2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合壓軸解答題》培優(yōu)提升突破訓(xùn)練(附答案)

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合壓軸解答題》培優(yōu)提升專題突破訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，在RtZ\48C中，NACB=90°,以8c為直徑的。。交48于點(diǎn)。，E是4C的中

點(diǎn),OE交C。于點(diǎn)尺

(1)若/BCD=30°,DC=1夠,求麗的長；

(2)判斷直線。E與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(3)求證：2CE2=AB*EF.

2.如圖，在RtZX/BC中，ZJCB=90°,AB=[0,/C=6,點(diǎn)。為8c邊上的一個(gè)動點(diǎn),

以CD為直徑的。。交于點(diǎn)￡,過點(diǎn)C作Cr〃48,交。。于點(diǎn)尸，連接CE、￡尸.

(1)當(dāng)/。石=45°時(shí)，求CD的長；

(2)求證：NBAC=NCEF；

(3)是否存在點(diǎn)。，使得△口咕是以CF為底的等腰三角形，若存在，求出此時(shí)8的

長；若不存在，試說明理由.

3.如圖，/8是。。的直徑，弦￡是。延長線上的一點(diǎn)，連接DE交。。于點(diǎn)尸,

連接/尸，CF.

(1)若麗的度數(shù)是40°,求N/FC的度數(shù)；

(2)求證：/尸平分/CFE；

(3)若48=5,C￡?=4,C/經(jīng)過圓心，求CE的長.

4.如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)48、

C、D、M均為格點(diǎn).

【操作探究】

在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線

段48、CD,相交于點(diǎn)夕并給出部分說理過程，請你補(bǔ)充完整：

解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是和

在RtZ\/8C中，tanZBJC=—,

2

在RtZ\CDE中，,

所以tanZBAC^tanZDCE.

所以/"4C=NDCE.

因?yàn)镹/CP+NDCE=N/C8=90°,

所以NNCP+NA4c=90°,

所以NNPC=90°,

即ABLCD.

【拓展應(yīng)用】

(1)如圖②是以格點(diǎn)O為圓心，48為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在面上找出

一點(diǎn)尸，使血=羸，寫出作法，并給出證明；

(2)如圖③是以格點(diǎn)。為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦Z8上找出一點(diǎn)P.使

AM2=AP-AB,寫出作法，不用證明.

圖③

5.如圖，已知力8是。。的直徑，點(diǎn)E是。。上異于力，8的點(diǎn)，點(diǎn)尸是標(biāo)的中點(diǎn)，連接

AE,AF,BF,過點(diǎn)/作尸CJ_NE交/E的延長線于點(diǎn)C,交力8的延長線于點(diǎn)O,NADC

的平分線。G交NF于點(diǎn)G,交FB于點(diǎn)H.

(1)求證：8是。。的切線；

(2)求sin/FHG的值；

(3)若G"=4/LHB=2,求OO的直徑.

6.已知△/BC是。。的內(nèi)接三角形，/A4c的平分線與。。相交于點(diǎn)。，連接。8.

(1)如圖①，設(shè)N/8C的平分線與力。相交于點(diǎn)/,求證：BD=DI；

(2)如圖②，過點(diǎn)。作直線QE〃8C,求證：DE是。。的切線；

(3)如圖③，設(shè)弦BD,4C延長后交。。外一點(diǎn)尸，過尸作力。的平行線交8c的延長

線于點(diǎn)G,過G作。。的切線G”(切點(diǎn)為〃)，求證：FG=HG.

圖①圖②圖③

7.如圖1,在矩形/8C。中，N8=4,AD=3,點(diǎn)。是邊Z8上一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)工重合），

連接0C,將△04。沿折疊，得到△0ED；再以。為圓心，（%的長為半徑作半圓，

交射線48于G,連接NE并延長交射線8c于尸，連接EG,設(shè)O4=x.

（1）求證：OE是半圓。的切線：

（2）當(dāng)點(diǎn)￡落在8。上時(shí)，求x的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)E落在8。下方時(shí)，設(shè)△ZGE與△/尸8面積的比值為y,確定y與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出：當(dāng)半圓。與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x的取值范圍.

8.請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù);

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)

家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

阿拉伯Al-Birum（973年-1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在

1964年根據(jù)AI-田加川?譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦

定理.

阿基米德折弦定理：如圖1,和8c是。。的兩條弦（即折線/8C是圓的一條折弦），

BC>AB,M是嬴的中點(diǎn)，則從點(diǎn)加向8c所作垂線的垂足。是折弦N8。的中點(diǎn)，即

CD=AB+BD.

這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明CD=/8+8Q的部分證明過程.

證明：如圖2,過點(diǎn)M作MHJL射線垂足為點(diǎn)，，連接M4,MB,MC.

是ABC的中點(diǎn),

：.MA=MC.…

任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

（2）如圖3,已知等邊三角形/8C內(nèi)接于。。，。為標(biāo)上一點(diǎn)，NABD=15：CEL

連接力￡>,則△Q48的周長是

圖2圖3

9.如圖，48為。。的直徑，弦CD交4B于點(diǎn)、E,SLDE=OE.

（1）求證：N8/C=3//CD；

（2）點(diǎn)F在弧8。上，且連接CF交力3于點(diǎn)G,求證：CF=CD；

2

（3）①在（2）的條件下，若0G=4,設(shè)OE=x,FG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②求出使得y有意義的x的最小整數(shù)值，并求出此時(shí)。。的半徑.

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】

如圖1,△N8C內(nèi)接于半徑為4的。。，若/C=60°,則工8=；

（2）【問題探究】

如圖2,四邊形/BCD內(nèi)接于半徑為6的。0,若NB=120°,求四邊形/8CZ）的面積

最大值；

（3）【解決問題】

如圖3,一塊空地由三條直路（線段AD.AB、BC）和一條弧形道路CD圍成，點(diǎn)M是

AB道路上的一個(gè)地鐵站口，己知AD=BM=1千米,4M=8C=2千米，ZJ=Z5=60°,

面的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個(gè)公園，主入口在點(diǎn)M處，另外三

個(gè)入口分別在點(diǎn)C、D、尸處，其中點(diǎn)P在E上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的

線段DM、MC、CP、PD,是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度(即四邊形

尸的周長)最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由.

11.如圖，在。。中，直徑與弦互相垂直，垂足為〃，點(diǎn)E是弧8。上一點(diǎn)，連接

AC,過點(diǎn)E作直線E例交Z8的延長線于點(diǎn)交C。的延長線于點(diǎn)G,連接4E交C。

于點(diǎn)尸，且￡G=FG.

(1)求證：EG是。。的切線；

(2)若EM〃AC,求證：AF?FG=EF?CF；

(3)在(2)的條件下，若Z"=4,tanG=4，求典?的值.

12.如圖，△/8C中，4c8=90°,D為45上的一點(diǎn)，以CC為直徑的。。交/C于E,

連接5E交CD于P,交。。于尸，連接QF,ZABC^ZEFD.

(1)求證：與。。相切；

(2)若力。=2,BD=3,求OO的半徑；

(3)若PC=2PF,BF=a,求CP(用a的代數(shù)式表示).

c

(1)如圖1,/B為。。的直徑，點(diǎn)C為。O上一點(diǎn)，連接/C、BC,若48=6,則△NBC

面積的最大值為.

［問題探究］

(2)如圖2,在四邊形/BCD中.NB=ND=90°,ZC=60°,AB=4D,點(diǎn)、E、F分

別在邊8C、8上.且NE/尸=60°,若BE=3,EF=10,求。尸的長；

［問題解決］

(3)為進(jìn)一步落實(shí)國家“雙減”政策，豐富學(xué)生的校園生活，某校欲修建一塊研學(xué)基地，

為同學(xué)們開設(shè)實(shí)踐探究課，如圖3.正方形是規(guī)劃中的基地示意圖，點(diǎn)￡、尸分別

在邊8C、CD±,將A/E廳區(qū)域修建為種植采摘區(qū)，基地內(nèi)其余部分為研學(xué)探究區(qū)，根

據(jù)規(guī)劃要求產(chǎn)的長為40米，NE/F=45°，為了讓更多的學(xué)生能夠同時(shí)進(jìn)行種植，

要求種植采摘區(qū)(△/")的面積盡可能大，間種植采摘區(qū)的面積是否存在最大值？若

存在求出其最大值；若不存在，請說明理由.

14.如圖，以△Z8C的邊48為直徑作。。交5c于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作的切線交/C于點(diǎn)

E,AB—AC.

(1)求證：DELAC；

(2)延長。1交。O于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在加上，AD=DG.

①連接8G,求證：4F=BG；

②經(jīng)過3G的中點(diǎn)M和點(diǎn)。的直線交于點(diǎn)N,連接。F交48于點(diǎn)〃，若4H：BH=

3：8,AN=1,試求出。E的長.

(每用圖)

15.如圖，已知線段N8=4,以N8為直徑作半圓，過圓心。作N8的垂線O。交半圓于點(diǎn)

E,尸是標(biāo)上的點(diǎn)，連結(jié)/尸并延長交OQ于點(diǎn)C,連結(jié)尸8交0。于點(diǎn)尺

(1)我們知道N/P8=90°,證明方法如下：

聯(lián)結(jié)。尸，'：0A=0P,：.ZPAO=ZAPO,'：OB=OP,：.ZOPB=ZOBP.

在△NPB中，ZP4O+ZAPO+ZOPB+ZOBP=180°,

.?./ZPO+/OP8=90°,即/NP8=90°

請?jiān)儆靡环N其他方法證明//P8=90°.

(2)如圖2,以PB,PC為鄰邊作團(tuán)P8DC,當(dāng)CZ?與相切時(shí)，求PC的長：

16.ZS/BE內(nèi)接于。。，C在劣弧上，連C。交于。，連80,NCOB=NE.

(1)如圖1,求證：CO_L48；

(2)如圖2,BO平分N4BE,求證：AB=BE；

(3)如圖3,在(2)條件下，點(diǎn)尸在0c延長線上，連PB,ETUB于T,ZP=2Z

AET,ET=18,OP=25,求。。半徑的長.

最值問題十分感興趣，為此他做了一個(gè)簡單的探究.如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心"在

x軸正半軸上，點(diǎn)P為。M第一象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，據(jù)此：

【前提條件】假若sin48O=",尸=5；

【探究規(guī)律】如圖1,連接。尸并延長交y軸于點(diǎn)E,那么在P點(diǎn)移動過程中，是否有

為定值?若為定值，求出來定值；若不是，求出其最小值.

【歸納總結(jié)】如圖2,小明發(fā)現(xiàn)做題越來越有意思，于是作BH1.DH,

交x軸于點(diǎn)尸，連接尸尸，OP.點(diǎn)G為線段0P的三等分點(diǎn)(OGVOP).以點(diǎn)。為圓心，

以線段OG為半徑作。。，設(shè)。O半徑為r,在點(diǎn)P移動過程中，是否有/-2(17-15cos

ZFPO)為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，請求出其最小值.

【拓展提升】如圖3,若圓心和半徑大小均不固定，那么點(diǎn)P,A,B,C,D,M均為動

點(diǎn)，作軸，交動圓加?于點(diǎn)T.Q,R兩點(diǎn)為直線尸T右側(cè)的兩個(gè)動點(diǎn)，并且尸7=

QR.那么在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否有坐為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不為定

18.在半徑為10的扇形中，//08=90°,延長08到點(diǎn)C.使5c=08=10.點(diǎn)。

為上的動點(diǎn)，點(diǎn)E是扇形所在平面內(nèi)的點(diǎn)，連接O。，DE,EC,當(dāng)。E=EC=10時(shí),

解答下列問題：

論證：如圖1,連接?！?DC,當(dāng)O￡>〃EC時(shí)、求證：OE=DC；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)乙DOC=60°時(shí)，NODE的度數(shù)可能是多少？

嘗試：如圖2,當(dāng)點(diǎn)。，E,C三點(diǎn)共線時(shí)，求點(diǎn)。到。力所在直線的距離；

拓展：當(dāng)點(diǎn)E在OC的下方，且QE與菽相切時(shí)，直接寫出NOOC的余弦值.

19.已知△Z8C內(nèi)接于

(1)若/比IC=45°,BC=2V2,求的半徑；

(2)若BD、CE分別是△Z8C的高，ZBAC=60°,BC=8V3.

①求證：B、C、D、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；

②求。E的長.

③當(dāng)點(diǎn)A仄乙4BC=90°開始運(yùn)動到使N/CB=90°為止，在這個(gè)運(yùn)動過程中線段DE

所經(jīng)過的區(qū)域面積.(直接寫出答案)

1

^ZBAC,則稱四邊形為半角四邊

20.定義：四邊形/8CQ中，AB=AC,ZBDC—/BCD

形，邊8c稱為半對邊.

(1)如圖①，若四邊形48。為半角四邊形，且8c為半對邊，設(shè)/。8C=a,用含有a

的代數(shù)式表示N/CD;

(2)如圖②，等腰△NBC,/8=4C,點(diǎn)。為其內(nèi)部一點(diǎn)，NABD=NACD,連結(jié)

作△NCZ)的外接圓。O,8。的延長線交。。于點(diǎn)E,連結(jié)瓦4,EC,求證：四邊形N8CE

為半角四邊形；

(3)如圖③，在(2)的條件下，延長8/交。。于點(diǎn)尸，連結(jié)EREF//BC.

①求證：BC=CE；

②若4。=3,8c=6血，求四邊形ZZ)E尸的面積.

參考答案

1.(1)解：連接OD

是直徑，

AZBDC=90°,

■：CD=IO\J3,NBCD=30°,

；.OB=OD=10,

■:NDOB=2NBCD=60°,

.液的長=6。兀義10=也工

1803

(2)解：結(jié)論：。后與。。相切.

理由：.：AE=EC,OB=OC,

：.OE//AB9

9：CDLAB,

：?OELCD,

?：OD=OC,

：.ZDOE=/COE,

在和△EOC中，

"OD=OC

，ND0E=NC0E,

,OE=OE

：./\EOD^/\EOC(SAS'),

：.ZEDO=ZECO=90°,

：.ODLDE,

是半徑，

是。。的切線.

(3)證明：'：OELCD,

：.DF=CF,

；AE=EC,

：.AD=2EF,

■:NCAD=NCAB,/NOC=4C8=90°,

，△ACDSAABC,

.ADAC

??~,

ACAB

:.AC2=AD?AB,

,:AC=2CE,

：.4CE2=2EF-AB,

：.2CE1=EF'AB.

2.(1)解：?；NCDE=NCFE=45°,

VZACB=90°,

/.ZDAC=ZCDA=45°,

：.CD=AC^6；

(2)證明：?:CF//AB,

:?/B=/FCB,

,//FCB=NDEF,

：./B=/DEF,

又乙%C+NB=90°,

???c。是圓。的直徑，

AZCED=90°,

AZDEF+ZCEF=90°,

???NBAC=NCEF；

(3)解：存在點(diǎn)。，使得是C/為底的等腰三角形，則E/=CE.

如圖，連接五Q,并延長和45相交于G,

則NEbC=N￡"CR

???四邊形CEO尸為圓內(nèi)接四邊形,

JZADG=/ECF,

又?:/CDE=NCFE,

：./ADG=/CDE,

〈CD為O。的直徑，

:,NDFC=90°,

9：FC//AB,

：.ZFGA=90Q,

JNFGA=NACD,

9

：AD=ADf

：.AAGD^AACD(AAS)f

：.DG=CDfAC=AG=6f

VZACB=90°,48=10,/C=6,

A5C=22

VAB-AC=8，

在中，設(shè)C￡>=x,

貝|J8Z)=8C-CZ)=8-x,BG=AB-AG=\0-6=4,DG=CD=x,

,:BG2+DG2=BD2,

.?.42+N=(8-x)2,

?*?x=3，

即CD=3.

3.(1)解：如圖1中，連接OD,AD,設(shè)4B交CD于H.

???麗的度數(shù)是40°,

AZBOD=40°,

AZDAB=—ZDOB=20°,

2

'：ABLCD,

：.ZAHD=9Q°,

二ZADH=90°-ZDAB=70°,

/.ZAFC=ZADH=10°.

(2)證明：是直徑，AB±CD,

.*.AC=AD

二NACD=N4DC,

VZACD+ZAFD^ISO°,ZAFD+ZAFE=1SO°,

，NAFE=ZACD,

■:ZAFC=ZADC=ZACD,

：./AFC=ZAFE,

即4F平分/CFE.

(3)解：如圖2中，設(shè)4B交CD于H.

???48是直徑，ABVCD,

:?CH=DH=2,

5

VOC=^-,NOHC=9G°,

2

:?AH=OH+OA=4,

?,?"=也![2曲2;正行=2盜，

???CF是直徑，

:?NCDF=NAHC=90°,

:?AH〃DE,

■:CH=HD,

:?AC=AE,

：.CE=2AC^4\l5.

圖2

圖1

4.解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E,構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△Z8C和

在RtA48。中，tanN歷1。=工,

2

在RtZ\CDE中，tan/OCE」，

2

所以tanZBAC=tanZDCE.

所以/8ZC=NDCE.

因?yàn)镹4CP+NDCE=N4CB=90°,

所以/ZCP+/A4c=90°,

所以N/PC=90°,

即ABLCD.

故答案為：tan/DCE=5；

2

【拓展應(yīng)用】（1）如圖②中，點(diǎn)尸即為所求.

作法：取格點(diǎn)7,連接交。。于點(diǎn)尸，點(diǎn)。即為所求;

證明：由作圖可知，OMLAP,0M是半徑，

.?.函=“；

圖③

作法：取格點(diǎn)J,K,連接JK交于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.

5.(1)證明：連接。咒

"：OA=OF,

；.N0AF=N0E4,

???EF=FB,

AZCAF=/FAB,

：.ZCAF=ZAFO,

：.OF//AC,

*：AC1.CD,

：?OFLCD,

TO9是半徑，

???c。是Oo的切線.

(2)解：,?Z8是直徑，

工4FB=90°,

?：OF工CD,

：.ZOFD=ZAFB=90Q,

J/AFO=NDFB,

?：/OAF=NOE4,

:?/DFB=/OAF,

???6。平分乙4。門，

???ZADG=ZFDG,

*/NFGH=N04F+N4DG,ZFHG=/DFB+NFDG,

：.ZFGH=ZFHG=45°,

V2

???sinN"7G=U；

2

(3)解：過點(diǎn)"作_L。尸于點(diǎn)M,HNtAD于點(diǎn)、N.

?:HD平分乙ADF,

:?HM=HN,

c-l-DF-HM

S=嗎

VADHF_FH=2_______

SADHB郎y?DB-HNDB

?.?△尸G”是等腰直角三角形，GH=4瓜

：.FH=FG=4,

設(shè)。8=匕DF=2k,

:NFDB=/ADF,ZDFB=ZDAF,

/.△DFBsADAF,

：.DF^=DB-DA,

：.AD=4k,

平分/4D尸，

4FDH=NADG,

：.NDHsAADG,

.FH=DP_=1

??而一而下，

?*?AG=8f

■:NAFB=90°,AF=12,FB=6,

5=

?■?^VAP+BP^V122+62=6V5,

二。。的直徑為6強(qiáng).

圖①

平分NA4cBJ平分N4BC,

；.NBAD=NCAD,/ABI=ZCBI,

?:NCAD=NCBD,

:?/CBD=/BAD,

*/ZBID=ZBAD+ZABI,ZDBI=ZCBD+ZCBI,

：./BID=/DBI,

：.BD=Dh

(2)如圖②，連接。。，

圖②

?:/CAD=/BAD,

ABD=CD,

：?OD1BC,

FDE//BC,

：.OD1.DE,

????！晔荗O的切線；

(3)如圖，作直徑交。。于連接CM,BH,CH,

：?NMCH=90°,

：.ZM+ZCHM=90°,

：?NB+/CHM=90°,

TG”是。。的切線，

/.ZOHG=ZCHG+ZCHM=90°,

：.ZCHG=ZB,

如圖③，連接B”，CH,

圖③

是。。的切線，

二/CHG=NHBG,

'：4CGH=ZBGH,

:.△HCGsgHG,

.GH=CG

??而一而

：.GH2=BG'CG,

\'AD//GF,

：.NAFG=NCAD,

?:/CAD=NFBG,

：.NFBG=NAFG,

'：4CGF=ZBGF,

:ACGFSXFGB,

.FG_CG

?'BGFG'

：.FG2=BG'CG,

：.FG=HG.

7.(1)證明：I?四邊形/BCD是矩形，

AZDAO=90°,

將△O/。沿OD折疊，得到△OEZ),

：./OED=/DAO=90°,

：.OELDE,

YOE是半徑，

.?.DE是。。的切線；

（2）解：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E落在8。下方時(shí),

圖2

在中，NDAB=9G°,AD=3,AB=4,

,*S&ADB=SyDd1rs90,

A—X3X4=-=-X3Xx+—X5Xx,

222

?.?rx-_--3--.

...O。垂直平分線段NE,

"：—'AD'AO=—*DO-AJ,

22

3-

X2+9

4J=~r^,

VX2+9

9?AG是直徑，

AZAEG=ZABF=90°,

?：/EAG=NBAF,

：.AAEGsLABF,

6x)2

._SAAEG_,AE、2gJ(o<x<—)；

??y----------k----)&

^AABF知424X2+36

(4)當(dāng)OO與CD相切時(shí)，x=3,

當(dāng)。。經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，x2=(4-x)2+32,

觀察圖象可知，當(dāng)《|vx<3或?qū)W<x<4時(shí)，半圓。與△6C。的邊有兩個(gè)交點(diǎn).

8.(1)證明：如圖2中，

圖2

VAM=CI,

：.AM=CM,

?：MHL4H,MDLBC,

：.ZH=ZCDM=90°,

,/ZA=ZC,

：./\AHM^/\CDM(AAS)f

:?MH=DM,4H=CD,

VZH=ZBDM=90°,BM=BM,

(HL),

:?BH=BD,

???CD=AH=AB+BH=AB+BD；

(2)解:如圖3中,

AB

圖3

是等邊三角形，

:?BC=AB,/ABC=60°,

?；NABD=15°,

：.ZCBE=ZABC-ZABD=45°,

■:CE1BD,

：?/ECB=NEBC=45°,

:?CE=BE=2,

：.AB=BC=2\[2,

???由(1)的結(jié)論得，BE=DE+4D=2,

：.AABD的周長是4D+BD+AB=AD+DE+EB+AB=4+2如.

故答案為：4+2

9.(1)證明：如圖1中，連接OQ,OC,設(shè)NO=x.

圖1

°：ED=EO,

：.ZD=ZEOD=x,

?：OD=OC,

：.4D=40CD=x,

：.ZCEO=/D+/E0D=2x,/COB=/0EC+/0CD=3x,

?：OA=OC,

???NA=NACO,

/A+/ACO=NCOB=3x,

Q

JZA=ZACO=—x,

2

:.ZACD=-x,

2

:.NBAC=3NACD；

(2)證明：連接CO,延長CO交。尸于T.

圖2

由（1）可知，Z^￡C=180°-2x,

■:/AEC=2/CDF,

:?NCDF=90°-x,

：.ZCDF+ZDCO=90°,

ACTLDF,

:?DT=TF,

：.CD=CF.

（3）解：①連接CO,延長CO交。廠于7,過點(diǎn)。作OM_LCO于"，ON1CF于N.

由（2）可知，CD=CF,CT上DF,

：.NDCO=/FCO,

?：ONLCF,OM工CD,

：?OM=ON,

?：NGEC=NGCE,

***GE=GC=x'^49

:?CD=CF=CG+FG=x+y+4,

VED=OE=x,

：.EC=CD-DE=y+4,

C^--CE'OM

?.bAQCE?2________0E

SACOGy-CG-ON0G

?.?-y--+-4--_x，

x+44

.".y=-i-x2+x-4.

4

②設(shè)O4=0B=R,

當(dāng)y>0時(shí)，—x2+x-4>0,

4

解得x>2盜-2或xV-2A/5-2,

???x的最小整數(shù)值為3,

E

???CG=7,FG=—,

4

?:AG*GB=CGXFG,

R

J(R+4)(R-4)=7X—,

4

(負(fù)根已經(jīng)舍去)，

2

.??此時(shí)。o的半徑為呼L.

10.解：(1)如圖1,連接。/、OB,過點(diǎn)。作于點(diǎn)，,

VZC=60°,

.?.408=120°,

'：OA=OB,

.?.△0/8為等腰三角形,

9：OHLAB,

：.ZAOH=ZBOH=60Q,

.?.4，=04sin/ZO"=4X喙=2愿，

則/8=24〃=46；

故答案為：4近；

（2）如圖2,連接/C,過點(diǎn)D作DEL4c于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作B尸，/C于點(diǎn)尸,

：四邊形488的面積S^—ACXDE^ACXBF^—ACX（DE+BF）,

222

當(dāng)D、E、F、8四點(diǎn)共線且為直徑時(shí)，四邊形/8CD的面積S最大；

VZABC=120°,

AZADC=60°,

，//0C=120°,

在△/OC中，由（1）知，AC=2XOAsin6Q°=2*6乂返=64，

2

二四邊形力88的面積S的最大值為：—XACXBD=—X6\[3xn=36y/3,

22

故四邊形”88的面積的最大值為3673:

則KM=AM-AK=2--,則tan/6WA：=@=返

22KM2

...NZ）MK=30°,故為直角三角形，同理四為直角三角形,

在RtA4OW中，￡)〃=〃32_必2=14-1，

,ZDMC=180°-ZDMA-ZCMB=60Q

'：AD=BM,AM=BC,4=N8=60°,

/.(SAS),

：.DM=CM,

.?.△CDM為等邊三角形；

設(shè)面所在的圓的圓心為R,連接QR、CR、MR,

,:DM=CM,RM=RM,DR=CR,

:.△DRMqACRMCSSS),

：.ZDMR=ZCMR=—ZDMC=3OQ,

2

在△￡>〃/?中，DR=1,NDMR=3Q°,DM=yj3=CM,

過點(diǎn)R作RHLDM于點(diǎn)H,

則RM=——罩——=~TT=1=RD,

cos/DMRV3_

2

故。、P、C、M四點(diǎn)共圓，

/.ZDPC=\20°,

如圖4,連接MP,在PA/上取PP=PC,

圖4

:△CDW?為等邊三角形，

AZCDM=60Q=ZCPM,

:PC為等邊三角形,pli]PP'=P'C=PC,

VZPMC^ZPDC,ZCP1Af=180°-ZPP'C=120°=NDPC,CD=CM,

:ZDg?MC(AAS),

：.PD=P'M,

：.PD+PC=PP'+PD=PP'+P'M=PM,

故當(dāng)PM是直徑時(shí)，PD+PC最大值為2；

:四邊形DMCP的周長=￡M/+CAf+PC+PO=2j§+PD+PC,

而PD+PC最大值為2；

故四邊形QMCP的周長的最大值為：2+26，

即四條慢跑道總長度(即四邊形。MCP的周長)最大為2+26.

11.(1)證明：連接0E,如圖，

"：EG=FG,

:.NGFE=NGEF,

而NGFE=N4FC,

；.NGEF=NAFC,

?：O4=OE,

；.NOE4=NOAE,

'CABLCD,

二ZAFC+ZE4H=90°

:.NGEF+/OEA=90°,即/G￡O=90°,

：.OELGE,

；.EG是OO的切線；

(2)證明：?:ACMEG,

：.NACF=NG,

'：ZAFC=NEFG,

：./\CFA^/\GFE,

.CF_AF

??而一麗’

■:AF?FG=EF?CF；

(3)解：連接。C,設(shè)。。的半徑為r,

■:GE//AC,

：.ZG=ZACH,NCAF=NGEF,

,:GE=GF,

???ZGEF=ZGFE=NAFH,

：?NCAF=NCFA,

：.CA=CF,

AH1

在RtZ\4C〃中，tanN4C”=^=上，

CH3

：.CH=3AH=3X4=]2f

-CA=CF="AH2RH2=V42+122=4^/1^，

：.FH=CF-AH=4\[W-12,

在RtZ\OC〃中，0-4)2+122=2,解得廠=20,

\'GE//AC,

：.ZM=ZCAH,

：.RtAO￡A/^RtAC//J,

.EM0EnnEM20

AHCH412

.g,20

3

.FH_4V1O-12=3VT0-9

“EM型5

3

12.(1)證明：VZJCB=90°,

:,NCEB+/CBE=90°,

ZABC=/EFD,ZEFD=/FDB+/FBD,

???/EBC=/FDB,

?：NCEB=/CDF,

:?/CDF+/FDB=90°,

即NCD3=90°,

：.CDVAB,OD是半徑，

.?.48與。。相切；

(2)解：VZ/lC￡>+ZJ=90o,ZA+ZABC=90°,

，NACD=NABC,

VZADC=ZBDC=90°,

：.叢ACDs^CBD,

.CD_BD

?⑤一而‘

:.CD2=QBD=2X3=6,

：.CD=\I^,

QO的直徑為；

(3)解：為。。的直徑，

AZCFD=90°,

:.NDCF+/CDF=90°,

又,：NCDB=90°,

；.NFDB+NCDF=90°,

ZFDB=ZDCF,

,：NEBC=NFDB,

：./EBC=/DCF,

...△PCFsXPBC,

.PC_PF

*'PB-PC，

'：PC=2PF,

.PC_PF_1

*'PB-PC"-T'

.\PB=2PC=4PF,

又PB=PF+BF,

：.4PF=PF+BF,

：.PF=—BF=—a,

33

\'PC=2PF.

2

：.PC=-a.

3

13.解：(1)如圖1中，連接OC,過點(diǎn)C作C//L48于點(diǎn)兒

??18=6,

：.OA=OB=OC=3,

*：OC2CH,

:?CHW3,

???C〃的最大值為3,

/\ABC的面積的最大值為工＞＜6X3=9.

2

故答案為：9；

(2)將△/￡＞尸繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得至

C

囪2

;ND=N4BC=NABT=90°,

：.ZCBT=]80°,

：.C,B,T共線,

'：ZC+ZBAD=\S0°,ZC=60°,

：.ZBAD=\20°,

VZEAF=60°,

；?/B4E+/DAF=60°,

,/ZDAF=ZBAT,

：.ZEAT=ZBAE+ZBAT=60°,

:.ZEAT=ZEAF9

9：AE=AE,AT=AF,

：./\EAT^/\AEF(S4S),

:?TE=EF=13

■:BE=3,

:,BT=ET-BE=7,

：.DF=BT=7；

(3)結(jié)論：的面積是定值，不存在最大值.

理由：如圖3中，將△4。/繞點(diǎn)Z順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至UZSZBP.

???四邊形48CO是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZD=ZABC=90°,

VZABP=ZD=90Q,

???NC8P=180°,

:.P,B,E共線，

VZE^F=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

ZDAF=ZBAP,

：?NR4E=NBAP+NBAE=45°,

；?/EAP=/EAF=45°,

*：AP=AF,AE=AE,

：./\EAP^/\EAF(S4S),

：.EP=EF,

?；EP=PB+BE=DF+BE=4G,

???SAAEF=SyPE=卷義PEXAB=20AB,

?.?正方形的邊長是定值，

???△?￡尸的面積是定值，不存在最大值.

14.(1)證明：如圖1,連接。。

圖1

???￡>￡為OO的切線，

：.ZODE=90°,

*：AB=AC,

：./B=/C,

又.：OB=OD,

：./B=/ODB,

："C=4ODB,

：.OD//AC,

：.ZDEC=ZODE=90°,

：.DE±AC；

圖2

???48為OO的直徑，

AZAFB=ZBGA=90Q,

VAD=DG.

???/ABD=/DBG,

???/4BC=NC,

：,/C=/DBG,

:?CF〃BG,

AZFNG+ZBFA=ISO°,

:?NFBG=90°,

?：/FBG=/AFB=/BGA=9Q°,

???四邊形4MG為矩形，

：.AF=BG；

圖3

為OO的直徑，

:?NBDA=90。,

,

\AB=ACf

:,BD=DC,

*：CF〃BG,

：.ZNCD=ZMBD,

在△8DA/和△CQN中，

'/MBD二NNCD

，BD=DC,

、NBDM二NNBC

:?△BDM"XCDN(ASA)f

:,BM=CN,

過點(diǎn)C作CP//DH交BA的延長線于點(diǎn)P,

.BHBD

"HPDC'

:AH：BH=3：8,

：.AH：AP=3＞：5,

'：FH//CP,

?眼=組=旦

*'ACAP丁

\'AB=AC,

.FA=3

*'ABg

設(shè)48=5%則ZC=5%,FA=BG=3k,

連接尸8,

,:NBE4=90°,

A5F=VAB2-AF2=4k，

,:M為BG中點(diǎn)，

iQ

：.BM=—BG=—k

22f

Q

:?CN=^-k,

2

Q7

：.AN=AC-CN=5k--k=—k=l,

22

貝|J%=2,

VZDEC=ZBFC=90°,

:?DE〃BF,

?FE_BD

**ECDC'

:?EF=EC,

：.DE=-^BF=2k,

2

：.DE^4.

15.(1)證明：；靠所對的圓心角是N/OP,圓周角是N/8P,

二ZABP^ZAOP,

2

同理/知

2

AZABP+ZR4B=—ZAOP+^ZPOB=—X180°=90°,

222

AZAPB=\S00-(ZABP+ZPAB)=90°；

(2)解：設(shè)CD與。O相切于7,連接07交8P于K,如圖:

VZAPB=90°=ZCPB,四邊形PBDC是平行四邊形,

...四邊形尸2OC是矩形，

：.NCPB=NPCD=90°,

?.?CD與。。相切于T,

：.ZOTC=90Q,

二四邊形PKTC是矩形，KT//PC,

:.KT=CP=x,

：.OK=2-x,

'：KT//CP,OA=OB,

.?.OK是的中位線，

：.AP=2OK=4-2x,

：.AC^AP+CP=4-x,

VZAOC=900=N4PB,NPAB=NOAC,

：.△AOCS^APB,

?AC__0A即4_x_2

**AB-APJ44-2x*

解得上=3+近或x=3-屈,

當(dāng)x=3+J^時(shí)，AC=4-x=l-A/5<0,

??.x=3+遍不符合題意，舍去,

.*.x=3-a,即CP=3-A/5；

(3)解：如圖3-1中，當(dāng)APMFSAPB4時(shí),

圖3-1

■:^MFsAPBA,

：./PMF=NB,

<NCPF=/BOF=90°,4CFP=40FB,

：.NPCF=/B,

：.ZPMF=NPCF,

：.FM=FC,

?.,Q_LCM,

:?CP=PM,

*：AMxCM=l：2,

:?AM=PM=CP,

.AP_2

??而

如圖3-2中，當(dāng)△PMFs△為8時(shí),

J/PMF=NA,

：.FM//AB,

.FM_CM_2

**A0AC3,

,FM_PM_1

*'ABPAE，

設(shè)尸M=切，則氏=3加，MA=2m,CM=4m,

：.PC=CM-PM=3m,

：.PA=PC,

.AP_1

??-----------，

AC2

如圖3-3中，當(dāng)點(diǎn)M在線段PC上時(shí)，AMPFs^APB,設(shè)CM=2n.PF=x,

：.ZCFM+ZFCM=ZFAB+ZR4F,

■:/E4O=NB=NFCM,

：.NCFM=ZCAF,

'：4FCM=NACF,

，△產(chǎn)CMs△1c尸，

:B=CM?CA=6@,

由△PFA/SZ\FCP,可得P/^=PA/?PC,

'.x2=y(y+2n)①，

vcF2=pr2+PC2，

/.6n2=x2+(y+2/i)2②，

由①②消去x可得，y2+3my-w2=0,

解得y=Z耳亙切(負(fù)根己經(jīng)舍去)，

./吁-3W13-5-VI3

.?AP-n-------------n--------------n,

_22

.AP_5~VT§

*'AC6-,

綜上所述,綽的值為苒或《或殳變?.

AC326

16.(1)證明：如圖1中，連接40.

???ZAOC=ZBOC,

*：OA=OB,

：.OCLAB.

(2)證明：如圖2中，連接04,0E.

圖2

?：OA=OB=OE,

：?NOAB=NOBA,NOEB=/OBE,

〈OB平分N4BE,

：./AB0=/EB0,

：?/OAB=/OEB,

:.XABO義XEBOCAAS)f

：?AB=EB.

(3)解：如圖3中，過點(diǎn)4作/K_LP8于K,AHLBE于H.

JAC=BC,

???/AEB=/BOD,

?：AB=BE,

:?NBAE=N4EB,

TETLAB,

：.ZATE=ZBDO=90°,

：.ZEAT+ZAET=90°,/BOD+/OBD=9G,

:.NAET=/OBD=NOBE,

?：/BPC=2/AET,/ABE=2N0BE,

：./BPO=/ABE,

VZPBD+ZBPD=90°,

：?NPBD+/4BE=90°,

:?NPBE=90°,

YAK工BP,AHLBE,

：.ZAKB=ZAHB=ZKBE=90°,

???四邊形4K8〃是矩形，

：.AH=BK,

:/BOP+/ABO=90°,/PBO+/EBO=9G°，/ABO=/EBO,

??ZPOB=ZPBO1

??PO=PB=25,

:BA=BE,ETLAB,AHA.BE9

??AH=ET=18,

??BK=AH=18,

:PB=25,

??PK=PB-BK=7,

??。夕垂直平分線段/以

\R4=PB=25f

??4KP=90°,

??^=A/AP2-PK2=^252-72=24,

??竊力/+BM=V242H82=30，

??40=80=15,

*-PZ)=\/PB2-BD2=4252-152=20，

??OD=OP-PD=25-20=5,

??OC="UD2+BP2=A/52H52?

??OO的半徑為54訕.

17.解：【探究規(guī)律】如圖1,DP?DE為定值,理由如下:

圖1

連接力。和8。,

??】。是。。的直徑,

：?NABD=NAPD=90°,

AZBAO+ZADB=90°,

OBLAD,

：.ZAOB=90°,

AZABO+ZBAO=90°,

NADB=/ABO,

：?4B=4D?sinZADB=10?sin/ABO=10X要24

5

：.OA=AB-smZABO=275X

醇2

：?OD=AD-OA=8,

VZADP=ZODE,ZAPD=ZDOE=90Q,

:.△ADPs^EDO,

.AD_DP

??麗―麗’

???OP?OE=/O?0O=10X8=80；

【歸納總結(jié)】如圖2,啟（17—i5cosN尸尸o）為定值，理由如下:

連接BAAPM,作PNL1O于N,

由（1）知：/ADB=NABO,

NADH=2NABO,

：./ADH=2/ADB,

：.NADB=NHDB,

?：BHLDH,OBLAD,

：?/OBD=/DBH,

?.?480=90°,

:?/ABF+NDBH=90Q,/ABO+/DBH=90°,

JZABF=/ABO,

：.NABF=/ADB,

/AFB=/BFD,

：.△ABFs^BDF,

?BFAF

?>二一,

DFBF