一元二次方程解法講義(全4講)

一元二次方程解法講義（全四講）第一講直接開(kāi)平一、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解形如xh2kk0的一元二次方程的解法——直接開(kāi)平方法；能夠熟練而準(zhǔn)確的運(yùn)用開(kāi)平方法求一元二次方程的解．二、知識(shí)回顧1．什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)？平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．用式子表示：若x=a，則2x叫做a的平方根．a(chǎn)記作x=a，即x=或x=a．425如：9的平方根是3；的平方根是．25平方根的性質(zhì)：（1）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反數(shù)的；（2）0的平方根是0；（3）負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．2．x=4，則2x=±2.想一想：求x=4的解的2過(guò)程，就相當(dāng)于求什么的過(guò)程？三、新知講解直接開(kāi)平方法解一元二次方程一般地，運(yùn)用平方根的定義直接開(kāi)平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法．對(duì)結(jié)構(gòu)形如(axb)2c(a0,c0)c0的一元二次方程來(lái)說(shuō)，因?yàn)椋栽诜匠虄蛇呏苯娱_(kāi)平方，可得c，進(jìn)而求得xcb(c0)．a(chǎn)xba注：（1）直接開(kāi)平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要針對(duì)形如(axb)2c(a0,c0)的一元二次方程，它的理論依據(jù)就是平方根的定義．（2）利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程時(shí)，要注意開(kāi)方的結(jié)果取“正、負(fù)”．c0時(shí)（3）當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．四、典例探究1．用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的解【例1】解方程：（1）2x﹣8=0；（22）（2x﹣3）2=25．分析：（1）先變形得到x=4，2然后利用直接開(kāi)平方法求解；（2）首先兩邊直接開(kāi)平方可得2x﹣3=±5，再解一元一次方程即可．解答：解：（1）x=4，21兩邊直接開(kāi)平方，得x=2，x=﹣2．12（2）兩邊直接開(kāi)平方，得2x﹣則2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，所以x=4，x=﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法：形如x2=p或（23=±5，nx+m）=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法求解．總結(jié)：運(yùn)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，首先要將一元二次方程的左邊化為含有未知數(shù)的完全平方式，右邊化為非負(fù)數(shù)的形式，然后直接用開(kāi)平方的方法求解．練1．（2015?東西湖區(qū)校級(jí)模擬）解方程：（2x+3）﹣25=02分析：先移項(xiàng)，寫(xiě)成（x+a）2=b的形式，然后利用數(shù)的開(kāi)方解答．解答：解：移項(xiàng)得，（2x+3）=25，2開(kāi)方得，2x+3=±5，解得x=1，x=﹣4．12點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．（2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體．（3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．練2．（2014秋?昆明校級(jí)期中）解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）．2即可得出兩個(gè)一元一次方程，求解答：解：兩邊開(kāi)方得：3（x+1）=±2（x﹣2），分析：兩邊開(kāi)方，出方程的解即可．即3（x+1）=2（x﹣2），3（x+1）=﹣2（x﹣2），解得：x=﹣7，x=．21點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程和解一元一次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．2．用直接開(kāi)平方法判斷方程中字母參數(shù)的取值范圍【例2】（2015春?南長(zhǎng)區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣k=0有實(shí)數(shù)根，則（）A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0分析：根據(jù)直接開(kāi)平方法的步驟得出x2=k，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出k≥0即可．解答：解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∵一元二次方程x2﹣k=0有實(shí)數(shù)根，∴k≥0，故選：C．．點(diǎn)評(píng)：此題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”方程化為總結(jié)：先把方程化為“左平方，右常數(shù)”的形式，且把系數(shù)化為1，再根據(jù)一元二次方程有無(wú)解來(lái)求方程中字母參數(shù)的取值范圍.2練3．（2015春?利辛縣校級(jí)月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，則必須（）A．n=0B．m，n同號(hào)C．n是m的整數(shù)倍D．m，n異號(hào)分析：首先求出x2的值為﹣，再根據(jù)x2≥0確定m、n的符號(hào)即可．解答：解：mx2+n=0，x2=﹣，∵x2≥0，∴﹣≥0，∴≤0，∵n≠0，∴mn異號(hào)，故選：D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，關(guān)鍵是表示出x2的值，根據(jù)x2的取值范圍確定m、n的符號(hào)．練4．（2015?岳陽(yáng)模擬）如果關(guān)于x的方程mx2=3有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是．解：∵關(guān)于x的方程mx2=3有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m＞0．故答案為：m＞0．五、課后小測(cè)一、選擇題1．（2015?石城縣模擬）方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3B．2．（2015?河北模擬）已知一元二次方程x2﹣4=0，則A．x=x=2B．x=x=﹣2C．x=﹣4，x=4D．x=﹣2，x=2x=9C．x=±3D．x=±9該方程的解為（）121212123．（2015?杭州模擬）關(guān)于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均為常數(shù)，m≠0）的解是x=﹣2，x=3，則21方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）A．x=﹣2，x=3B．x=﹣7，x=﹣2C．x=3，x=﹣2D．x=3，x=81212124．（2015?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如果x=﹣3是一元二次方程ax=c的一個(gè)根，那么12該方程的另一個(gè)根是（）2A．3B．﹣3C．0D．15．（2014?棗莊）x、x是一元二次方程3（x﹣1）2=15的兩個(gè)解，且x＜x，下列說(shuō)法1正確的是（）1A．x小于﹣1，x大于3B．x小于﹣2，x大于322121C．x，x在﹣1和3之間D．x，x都小于3212126．（2014春?淮陰區(qū)校級(jí)月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，7．（2012秋?內(nèi)江期末）已知a﹣2ab+b=6，則a﹣b的值是（）22A．B．或C．3D．8．方程x2=0的實(shí)數(shù)根有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè)D．0個(gè)9．方程5y﹣3=y+3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）22A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)二、填空題10．（2015?泉州）方程x2=2的解是．11．（2014?懷化模擬）方程8x﹣72=0解為．2三、解答題312．（2014?祁陽(yáng)縣校級(jí)模擬）解方程：（x﹣2）﹣16=0．2(xm)n1．形如(n≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m=±n，從2而解出方程的根，這種解一元二次方程的方法叫“直接開(kāi)平方法”.13．（2014秋?青海校級(jí)月考）解方程：．14．已知一元二次方程x﹣4x+1+m=5請(qǐng)你選取一個(gè)適當(dāng)?shù)膍的值，使方程能用直接開(kāi)平方法求解，并解這2個(gè)方程．（1）你選的m的值是；（2）解這個(gè)方程．第二講配方法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟；2．學(xué)會(huì)利用配方法解一元二次方程.二、知識(shí)回顧(xm)n1．形如(n≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m=±n，從2而解出方程的根，這種解一元二次方程的方法叫“直接開(kāi)平方法”.p2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)＝2p(p≥0)的形式,那么利用直接開(kāi)平方法可得x＝±或mx＋n=±p．三、新知講解1．配方法的依據(jù))abb(ab及直接開(kāi)平方法．22配方法解一元二次方程的依據(jù)是完全平方公式a222．配方法的步驟（1）化——化二次項(xiàng)系數(shù)為1如果一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1，那么在方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.（2）移——移項(xiàng)通過(guò)移項(xiàng)使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng).（3）配——配方4在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，根據(jù)完全平方公式把原方程變?yōu)?xm)2n(≥0)n的形式．（4）解——用直接開(kāi)平方法解方程.四、典例探究1．配方法解一元二次方程【例1】（2015?科左中旗校級(jí)一模）用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）A．x﹣22x﹣99=0化為（x﹣1）2=100B．x+8x+9=0化為（2x+4）2=25C．2t﹣7t﹣4=0化為（t﹣）=D．3x﹣4x﹣2=0化為（x﹣）2=222【解析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．根據(jù)以上步驟進(jìn)行變形即可．解：A、∵x﹣22x﹣99=0，∴x﹣2x=99，∴x﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A選項(xiàng)正確．22B、∵x+8x+9=0，∴x+8x=﹣9，∴x+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．222C、∵2t﹣7t﹣4=0，∴2t﹣7t=4，∴t﹣t=2，∴t﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C選項(xiàng)正確．2222D、∵3x﹣4x﹣2=0，∴3x﹣4x=2，∴x﹣x=，∴x﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D選項(xiàng)正確．2222故選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法解一元二次方程，選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．總結(jié)：配方法解一元二次方程的一般步驟：（1）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（2）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．（4）用直接開(kāi)平方法解這個(gè)方程.練1用配方法解方程：x﹣22x﹣24=0；（2）3x+8x-3=0；（23）x（x+2）=120.【解析】（1）移項(xiàng)，得x﹣22x=24，配方，得：x﹣22x+1=24+1，即：（x﹣1）2=25，開(kāi)方，得：x﹣1=±5，∴x=6，x=﹣4．218（2）兩邊除以3，得：xx210,38xx12移項(xiàng)，得：，3844xx()21()2，2配方，得：3334523(x)()2即：，35x54開(kāi)方，得：33∴x1,x3312x2x1202（3）整理，得：，x2x11201，2配方，得：(x1)1212即：，x111開(kāi)方，得：∴x10,x1212點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．2．用配方法求多項(xiàng)式的最值【例2】（2015春?龍泉驛區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x，y取何值時(shí)，多項(xiàng)式x+4x+4y﹣24y+1取得最小值，并求出最2小值．【解析】把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)的和，最小值應(yīng)為那個(gè)常數(shù)，從而確定最小值．解：x+4x+4y﹣4y+1=x+4x+4+4y﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）﹣4，22222又∵（x+2）2+（2y﹣1）的最小值是0，2∴x+4x+4y﹣4y+1的最小值為﹣4．22∴當(dāng)x=﹣2，y=時(shí)有最小值為﹣4．點(diǎn)評(píng)：本題考查配方法的應(yīng)用；根據(jù)﹣4y，4x把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式子的和是解決本題的關(guān)鍵．總結(jié)：配方法是求代數(shù)式的最值問(wèn)題中最常用的方法.基本思路是：把代數(shù)式配方成完全平方式與常數(shù)項(xiàng)的和，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性求代數(shù)式的最值.練2（2014?甘肅模擬）用配方法證明：二次三項(xiàng)式﹣8x+12x﹣5的值一定小于0．2【解析】將﹣8x+12x﹣5配方，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后根據(jù)配2方后的形式，再根據(jù)a≥20這一性質(zhì)即可證得．解：﹣8x+12x﹣5=﹣8（x﹣2x）﹣5=﹣8[x﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）﹣，222∵（x﹣）≥20，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x﹣）﹣2＜0，即﹣8x+12﹣5的值一定小于0．2點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．練3（2014秋?崇州市期末）已知a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)．6（1）求證：a﹣b+c﹣2ac＜0．222（2）當(dāng)a+2b+c=2b（222a+c）時(shí)，試判斷△ABC的形狀．【解析】（1）將不等式的左邊因式分解后根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷代數(shù)式的符號(hào)即可；（2）將等式右邊的項(xiàng)移至左邊，然后配方即可．解：（1）a﹣b+c﹣2ac=（a﹣c）﹣2b=（2a﹣c+b）（a﹣c﹣b）222∵a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)，∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，∴a﹣b+c﹣2ac＜0．222（2）由a+2b+c=2b（222a+c）得：a﹣22ab+b2+b﹣22bc+c2=0配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC為等邊三角形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)原式正確的配方．五、課后小測(cè)一、選擇題1．（2015?延慶縣一模）若把代數(shù)式x﹣22x+3化為（x﹣m）2+k形式，其中m，k為常數(shù)，結(jié)果為（）A．（x+1）2+4B．（x﹣1）2+2C．（x﹣1）2+4D．（x+1）2+22．（2015?東西湖區(qū)校級(jí)模擬）一元二次方程x﹣8x﹣1=0配方后為（）2A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17二、填空題3．（2015春?鹽城校級(jí)期中）一元二次方程x﹣6x+a=0，配方后為（x﹣3）2=1，則a=．24．（2014秋?營(yíng)山縣校級(jí)月考）當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式3x﹣6x的值等于12．2三、解答題5．（2015?東西湖區(qū)校級(jí)模擬）用配方法解方程：x﹣22x﹣4=0．6．（2013秋?安龍縣校級(jí)期末）試說(shuō)明：不論x，y取值何，代數(shù)式x+4y﹣2x+4y+5的值總是正數(shù)．你能22求出當(dāng)x，y取值何時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小嗎？7．（2014秋?薊縣期末）閱讀下面的材料并解答后小李：能求出x+4x﹣3的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？過(guò)程如下：因?yàn)閤+4x﹣23=x2+4x+4﹣4﹣3=（x+4x+4）﹣（24+3）=（x+2）﹣27而（x+2）2≥0，所以x+4x﹣23的最小值是﹣7．問(wèn)題：面的問(wèn)題：2小華：能．求解7（1）小華的求解過(guò)程正確嗎？（2）你能否求出x﹣3x+4的最小值？如果能，寫(xiě)出你的求解過(guò)程．28．（2014秋?安陸市期末）閱讀下面的解答過(guò)程，求y+4y+8的最小值．2解：y+4y+8=y+4y+4+4﹣（y+2）+4222∵（y+2）≥20∴（y+2）2+4≥4∴y+4y+8的最小值為42仿照上面的解答過(guò)程，求m+m+4的最小值和4﹣2x﹣x的最大值．229．（2014春?乳山市期末）已知代數(shù)式x﹣2mx﹣m+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．2210．（2014秋?江陰市期中）配方法可以用來(lái)解一元二次方程，還可以用它來(lái)解決很多問(wèn)題．例如：因?yàn)?a≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此時(shí)a=0；同樣，因?yàn)椹?（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，2即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此時(shí)a=﹣1．①當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3有最（填寫(xiě)大或?。┲禐椋诋?dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣x+4x+3有最2（填寫(xiě)大或小）值為．③矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是16m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？第三講公式法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解掌握一元二次方程根的判別式，不解方程能判定一元二次方程根的情況；理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程；掌握公式結(jié)構(gòu)，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過(guò)判別式判斷根的情況；學(xué)會(huì)利用求根公式解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．二、知識(shí)回顧1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？配方法：通過(guò)配方，先把方程的左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，然后運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步驟：8（1）移常數(shù)項(xiàng)到方程右邊；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）化方程左邊為完全平方式；（5）若方程右邊為非負(fù)數(shù)，則利用直接開(kāi)平方法解得方程的根．2．怎樣用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？axbxc,解：移項(xiàng)，得2x2bx,caa二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2bx()2c(b)2,ba2aa2a配方，得bb4ac2，2即：x2a4a2因?yàn)閍0,所以bb24ac當(dāng)b24ac0時(shí)，x；2a時(shí)，x=xb當(dāng)b24ac0;2a12當(dāng)b24ac0時(shí)，原方程無(wú)解.三、新知講解一元二次方程根的判別式b24ac叫做一元二次方程2即b4ac．a(chǎn)x+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，2一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）b4ac0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2（2）b4ac0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2（3）b4ac0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．2公式法解一元二次方程一般地，對(duì)于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b24ac0時(shí)，它的兩個(gè)根分別是xbb24acbb24ac，x2，2a2a1bb4ac2x這里，b4ac0叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法22a叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步驟把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；9確定a，b，c的值；求出b4ac的值，并判斷方程根的情況：2當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．bb24ac當(dāng)b24ac0時(shí)，將a，b，c和的值代入公式b4acx（注意符號(hào)）．22a四、典例探究1．根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程根的情況【例1】（2015?重慶）已知一元二次方程2x﹣5x+3=0，則該方程根的情況是（）2A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)根都是自然數(shù)D．無(wú)實(shí)數(shù)根分析：判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b﹣4ac的值的符號(hào)就可以了．2解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，=b﹣4ac=（﹣5）﹣4×2×3=1＞0，∴△22∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．總結(jié)：求根的判別式時(shí)，應(yīng)該先將方程化為一般形式，正確找出a，b，c的值.根的判別式與一元二次方程根的情況的關(guān)系如下：當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0b4ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)2練1．（2015?銅仁市）已知關(guān)于x的一元二次方程3x+4x﹣5=0，下列說(shuō)法不正確的是（）2A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定分析：先求出△的值，再判斷出其符號(hào)即可．解答：解：∵△=4﹣4×3×（﹣5）=76＞0，2∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)2鍵．練2．（2015?泰州）已知：關(guān)于x的方程x+2mx+m﹣1=02（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）方若程有一個(gè)根為3，求m的值．2分析：（1）找出方程a，b及c的值，計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負(fù)即可（2）將x=3代入已知方程中，列出關(guān)于系數(shù)m的新方程，通過(guò)解新方程即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=1，b=2m，c=m﹣1，作出判斷；2∵△=b﹣4ac=（2m）﹣4×1×（m﹣21）=4＞0，2210∴方程x+2mx+m﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；22（2）∵x+2mx+m﹣21=0有一個(gè)根是3，2∴3+2m×3+m﹣1=0，22解得，m=﹣4或m=﹣2．點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．2．根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的值或取值范圍【例2】（2015?溫州）若關(guān)于x的一元二次方程4x﹣4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（）2A．﹣1B．1C．﹣4D．4分析：根據(jù)方程根的情況與判別式的關(guān)系知△=4﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．2解答：解：∵一元二次方程4x﹣4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，2∴△=4﹣4×4c=0，2∴c=1，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相22等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．總結(jié)：已知方程根的情況求字母的值或取值范圍時(shí)：先計(jì)算根的判別式；再根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于根的判別式的等式或不等式求解；若二次項(xiàng)系數(shù)出現(xiàn)了字母，應(yīng)注意“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”．練3．（2015?涼山州）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則2m的取值范圍是（）A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2分析：根據(jù)一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b-4ac的意義得到m-2≠0且△≥0，即2-4222×（m-2）×1≥0，然后解不等式組即可得到m的取值范圍．解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，2∴m-2≠0且△≥0，即2-4×（2m-2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范圍是m≤3且m≠2．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相22等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．3．用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x+2x﹣22=0；（2）y﹣23y+1=0；（3）x+3=22x．分析：（1）求出b﹣24ac的值，代入公式x=（2）求出b﹣24ac的值，代入公式y(tǒng)=求出即可；求出即可；11（3）求出b﹣4ac的值是負(fù)數(shù)，即可得出原方程無(wú)解．2解答：解：（1）這里a=1，b=2，c=﹣2，∵b﹣4ac=2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，22∴x==﹣1，∴x=﹣1+，x=﹣1﹣；12（2）這里a=1，b=﹣3，c=1．∵b﹣24ac=（﹣3）﹣4×1×1=5＞0，2y=，∴y=，y=；21（3）移項(xiàng)，得x﹣22x+3=0，這里a=1，b=﹣2，c=3．∵b﹣24ac=（﹣2）﹣24×1×3=﹣4＜0．∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生運(yùn)用公式法正確解方程的能力，前提是先判斷判別式的符號(hào)，再根據(jù)情況代入求根公式求解．總結(jié)：公式法的實(shí)質(zhì)是配方法，只不過(guò)省去了配方的過(guò)程，而直接利用了配方的結(jié)論；運(yùn)用公式法求解一元二次方程要注意兩個(gè)前提：（1）先將一元二次方程化為一般形式，即確定a，b，c的值；（2）必須保證b-24ac≥0．練4．（2014?錦江區(qū)模擬）解方程：x（x﹣2）=3x+1．分析：整理后求出b﹣24ac的值，再代入公式求出即可．解答：解：x（x﹣2）=3x+1，整理得：x﹣25x﹣1=0，b﹣24ac=（﹣5）﹣4×1×（﹣1）=29，2x=，x=，x=．21點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確運(yùn)用公式法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵，難度適中．練5．當(dāng)x是何值時(shí)，3x+4x﹣28的值和2x﹣21的值相等？分析：根據(jù)3x+4x﹣8的值和2x﹣21的值相，等即可列出方程，然后利用公式法即可求解．2解答：解：根據(jù)題意得：3x+4x﹣8=2x﹣1，22即x+4x﹣27=0，a=1，b=4，c=﹣7，△=b﹣4ac=16+28=44＞0，2則x==﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了公式法解一元二次方程，注意公式運(yùn)用的條件：判別式△≥0．12五、課后小測(cè)一、選擇題1．（2015?云南）下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A．4x﹣5x+2=0B．x﹣26x+9=0C．5x﹣4x﹣1=0D．3x﹣4x+1=02222．（2015?貴港）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x﹣22x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A．﹣1B．0C．1D．23．（2015?煙臺(tái)）等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x﹣6x+n﹣1=02的兩根，則n的值為（）A．9B．10C．9或10D．8或104．（2015?株洲）有兩個(gè)一元二次方程M：ax+bx+c=0；2N：cx+bx+a=0，其中2a?c≠0，a≠c．下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同M的兩根符號(hào)相同，那么方程C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=15．（2013?日照）已知一元二次方程x﹣2x﹣3=0的較小根為x，則下面對(duì)x的估計(jì)正確的是（）11A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣3＜x＜﹣2C．2＜x＜3D．﹣1＜x＜01二、填空題1116．（2011秋?冊(cè)亨縣校級(jí)月考）用公式法解方程2x﹣7x+1=0，其中b﹣24ac=，x=，x=．212三、解答題7．（2014秋?通山縣期中）用公式法解方程：2x﹣4x=5．28．（2014秋?金溪縣校級(jí)月考）解方程：2x﹣2x﹣5=0．29．（2013春?石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=4．10．（2015?梅州）已知關(guān)于x的方程x+2x+a﹣22=0．（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范；圍（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．11．（2015?咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx﹣（m+2）x+2=0．2（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．12．（2015?昆山市一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x+（2m+3）x+m+1=0．（1）求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若x、x是原方程的兩根，且|x﹣x|=2，求m的值．12121313．（2015?南充一模）已知關(guān)于x的一元二次方程kx﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）2（1）小明考查后說(shuō)，它總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）小華補(bǔ)充說(shuō)，其中一個(gè)根與k無(wú)關(guān)．請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)其中的道理．第四講因式分解法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)用因式分解法解一元二次方程；2．會(huì)用換元法解一元二次方程；3．靈活選用簡(jiǎn)便的方法解一元二次方程.二、知識(shí)回顧1.分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法：a2b(ab)(ab)，a2abb2(ab)2a2-2abb2(a-b)2，22（3）十字相乘法：x2(ab)xab(xa)(xb)三、新知講解1．因式分解法把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式叫做分解因式.當(dāng)一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們可以使兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.2．因式分解法解一元二次方程的步驟：①把方程的右邊化為0；②用提公因式法、公式法（這里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左邊化成兩個(gè)一次因式乘積的形式；一每個(gè)因式分別等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.3．因式分解法的條件、理論依據(jù)因式分解法解一元二次方程的條件是：方程右邊等于0，而左邊易于分解；理論依據(jù)是：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么至少有一個(gè)因式等于零.四、典例探究1．用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解方程：14（1）2(2x－1)=(1－2x)；（2）4(y＋2)=(y－3).222【解析】（1）移項(xiàng)，提取公因式；（2）移項(xiàng)并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x－1)=(1－2x)2移項(xiàng)，得2(2x－1)－(1－2x)=0，2即：2(2x－1)+(2x－1)=0，2因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，11解得x=，x=；2412（2）4(y＋2)=(y－3)22移項(xiàng)，得4(y＋2)-(y－3)=022因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0整理，得(3y+1)(y+7)=01解得y=－，y=－7.312總結(jié)：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“當(dāng)ab=0時(shí)，必有a=0或者b=0”的結(jié)論.因式分解法解一元二次方程的步驟：（1）把方程的右邊化為0；（2）用提公因式法、公式法（這里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左邊化成兩個(gè)一次因式乘積的形式；（3）令每一個(gè)因式分別等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.練1（2014秋?趙縣期末）用因式分解法解方程：x﹣6x+9=（25﹣2x）2解：x﹣6x+9=（25﹣2x），2（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2=0，因式分解得：（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）=0，整理得：（2﹣x）（3x﹣8）=0，解得：x=2，x=.21點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確分解因式是解題關(guān)鍵．2．用換元法解一元二次方程【例2】（2014?山西校級(jí)模擬）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0時(shí)，我們可以將x﹣1看成一個(gè)整體，設(shè)x﹣1=y，則原方程可化為y﹣5y+4=0，解得y=1，y=4．當(dāng)y=1時(shí)，即x﹣1=1，解得x=2；當(dāng)y=4時(shí)，即212x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解為x=2，x=5．利用這種方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．12【解析】先設(shè)2x+5=y，則方程即可變形為y﹣4y+3=0，解方程即2可求得y（即2x+5）的值，進(jìn)一步可求出x的值．解：設(shè)x﹣1=y，則原方程可化為y﹣4y+3=0，2所以（y﹣1）（y﹣3）=0解得y=1，y=3．12當(dāng)y=1時(shí)，即2x+5=1，解得x=﹣2；當(dāng)y=3時(shí)，即2x+5=3，解得x=﹣1，15所以原方程的解為：x=﹣2，x=﹣1．12點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用換元法解一元二次方程．總結(jié)：換元法在解特殊一元二次方程的時(shí)候用的較多，運(yùn)用了整體思想.在一元二次方程中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，用一個(gè)字母來(lái)代替它可以簡(jiǎn)化問(wèn)題時(shí)，我們可以考慮用換元法來(lái)解.解高次方程時(shí)，通過(guò)換元的方法達(dá)到降次的目的．練2（2015?呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，則a+b=_______．【解析】設(shè)a+b=x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，通過(guò)解該一元二次方程來(lái)求x（即a+b）的值．解：設(shè)a+b=x，則由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得x=﹣，x=1．21則a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．練3解方程：（x-3）22-5(3-x2)+4=0.【解析】設(shè)x-3=y，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，通過(guò)解該一元二次方程來(lái)求y（即x-3）的22值．解：設(shè)x-3=y，則原方程可化為y-5(-y)+4=02，即：y+5y+4=0，22因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y=-1，y=-4.12當(dāng)y=-1時(shí)，x-3=-1，即x=2，解得x2.221y=-4時(shí)，x-3=-4，即x-3=-1，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.2當(dāng)22x2.綜上，3．靈活選用方法解一元二次方程【例3】（2014秋?漳縣校級(jí)期中）選擇當(dāng)適方法解下列方程：（1）x﹣25x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x﹣22x﹣5=0；（4）（y+2）2=（3y﹣1）．2【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根據(jù)直接開(kāi)平方法求解；（2）先變形得到3（x﹣2）﹣2x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；16（3）先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先變形得到（y+2）﹣（23y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x﹣25x=﹣1，x﹣5x+（）=﹣1+（），222（x﹣）2=，x﹣=±，所以x=，x=；12（2）3（x﹣2）﹣2x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x=2，x=3；12（3）△=（﹣2）﹣24×2×（﹣5）=48x===，所以x=，x=；12（4）（y+2）﹣（23y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y=﹣，y=．12點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的四種常見(jiàn)解法．總結(jié)：解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和因式分解法，根據(jù)一元二次方程的特征，靈活選用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，當(dāng)一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，即形如ax+c=0形式的2一元二次方程，應(yīng)選用直接開(kāi)平方法.（2）若常數(shù)項(xiàng)為0，即形如ax+bx=0的形式，2應(yīng)選用因式分解法.（3）若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0，即形如ax+bx+c=0的形式，2看左邊的整式是否能夠因式分解，如果能，則宜選用因式分解法；不然選用公式法；不過(guò)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，用配方法也較簡(jiǎn)單.（4）公式法雖然是萬(wàn)能的，對(duì)任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡(jiǎn)單的.因此在解方程時(shí)，我們首先考慮能否應(yīng)用直接開(kāi)平方法、因式分解法等簡(jiǎn)單方法，若不行，則再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）.練4（2015春?無(wú)錫校級(jí)期中）選擇合適的方法解下列方程.（1）x﹣25x﹣6=0；（2）3x﹣24x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；【解析】（1）根據(jù)因式分解法，可得方程的解；（2）根據(jù)公式法，可得方程的解；（3）根據(jù)因式分解法，可得方程的解；（4）根據(jù)公式法，可得方程的解．17解：（1）因式分解，得（x﹣1）（x﹣6）=0，解得x=6，x=﹣1；12（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x=，x=；21（3）方程化簡(jiǎn)得x+2x﹣3=0，2因式分解，得（x+3）（x﹣1）=0，解得x=1，x=﹣3；12（4）a=1，b=﹣2，c=1，x=1+，x=﹣1+．12點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵．五、課后小測(cè)一、選擇題1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（）A.x=-16，x=8B.x=16，x=-8C.x=16，1x=8D.x=-16，x=-82122.方程5x(x+3)=3(x+3)的解為（）12213333x,x3A.B.C.D.5x,x3xx,x35551212123.（2015?滕州市校級(jí)模擬）方程x﹣22x=3可以化簡(jiǎn)為（）A．（x﹣3）（x+1）=0B．（x+3）（x﹣1）=0C．（x﹣1）2=2D．（x﹣1）2+4=0二、填空題4．（2015?麗水）解一元二次方程x+2x﹣23=0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，請(qǐng)寫(xiě)出其中的一個(gè)一元一次方程．5．（2014?杭州模擬）方程x（x+1）=2（x+1）的解是．6．（2013秋?蘇州期末）已知（x+y+1）（22x+y+2）22=6，則x+y的值為22．三、解答題7．（2014秋?靜寧縣期末）解下列方程：（1）x﹣22x+1=0（2）x﹣22x﹣2=0（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．8．（2014秋?滄浪區(qū)校級(jí)期末）解下列方程：（1）x﹣24x﹣3=0（2）（x﹣2）2=3（x﹣2）（3）2（﹣x）﹣（x﹣）﹣1=0．29．（2014秋?宛城區(qū)校級(jí)期中）為了解方程（x﹣1）﹣5（x﹣21）+4=0，我們可以將x﹣21看作一個(gè)整體，22然后設(shè)x﹣21=y，則（x﹣21）2=y，那么原方程可化為2y﹣25y+4=0，解得y=1，y=4．21當(dāng)y=1時(shí)，x﹣21=1，x=2，2x=±．18當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣1=4，x2=5，x±．故原方程的解為x=，x=﹣，x=，x=﹣．1請(qǐng)借鑒上面的方法解方程（23x﹣x）﹣5（x2﹣x）+6=0．42210．（2014秋?薊縣期中）已知（x2+y﹣23）（x+y+1）=12，求x2+y的值．222課后練習(xí)參考答案：第一講：課后小測(cè)答案：一、選擇題1．（2015?石城縣模擬）方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3B．x=±3D．x=±9解：移項(xiàng)得；x2=9，x=9C．兩邊直接開(kāi)平方得：x=±3，故選：C．2．（2015?河北模擬）已知一元二次方程x﹣4=0，則該方程的解為（）2A．x=x=2B．x=x=﹣2C．x=﹣4，x=4D．x=﹣2，x=212解：x2﹣4=0，121212（x+2）（x﹣2）=0，x=﹣2，x=2．12故選D3．（2015?杭州模擬）關(guān)于x的方程方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）A．x=﹣2，x=3B．x=﹣7，x=﹣2C．a(chǎn)（x+m）2+n=0（a，m，n均為常數(shù)，m≠0）的解是x=﹣2，x=3，則12x=3，x=﹣2D．x=3，x=812121212解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+n=0的解是x=﹣2，x=3，（m，n，p均為常數(shù)，m≠0），12a[（x﹣5）+m]+n=0，即此方程中x﹣5=﹣2或x﹣5=3，∴方程a（x+m﹣5）+n=0變形為2解得x=3或x=8．故選D．24．（2015?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如果x=﹣3是一元二次方程ax=c的一個(gè)根，那么該方程的另一個(gè)根是（）2A．3B．﹣3C．0D．1解：ax=c，2x2=，x=±，∵x=﹣3是一元二次方程ax=c的一個(gè)根，2∴該方程的另一個(gè)根是x=3，故選A．5．（2014?棗莊）x、x是一元二次方程3（x﹣1）2=15的兩個(gè)解，且x＜x，下列說(shuō)法1正確的是（）1A．x小于﹣1，x大于3B．x小于﹣2，x大于322121C．x，x在﹣1和3之間D．x，x都小于32121解：∵x、x是一元二次方程3（x﹣1）2=15的兩個(gè)解，且x＜x，21∴（x﹣1）2=5，212∴x﹣1=±，∴x=1+＞3，x=1﹣＜﹣1，1219故選：A．6．（2014春?淮陰區(qū)校級(jí)月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，解：方程（1﹣x）2=2，開(kāi)方得：1﹣x=±，解得：x=1+，x=1﹣，21故選D7．（2012秋?內(nèi)江期末）已知a﹣22ab+b2=6，則a﹣b的值是（）A．B．或C．3D．解：∵a﹣22ab+b2=6，∴（a﹣b）2=6，∴a﹣b=±，故選：B．8．方程x=0的2實(shí)數(shù)根有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè)D．0個(gè)解：x=0，2兩邊直接開(kāi)平方得：x=x=0，12故選：B．9．方程5y﹣3=y+3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）22A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解：5y﹣3=y2+3，24y=6，2y2=，y=±，即實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選C．二、填空題10．（2015?泉州）方程x=2的解是2±．解：x=2，2x=±．故答案為±．11．（2014?懷化模擬）方程8x﹣72=0解為x=±3．2解：8x﹣72=0，28x=72，2x=9，2x=±3，故答案為：x=±3．三、解答題12．（2014?祁陽(yáng)縣校級(jí)模擬）解方程：（x﹣2）﹣216=0．解：分解因式得：（x﹣2+4）（x﹣2﹣4）=0，x﹣2﹣4=0，x﹣2+4=0，解得x=6，x=﹣2．122013．（2014秋?青海校級(jí)月考）．解：，x﹣=±，所以x=1，x=﹣．2114．已知一元二次方程x﹣4x+1+m=5請(qǐng)你選取一個(gè)適當(dāng)?shù)膍的值，使方程能用直接開(kāi)平方法求解，并解這2個(gè)方程．（1）你選的m的值是8；（2）解這個(gè)方程．解：令m=8，則x﹣4x+1+8=5，2即x﹣4x+4=0，2（x﹣2）2=0，開(kāi)方得x﹣2=0，即x=2．第二講：課后小測(cè)答案：一、選擇題1．【解析】二次項(xiàng)系數(shù)為1，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方．解：x﹣22x+3=x﹣22x+1+2=（x﹣1）2+2．故選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．2．【解析】先移項(xiàng)，得x﹣8x=1，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上16，即可得到完全平方的形式．2解：移項(xiàng)，得x﹣8x=1，2配方，得x﹣8x+16=1+16，2即（x﹣4）2=17．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了用配方法解一元二次方程，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，不僅應(yīng)用于解一元二次方程，還可以應(yīng)用于二次函數(shù)和判斷代數(shù)式的符號(hào)等，應(yīng)熟練掌握．二、填空題3．【解析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)后，即可確定出a的值．解：∵（x﹣3）2=x﹣26x+9，故答案為：9．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程﹣配方法，∴a=9；熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．【解析】根據(jù)題意列出方程，兩邊除以3變形后，再加上1配方后，開(kāi)方即可求出解．解：根據(jù)題意得：3x﹣6x=12，即x﹣2x=4，22配方得：x﹣22x+1=5，即（x﹣1）2=5，開(kāi)方得：x﹣1=±，解得：x=1±．故答案為：1±．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．三、解答題215．【解析】按照配方法的一般步驟計(jì)算：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．解：把方程x﹣22x﹣4=0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到x﹣22x=4，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x﹣22x+1=4+1，配方得（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x=1﹣，x=1+．1點(diǎn)評(píng)：2本題考查了用配方法解一元二次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是牢記步驟，并能熟練運(yùn)用，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．6．【解析】原式利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．解：原式=x﹣22x+1+4y2+4y+1+3=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，當(dāng)x=1，y=﹣時(shí)，x+4y﹣2x+4y+5有最小值是3．22點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．7．【解析】對(duì)于x+4x﹣23和x﹣23x+4都是同時(shí)加上且減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．配成一個(gè)完全平方式與常數(shù)的和，利用完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到原代數(shù)式的最小值．解：（1）正確（2）能．過(guò)程如下：x﹣23x+4=x﹣23x+﹣+4=（x﹣）2+∵（x﹣）2≥0，所以x﹣3x+4的最小值是．2點(diǎn)評(píng)：此題考查配方法的運(yùn)用，配方法是常用的數(shù)學(xué)思想方法．不僅用于解方程，還可利用它解決某些代數(shù)式的最值問(wèn)題．它的一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是要配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．同時(shí)要理解完全平方式的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．8．【解析】（1）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解：（1）m+m+4=（2m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．則m+m+4的最小值是；2（2）4﹣x+2x=﹣（2x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，則4﹣x+2x的最2大值為5．點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．9．【解析】先將原式變形為x﹣22m﹣m+5m﹣25=（x﹣m）﹣22m2+5m﹣5，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就可以求出最小值．22解：x﹣2m﹣m+5m﹣5=（x﹣m）﹣22m+5m﹣5．222∵代數(shù)式x﹣22m﹣m+5m﹣25的最小值是﹣23，∴﹣2m+5m﹣5=﹣232解得m=﹣2或m=點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一個(gè)數(shù)的偶次冪為非負(fù)數(shù)的運(yùn)用．解答時(shí)配成完全平方式是關(guān)鍵．10．【解析】①由完全平方式的最小值為0，得到x=1時(shí)，代數(shù)式的最大值為3；②將代數(shù)式前兩項(xiàng)提取﹣1，配方為完全平方式，根據(jù)完全平方式的最小值為0，即可得到代數(shù)式的最大值及此時(shí)x的值；③設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為xm，根據(jù)總長(zhǎng)度為16m，表示出平行于墻的一邊為（16﹣2x）m，表示出花園的面積，整理后配方，利用完全平方式的最小值為0，即可得到面積的最大值及此時(shí)x的值．解：①∵（x﹣1）≥20，∴當(dāng)x=1時(shí)，（x﹣1）的最小值為20，則當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3的最大值為3；②代數(shù)式﹣x+4x+3=﹣（2x﹣24x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，則當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式﹣x+4x+3的最大值為27；③設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（16﹣2x）m，∴花園的面積為x（16﹣2x）=﹣2x+16x=﹣2（x﹣28x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，2則當(dāng)邊長(zhǎng)為4米時(shí)，花園面積最大為32m．2故答案為：①1；大；3；②2；大；7點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．第三講：課后小測(cè)答案：一、選擇題1．（2015?云南）下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A．4x﹣5x+2=0B．x﹣6x+9=0C．5x﹣4x﹣1=0D．3x﹣4x+1=02222解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確；B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．2．（2015?貴港）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x﹣22x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A．﹣1B．0C．1D．2解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x﹣22x+2=0有實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣2）﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，2∴a≤且a≠1，∴整數(shù)a的最大值為0．故選：B．3．（2015?煙臺(tái)）等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x﹣26x+n﹣1=0的兩根，則n的值為（）A．9B．10C．9或10D．8或1023解：∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b兩種情況，①當(dāng)a=2，或b=2時(shí)，∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x﹣6x+n﹣1=0的兩根，2∴x=2，把x=2代入x﹣6x+n﹣1=0得，2﹣26×2+n﹣1=0，2解得：n=9，當(dāng)n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，故n=9不合題意，②當(dāng)a=b時(shí)，方程x﹣26x+n﹣1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣6）﹣4（n﹣1）=02解得：n=10，故選B．4．（2015?株洲）有兩個(gè)一元二次方程M：ax+bx+c=0；2N：cx+bx+a=0，其中2a?c≠0，a≠c．下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1解：A、如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么△=b﹣4ac=0，所以方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論正2確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，那么△=b﹣4ac≥0，＞0，所以a與c2符號(hào)相同，＞0，所以方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，結(jié)論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個(gè)根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時(shí)除以25，得c+b+a=0，所以是方程N(yùn)的一個(gè)根，結(jié)論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么ax+bx+c=cx+bx+a，（a﹣c）x=a﹣2c，由a≠c，得x=1，222x=±1，結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選D．5．（2013?日照）已知一元二次方程x﹣2x﹣3=0的較小根為x，則下面對(duì)x的估計(jì)正確的是（）11A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣3＜x＜﹣2C．2＜x＜3D．﹣1＜x＜01解：x﹣2x﹣3=0，111b﹣24ac=（﹣1）﹣4×1×（﹣3）=13，2x=，方程的最小值是，∵3＜＜4，∴﹣3＞﹣＞﹣4，∴﹣＞﹣＞﹣2，24∴﹣＞﹣＞﹣2，∴﹣1＞＞﹣故選：A．二、填空題6．（2011秋?冊(cè)亨縣校級(jí)月考）用公式法解方程2x﹣7x+1=0，其中2b﹣4ac=41，x=2，x=21．解：2x﹣7x+1=0，2a=2，b=﹣7，c=1，∴b﹣4ac=（﹣7）﹣4×2×1=41，22∴x==，∴x=，x=2，1故答案為：41，，．三、解答題7．（2014秋?通山縣期中）用公式法解方程：2x﹣4x=5．2解：原方程可化為：2x﹣4x﹣5=0，2∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，∴b﹣4ac=（﹣4）﹣4×2×（﹣5）=56＞0，22∴x=\frac{4±\sqrt{56}}{4}=1±．∴x=1+，x=1﹣．218．（2014秋?金溪縣校級(jí)月考）解方程：2x﹣2x﹣5=0．2解：這里a=2，b=﹣2，c=﹣5，∵△=8+40=48，∴x==．9．（2013春?石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=4．解：整理得：x+22x﹣4=0，△=b﹣4ac=（2）﹣24×1×（﹣4）=28，2x=，x=﹣+，x=﹣﹣．2110．（2015?梅州）已知關(guān)于x的方程x+2x+a﹣22=0．（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．解：（1）∵b﹣24ac=（﹣2）﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，2解得：a＜3．∴a的取值范圍是a＜3；25（2）設(shè)方程的另一根為x，由根與系數(shù)的關(guān)系得：1，解得：，則a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3．11．（2015?咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx﹣（m+2）x+2=0．2（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．解：（1）△=（m+2）﹣28m=m﹣4m+4=（m﹣2），22∵不論m為何值時(shí)，（m﹣2）≥20，∴△≥0，∴方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解方程得，x=，x=，x=1，21∵方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，∴m=1或2，m=2不合題意，∴m=1．12．（2015?昆山市一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x+（2m+3）x+m+1=0．（1）求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若x、x是原方程的兩根，且|x﹣x|=2，求m的值．1212解：（1）∵△=（m+3）﹣24（m+1）=m+2m+5=（m+1）2+4＞0，2∴無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵x、x是原方程的兩根，12∴x+x=﹣m﹣3，xx=m+1，1212∵|x﹣x|=2，12∴（x﹣x）2=8，12∴（x+x）﹣24xx=8，1212∴（﹣m﹣3）﹣24（m+1）=8，∴m=1，m=﹣3．113．（22015?南充一模）已知關(guān)于x的一元二次方程2kx﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k