第2講 待定系數(shù)法（幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化）（原卷版）

玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學(xué)交流群（721144129）旨在打造課外輔導(dǎo)專(zhuān)用講義，更多資料關(guān)注公眾號(hào)玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學(xué)研討第2講待定系數(shù)法（幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化）考情分析待定系數(shù)法是圓錐曲線里面一種非?；A(chǔ)但也是非常重要的方法，是我們幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的橋梁。要學(xué)好圓錐曲線這一部分，掌握并記住基礎(chǔ)的結(jié)論是學(xué)習(xí)圓錐曲線第一步，待定系數(shù)法就是我們突破圓錐曲線的第二步，幾何分析+方程思想離不開(kāi)待定系數(shù)法;設(shè)而不求+加韋達(dá)定理更是離不開(kāi)待定系數(shù)法。本文以此為出發(fā)點(diǎn)，從不同角度分析和處理圓錐曲線。二、經(jīng)驗(yàn)分享求圓錐曲線方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法＋方程思想；。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到圓錐曲線方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學(xué)知識(shí)必須十分熟練。②設(shè)而不求＋韋達(dá)定理；設(shè)而不求、韋達(dá)定理是解圓錐曲線問(wèn)題的通性通法，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，容易出錯(cuò)，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，將直線方程代入曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用參數(shù)表示出來(lái)，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線的方程。③第二定義＋數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法＋方程思想。不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線方程中的參數(shù)的方程問(wèn)題，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得到圓錐曲線方程，故將利用平面幾何知識(shí)和圓錐曲線的定義與性質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算的重要途徑.不管我們采取何種方法，待定系數(shù)法都是我們的幾何與代數(shù)的橋梁，面對(duì)紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)圓錐曲線大題，唯有靜下心來(lái)。合理設(shè)置參數(shù)，選取最適用的方法，代數(shù)與幾何靈活轉(zhuǎn)化，才是我們攻克圓錐曲線的正確之道三、題型分析(一)用待定系數(shù)法求解圓錐曲線方程例1【2014年全國(guó)課標(biāo)Ⅱ，理20】設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o，．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求橢圓C的方程．

(二)利用參數(shù)求圓錐曲線方程例2.設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為．（Ⅰ）求的離心率；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的方程．【變式訓(xùn)練1】已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

(三)利用設(shè)而不求與韋達(dá)定理求拋物線方程例3．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；【變式訓(xùn)練1】.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且原點(diǎn)與,連線的斜率之和滿足：=2，求直線的斜率的取值范圍.

中點(diǎn)弦問(wèn)題-點(diǎn)差法例4.已知雙曲線為該雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交該雙曲線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)，則該雙曲線的方程為.【變式訓(xùn)練1】.已知拋物線的一條弦恰好以為中點(diǎn)，則弦所在直線的方程是（）A. B. C. D.【變式訓(xùn)練1】已知橢圓，（1）求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過(guò)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．

四、遷移應(yīng)用1.如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線和橢圓交于兩點(diǎn)，和軸交于.若,則橢圓的離心率（）A. B. C. D.3．直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求.

4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作的垂線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，交拋物線與（點(diǎn)在之間），記的面積為，求的最小值。5.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且原點(diǎn)與,連線的斜率之和滿足：=2，求直線的斜率的取值范圍.

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