第九章 質點動力學的基本方程

第九章質點動力學的基本方程第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月１．動力學的研究對象

動力學是研究物體運動的變化與作用在物體上的力之間的關系。

２．動力學的主要內(nèi)容（1)牛頓力學或經(jīng)典力學。包括動量定理、動量矩定理、動能定理。慣性參考系：相對于參考系靜止不動或作勻速直線運動的系統(tǒng)。非慣性參考系：相對于參考系有加速度的系統(tǒng)。牛頓三定律只適用于低速、宏觀物體。相對論力學或量子力學

（2)

分析力學的一些內(nèi)容和機械振動的基本理論，如動靜法、虛位移原理、拉格朗日方程和單個、兩個自由度的振動問題。第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月３．動力學的形成和發(fā)展與社會進步的關系（1)動力學與鐘表中國古代計時方式，主要有三種：銅漏；香篆；圭表。世界上最早的機械鐘雛形：東漢張衡所造的渾象儀。計時方法的關鍵：標準等時運動。伽利略通過實驗得到了“擺的小擺動周期與擺長的平方根成正比”的結論，從理論上為鐘表的核心裝置——擺奠定了基礎。伽利略對自由落體和擺的研究也標志著人類對動力學研究的開始。1657年，惠更斯完成了擺鐘的設計。他還發(fā)表了一系列關于單擺與動力學的重要研究結果，如向心力和向心加速度的概念。1676年，英國學者胡克發(fā)表了胡克定律，使人們對彈簧出現(xiàn)了兩項改進；彈簧發(fā)條儲能器的改進；彈簧擺輪（或游絲）的發(fā)明。基于這兩項改進，便于攜帶的鐘表、懷表、手表開始出現(xiàn)?，F(xiàn)代鐘表由三部分組成：動力部分、傳動部分和控制部分。更精密的時標：石英晶體振動或原子振蕩→→電子表。第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）動力學與現(xiàn)代工業(yè)機器和機械設計上的均衡問題、振動問題和穩(wěn)定問題，結構物在沖擊和振動環(huán)境中的動態(tài)響應，交通運輸工具的操縱性、穩(wěn)定性和舒適性以及動力學載荷的作用、震動等都屬于動力學問題；高速運轉機械的動力計算、高層結構受風載及地震的影響，宇宙飛行、火箭的推進技術和運行等，更包含著許多動力學問題。第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月４．動力學的力學模型（1）質點：指具有一定質量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。（2）質點系：指由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質點所組成的系統(tǒng)。包括固體、彈性體和流體。（3）剛體：其中任意兩個質點間距離保持不變的固體。（4）力學模型簡化的條件

由所研究問題的性質所決定，具有相對的概念。第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章質點動力學的基本方程第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月本章內(nèi)容及分析思路根據(jù)動力學基本定律質點動力學的基本方程求解質點的動力學問題第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月§9-1動力學的基本定律

第一定律(慣性定律):不受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。第二定律(力與加速度之間的關系的定律)

慣性：不受力作用的質點(包括受平衡力系作用的質點)，不是處于靜止狀態(tài)，就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不變?；颈磉_式：（9—1）

在經(jīng)典力學范圍內(nèi)，上式可寫為（9—2）

式(10—2)是質點動力學的基本方程，建立了質點的加速度、質量與作用力之間的定量關系。第三定律(作用與反作用定律)第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月§9-2質點的運動微分方程由質點動力學第二定律，有

質點受到n個力作用時，或（9—3）（9—3）’式（10—3）’是矢量形式的微分方程。

第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月1、質點運動微分方程在直角坐標軸上的投影設矢徑在直角坐標軸上的投影分別為x，y，z，在軸上的投影分別為，則式在直角坐標軸上的投影形式為:

力（9—4）第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2、質點運動微分方程在自然軸上的投影點的全加速度ɑ式中和為沿軌跡切線和主法線的單位矢量，如圖所示。式(9—3)在自然軸系上的投影式為（9—5）式中和分別是作用于質點的各力在切線、為軌跡的曲率半徑。主法線和副法線上的投影，而第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月3、質點動力學的兩類基本問題1)第一類基本問題：已知質點的運動,求作用于質點的力.2)第二類基本問題：已知作用于質點的力,求質點的運動.作用在質點上的力可以是常力或變力，變力可以是時間、坐標、速度的函數(shù)或同時是上述三種變量的函數(shù)。求質點的運動就是求式（9—4）或（9—5）的解，一次、二次積分。積分常數(shù)由質點運動的初始條件決定?？梢姡|點的運動規(guī)律不僅決定于作用力，也與質點的運動初始條件有關。第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月〔補例1〕電梯如圖所示。已知電梯的加速度ａ＝常數(shù)、方向向上。電梯重量為Ｑ，放在電梯地板上的物質重量為Ｐ，求：（1）物體對地板的壓力；（2）電梯吊繩的拉力。

分析：由題意→→動力學問題→→已知運動求作用力，故屬于質點動力學第一類基本問題。解（1）求物體對地板的壓力選取重物為研究對象，進行受力分析和運動分析（如圖b所示）。建立直角坐標軸，列運動微分方程求解式中FN’,為物體對地板的壓力?；虻?3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月（２）求吊繩的拉力。式中Ｔ＝Ｑ＋Ｐ，稱為繩索的靜反力?！灿懻摗硥毫N,由兩部分組成：物體的重量Ｐ，靜壓力；，附加動壓力。超重。當ａ=ｇ時，F(xiàn)N,=0如果加速度方向向下，總壓力為:解得〔討論〕把繩索動反力的值Td和靜反力的值Ｔ的比值稱為動荷系數(shù)，用Ｋd表示：取電梯和重物整體為研究對象，受力如圖a所示。選坐標軸x，由式（9—4）得投影形式的質點運動微分方程第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月〔補例2〕如圖所示橋式起重機上，小車吊著質量為ｍ的重物，沿橫向作勻速運動，速度為Ｖ。，吊繩長為１。由于突然原因急剎車，重物因慣性繞懸掛點Ｏ向前擺動。試求剎車后繩索的最大張力及剎車前后瞬間繩索張力的比。分析：由題意→→動力學問題→→質點動力學第一類基本問題，先分析重物位于一般位置時。解取重物為研究對象，受力如圖所示。取自然軸如圖示，由式（9—5）得重物的運動微分方程投影式為（1）（2）式中ｖ與φ均為變量。第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

〔討論〕起重機的小車急剎車時，繩索張力發(fā)生急劇變化。由式（２）得:由式（1）知：，而ｖ＞０，故重物作減速運動。因此，在初始位置（剛剎車，φ＝０）時，重物的速度最大，，此時，繩索的張力Ｔ’獲得最大值，即剎車前，重物作勻速直線運動。由平衡條件知Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此剎車前后瞬間動荷系數(shù)第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：由題意→→動力學問題→→質點動力學第一類基本問題。運動方程是,〔補例3〕質點M的質量為,其中求作用在此質點上的力。為常量，解：該質點的加速度在坐標軸上的投影分別為

第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月代入式(9—4)，得作用在此質點上的力在軸上的投影為

從運動方程中消去時間，得此質點的軌跡方程合力可以表示為第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9-1曲柄連桿機構如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉動,OA=r,AB=l,當比較小時,以O為坐標原點,滑塊B的運動方程可近似寫為

如滑塊的質量為m,忽略摩擦及連桿AB的質量,試求當,連桿AB所受的力.第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月解:研究滑塊其中已知:則求:第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月有得這屬于動力學第一類問題。當?shù)玫?1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9-2質量為m的質點帶有電荷e,以速度v0進入強度按E=Acoskt變化的均勻電場中,初速度方向與電場強度垂直,如圖所示。質點在電場中受力

作用。已知常數(shù)A,k,忽略質點的重力,試求質點的運動軌跡。第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：1）由題意→→動力學問題→→質點動力學第二類基本問題。2）求質點的運動軌跡→→質點運動方程。解:取質點為研究對象，受力如圖10-3所示。質點運動微分方程在軸和軸上的投影式

(a)按題意以此為下限,式(a)的定積分為(b)第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月得質點運動方程軌跡方程(c)[討論]如果，則運動方程式(c)為，

式不變，這是一個直線運動。第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月[補例4]在均勻的靜止液體中，質量為

的物體M從液面處無初速下沉，如圖a所示。假設液體阻力，其中為阻尼系數(shù)。

試分析該物體的運動規(guī)律及其特征。分析：由題意→→動力學問題→→質點動力學第二類基本問題。第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月解：將坐標系的原點固結在該點的起始位置上，軸鉛垂向下。該質點的受力圖如圖b。

運動微分方程為或式中.起始條件：時，

，式(a)的定積分為

解得第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月再分離變量，運動起始條件為時，，則有積分得這就是該物體下沉的運動規(guī)律。時，該物體下沉速度將趨近一極限值由式(b)知，當時，稱為物體在液體中自由下沉的極限速度。應用：采礦工程中的選礦、農(nóng)業(yè)中的選種。第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月[討論]另選坐標系，其原點O在液體底部，軸鉛垂向上。

軸的正向畫出，則該物體的受力圖如圖c所示。設仍按為運動微分方程或運動起始條件為時，。通過兩次分離變量和積分，可得

第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月(說明)在選擇參考系、建立質點的運動微分方程時，宜盡可能將質點置于參考坐標系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿著坐標軸的正向；倘若質點的真實速度、加速度的分量是沿著坐標軸的負向，也應沿正向來假設，并畫出其受力圖，建立它的運動微分方程。3)第一、二類基本問題的綜合問題：有的工程問題既需要求質點的運動規(guī)律，又需要求未知的約束力，是第一類基本問題與第二類基本問題綜合在一起的動力學問題，稱為混合問題。第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9-3一圓錐擺,如圖所示。質量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上,繩的另一端系在固定點O,并與鉛直線成角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度v與繩的張力。第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月繩的張力與拉力F的大小相等。解得其中分析：由題意→→動力學問題→→質點動力學第一、二類基本問題的綜合問題。第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9-4粉碎機滾筒半徑為Ｒ，繞通過中心的水平軸勻速轉動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應在時才掉下來。求滾筒每分鐘的轉數(shù)n。第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月解：視鐵球為質點.受力如圖b.分析：由題意（滾筒轉動；求使鐵球在處筒壁的法向約束力＝0的滾筒轉速）→→動力學點動力學第一問題→→質、二類基本問題的綜合問題。列出質點運動微分方程在主法線上的投影式于是解得第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月５）求出末知的力或運動。對第二類問題要應用運動初始條件確定積分常數(shù)。

〔總結〕求解質點動力學問題的主要步驟：1）選取某質點為研究對象；２）分析作用在質點上的力；３）分析質點的運動情況。４）選擇恰當?shù)耐队拜S，寫出在該軸上的運動微分方程的投影式；第35頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月求解質點動力學問題，還應注意以下幾點：1）物體的受力分析。２）物體的運動分析。確定質點的運動軌跡是否已知、是直線還是曲線；分析質點運動要素是否已知，所用的坐標形式。有些情況下雖未直接給出運動，但經(jīng)過運動學的分析可得出結果也算是已知的第36頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月建立運動微分方程a）在什么位置建立點的運動微分方程，要根據(jù)題意確定。如只需要求某一特殊位置的力或加速度則在特殊