D．24米例2、〔2015?巴彥淖爾〕如圖，一漁船由西往東航行，在A點(diǎn)測(cè)得海島C位于北偏東60°的方向，前進(jìn)40海里到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)，測(cè)得海島C位于北偏東30°的方向，則海里C到航線AB的距離CD是〔C〕A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里【解答】解：根據(jù)題意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=40×sin60°=40×=20〔海里〕．應(yīng)選：C．題型三：利用三角函數(shù)求高例1、如圖，小山崗的斜坡的坡度是，在與山腳距離的點(diǎn)處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，求小山崗的高〔結(jié)果取整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：)．分析：設(shè)小山崗的高為．則，又在中，而，所以可得關(guān)于的方程，解之即可求得解：設(shè)小山崗的高為在中，在中，而tan26.6°=0.50，解得答：小山崗的高為點(diǎn)撥：在直角三角形中根據(jù)的邊、角求未知的邊、角時(shí)，一般要借助銳角三角函數(shù)，此題中正確理解坡度，仰角的概念是關(guān)鍵．課堂小測(cè)1．〔2015?余姚市模擬〕如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos∠ABC等于〔〕A．B．C．D．2．〔2015?**模擬〕如圖，延長(zhǎng)RT△ABC斜邊AB到點(diǎn)D，使BD=AB，連接CD，假設(shè)tan∠BCD=，則tanA=〔〕A．B．1 C．D．【解答】解：過(guò)B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，設(shè)BE=*，則AC=2*，∴tanA===，應(yīng)選A．3、〔2015?濱?？h一模〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是∠1的邊OA上一點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔3，4〕，則sin∠1的值為〔C〕A．B．C．D．4．〔2015?貴港一?！臣僭O(shè)一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為1：2：3，則這個(gè)三角形最小角的正切值為〔C〕A．B．C．D．5．〔2015?**〕如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD，則tan∠DBC的值為〔〕A．B．﹣1 C．2﹣D．【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通過(guò)解直角△DBE來(lái)求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．應(yīng)選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)．通過(guò)解直角三角形，可求出相關(guān)的邊長(zhǎng)或角的度數(shù)或三角函數(shù)值．6.〔2014?**〕如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，則壩底AD的長(zhǎng)度為〔D〕A．26米B．28米C．30米D．46米7．〔2015?**〕如圖，為了測(cè)得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測(cè)角儀CD，測(cè)得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進(jìn)100米到達(dá)F處，又測(cè)得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個(gè)電視塔的高度AB〔單位：米〕為〔〕A．50B．51 C．50+1 D．101【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】設(shè)AG=*，分別在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)DF=100m，求出*的值，繼而可求出電視塔的高度AH．【解答】解：設(shè)AG=*，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==*，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==*，∴*﹣*=100，解得：*=50．則AB=50+1〔米〕．應(yīng)選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解，注意利用兩個(gè)直角三角形的公共邊求解是解答此類(lèi)題型的常用方法．8．〔2016?寶山區(qū)一?！秤?jì)算：﹣．【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【解答】解：原式=﹣=﹣=+﹣=+．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了特殊角的三角函數(shù)值，解答此題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．9．〔2016?**模擬〕如圖，在銳角三角形ABC中，AB=10，AC=2，sinB=．〔1〕求tanC；〔2〕求線段BC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理．【分析】〔1〕過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)條件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，進(jìn)而得出tanC；〔2〕在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=8，結(jié)合CD的長(zhǎng)度，即可得出BC的長(zhǎng)．【解答】解：〔1〕如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=10，sinB==，∴=，∴AD=6，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2，∴CD2=〔2〕2﹣62=16，∴CD=4，∴tanC===；〔2〕在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，∴由勾股定理得BD=8，由〔1〕得CD=4，∴BC=BD+CD=12．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形以及勾股定理，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．課后小測(cè)1．〔2014?**模擬〕如圖，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重疊局部的面積為〔〕A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【解答】解：如圖，由題可知△ABC是一個(gè)頂角為45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB．作CD⊥AB，垂足為D，則CD=1．∵sin∠A=，∴==AB，∴S△ABC=×AB×CD=，∴折疊后重疊局部的面積為cm2．應(yīng)選D．2．〔2016?徐匯區(qū)一?！秤?jì)算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【解答】解：原式=4×﹣2××+=2﹣1+2=2+1．3．〔2016?奉賢區(qū)一?！秤?jì)算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】先把各特殊角的三角函數(shù)值代入，再根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則進(jìn)展計(jì)算即可．【解答】解：原式=?+〔〕2﹣+2×=+﹣+=1+．【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．4.〔2015?**〕如圖，AD是△ABC的中線，tanB=，cosC=，AC=．求：〔1〕BC的長(zhǎng)；〔2〕sin∠ADC的值．【考點(diǎn)】解直角三角形．【分析】〔1〕過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根據(jù)tanB=，求出BE的長(zhǎng)即可；〔2〕根據(jù)AD是△ABC的中線，求出BD的長(zhǎng)，得到DE的長(zhǎng)，得到答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；〔2〕∵AD是△ABC的中線，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是解直角三角形的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用．5.〔中考題〕如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，則邊AC的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)所有【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中運(yùn)用三角函數(shù)可得=，易證△AEB∽△BFC，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出FC，然后在Rt△BFC中運(yùn)用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出AC的值．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如圖．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直線l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案為．戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)解題方法〔1〕求三角函數(shù)時(shí)先確定適宜的直角三角形，然后再根據(jù)三角函數(shù)求對(duì)應(yīng)邊的比?！?〕數(shù)形結(jié)合思想。銳角的一個(gè)三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值，一般要畫(huà)出圖形，設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)定義求解。當(dāng)中沒(méi)有直角三角形時(shí)，一般通過(guò)做輔助線將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再求三角函數(shù)。〔3〕用三角函數(shù)解題時(shí)，假設(shè)題中沒(méi)有直角三角形，則要先構(gòu)造直角三角形?！?〕比擬同名三角函數(shù)值的大小時(shí)，可以利用三角函數(shù)的增減性來(lái)比擬?！伯?dāng)為銳角時(shí)，隨的增大而增大，隨的增大而增大，隨的增大而減小?！晨偨Y(jié)：1．〔2015?日照〕如圖，在直角△BAD中，延長(zhǎng)斜邊BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，假設(shè)tanB=，則tan∠CAD的值〔〕A．B．C．D．【考點(diǎn)】解直角三角形．【分析】延長(zhǎng)AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，由tanB=，即=，設(shè)AD=5*，則AB=3*，然后可證明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得：，進(jìn)而可得CE=*，DE=，從而可求tan∠CAD==．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，∵tanB=，即=，∴設(shè)AD=5*，則AB=3*，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=*，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，是根底知識(shí)要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線，將∠CAD放在直角三角形中．2．〔2015?**〕如圖，斜面AC的坡度〔CD與AD的比〕為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連．假設(shè)AB=10米，則旗桿BC的高度為〔〕A．5米B．6米C．8米D．〔3+〕米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．【分析】設(shè)CD=*，則AD=2*，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而求出CD、AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)CD=*，則AD=2*，由勾股定理可得，AC==*，∵AC=3米，∴*=3，∴*=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．應(yīng)選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣坡度坡角問(wèn)題，找到適宜的直角三角形，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．〔2014?**〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E為AB上一點(diǎn)且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，連接FB，則tan∠CFB的值等于〔〕A．B．C．D．【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC與CF的比值，設(shè)BC=*，則BC與CF就可以用*表示出來(lái)．就可以求解．【解答】解：根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，設(shè)AB=2*，則BC=*，AC=*．∴在Rt△CFB中有CF=*，BC=*．則tan∠CFB==．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考察銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于比照斜；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．4．〔2014?**〕小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高〔〕A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題．【分析】構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ABE與△BDF，分別求解可得DF與EB的值，再利用圖形關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，設(shè)EC=*米，∵∠DBF=60°，∴DF=*米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+*=〔500+*〕，解得*=600﹣250．∴DF=*=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250〔米〕．答：山高CD為〔600﹣250〕米．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考察俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助坡比、仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．5．〔2014?**〕如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處與燈塔P的距離為〔〕A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題．【分析】過(guò)點(diǎn)P作垂直于AB的輔助線PC，利三角函數(shù)解三角形，即可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，由題意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40〔海里〕，則PB==40〔海里〕．應(yīng)選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了方向角問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出各角度數(shù)是解題關(guān)鍵．6．〔2013?德陽(yáng)〕如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，這棟高樓BC的高度為〔〕A．B．C．D．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．【分析】過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，在直角△ABD與直角△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BD和CD，再根據(jù)BC=BD+CD即可求解．【解答】解：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD?tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD?tan60°=120×=120m，∴BC=BD+CD=40+120=160m．應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，難度適中．對(duì)于一般三角形的計(jì)算，常用的方法是利用作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算．7．〔2013?聊城〕河堤橫斷面如下圖，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1：，則AB的長(zhǎng)為〔〕A．12米B．4米C．5米D．6米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．【分析】根據(jù)迎水坡AB的坡比為1：，可得=1：，即可求得AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)度．【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，