2021-2022學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市白鶴中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市白鶴中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p：存在實數(shù)使，命題q：存在實數(shù)，若p且q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．參考答案：C2.在游樂場，有一種游戲是向一個畫滿均勻方格的桌面上投硬幣，若硬幣恰落在任何一個方格內(nèi)不與方格線重疊，即可獲獎．已知硬幣的直徑為2，若游客獲獎的概率不超過，則方格邊長最長為（單位：cm）（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：A【考點】幾何概型．【分析】由題意知本題是一個幾何概型，概率等于對應(yīng)面積之比，根據(jù)題意算出試驗包含的總面積和符合條件的面積，求比值即可．【解答】解：設(shè)小方格邊長為acm，∵硬幣的直徑為2cm，顯然a≥2；使硬幣與小方格的四邊不相交，則這時硬幣所在的位置可以是以方格中心為中心點，以a﹣2為邊長的方格；且與小方格的四邊不相交的概率不超過，即p=≤，解出≤a≤3，即a的取值范圍為[2，3]滿足條件；∴方格邊長最長為3．故選：A．3.有一個奇數(shù)列1，3，5，7，9，…，現(xiàn)在進行如下分組：第一組含一個數(shù)；第二組含兩個數(shù)；第三組含三個數(shù)；第四組含四個數(shù)；…，試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的編號數(shù)有什么關(guān)系（）Ａ．等于

Ｂ．等于Ｃ．等于

Ｄ．等于參考答案：B略4.是的什么條件(

)A.充分必要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分與不必要參考答案：A5.函數(shù)的定義域為，對任意則的解集為

A．

B．（，+）

C．（，）D．（，+）參考答案：D略6.在三棱錐A﹣BCD中AB=AC=1，DB=DC=2，AD=BC=，則三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為（）A．π B． C．4π D．7π參考答案：D【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】建立坐標系，求出外接球的球心，計算外接球的半徑，從而得出外接球面積．【解答】解：∵AB=AC=1，AD=BC=，BD=CD=2，∴AB⊥AD，AC⊥AD，∴AD⊥平面ABC，在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC==﹣，∴∠ABC=120°，以AC為x軸，以AD為z軸建立如圖所示的坐標系：則A（0，0，0），B（﹣，，0），C（1，0，0），D（0，0，），設(shè)棱錐A﹣BCD的外接球球心為M（x，y，z），則x2+y2+z2=（x+）2+（y﹣）2+z2=（x﹣1）2+y2+z2=x2+y2+（z﹣）2，解得x=，y=，z=，∴外接球的半徑為r==．∴外接球的表面積S=4πr2=7π．故選D．7.直線，橢圓，直線與橢圓的公共點的個數(shù)為（

）

A

1個

B

1個或者2個

C

2個

D

0個參考答案：C8.在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈”．這首古詩描述的這個寶塔古稱浮屠，本題說它一共有7層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，問塔頂有幾盞燈？你算出頂層有（）盞燈．A．2 B．3 C．5 D．6參考答案：B【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意知第七層至第一層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個以a為首項，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：設(shè)第七層有a盞燈，由題意知第七層至第一層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個以a為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴由等比數(shù)列的求和公式可得=381，解得a=3，∴頂層有3盞燈，故選：B．9.四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（）A．4π B．12π C．16π D．32π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】取CD的中點E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．【解答】解：取CD的中點E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．【點評】本題考查球的內(nèi)接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵．10.如圖，已知橢圓的左、右準線分別為、，且分別交軸于、兩點，從上一點發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點被軸反射后與交于點，若且，則橢圓的離心率等于

（

）A. B.

C.

D.

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則不等式的解集是

。參考答案：∵，若，則若，則∴不等的解集是．

12.如圖，直三棱柱中，，，則該三棱柱的側(cè)面積為

。參考答案：13.如圖,二面角的大小是60°，線段，，與所成的角為30°則與平面所成的角的正弦值是_________.參考答案：14.已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f（x）=

（a為小于0的常數(shù)）設(shè)x1＜x2且f′（x1）=f′（x2），若x2﹣x1的最小值大于5，則a的范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣4）【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，作出圖象，再求出與直線y=﹣2x+a平行的直線與函數(shù)y=的切點的坐標，則答案可求．【解答】解：由f（x）=，得．作出導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖：設(shè)與直線y=﹣2x+a平行的直線與函數(shù)y=的切點為P（）（x0＞0），由y=，得y′=，則=﹣2，解得x0=1，則，∴x2=1，在直線y=﹣2x+a中，取y=4，得．由x2﹣x1=1﹣＞5，得a＜﹣4．∴a的范圍是（﹣∞，﹣4）．故答案為：（﹣∞，﹣4）．15.觀察下圖：12343456745678910……則第________行的各數(shù)之和等于20112參考答案：100616.已知展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則等于____.參考答案：6略17.如果對任意一個三角形，只要它的三邊都在函數(shù)的定義域內(nèi)，就有也是某個三角形的三邊長，則稱為“和美型函數(shù)”.現(xiàn)有下列函數(shù)：①；

②；

③.其中是“和美型函數(shù)”的函數(shù)序號為

.（寫出所有正確的序號）參考答案：①③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點A（4，0），直線l：y=2x﹣4，設(shè)圓C的半徑為1，且圓心C在l上．（1）若CO=CA，O為坐標原點，求圓C的方程；（2）若圓心C在直線y=x﹣1上，過點A作圓C的切線，求切線方程．參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由CO=CA，得到點C在線段OA的中垂線上，根據(jù)C在l上確定出C坐標，再由已知半徑確定出圓C的標準方程即可；（2）聯(lián)立l與已知直線求出C坐標，根據(jù)A坐標設(shè)切線方程為y=k（x﹣4），根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑求出k的值，即可確定出切線方程．【解答】解：（1）∵CO=CA，∴點C在OA的中垂線x=2上，又C在y=2x﹣4，∴C（2，0），∵圓C的半徑為1，∴圓的方程為C：（x﹣2）2+y2=1；（2）聯(lián)立得：，解得：，即C（3，2），設(shè)切線為y=k（x﹣4），依題意有，解得：k=﹣，此時切線方程為3x+4y﹣12=0，當(dāng)切線斜率不存在時：x=4也適合，則所求切線的方程為3x+4y﹣12=0或x=4．19.分別求滿足下列條件的直線l方程．（1）將直線l1：y=x+1繞（0，1）點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線l；（2）直線l過直線l1：x+3y﹣1=0與l2：2x﹣y+5=0的交點，且點A（2，1）到l的距離為2．參考答案：【考點】直線的一般式方程．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（2）設(shè)直線l為x+3y﹣1+λ（2x﹣y+5）=0，化成一般式再利用點到直線的距離公式，建立關(guān)于λ的方程解出λ=或﹣4，由此即可得到所求直線l的方程．【解答】解：（1）∵直線l1的傾斜角為，將直線l1逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線l；∴直線l的傾斜角應(yīng)為，所以直線l的斜率k=，又∵直線l過（0，1），∴直線l的方程為：y﹣1=x，即x﹣y+1=0．（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l為x+3y﹣1+λ（2x﹣y+5）=0，整理得（2λ+1）x+（3﹣λ）y﹣1+5λ=0，∵點A（2，1）到l的距離為2，∴=2，解之得λ=或﹣4，所以直線l方程為x+y+1=0或x﹣y+3=0．【點評】本題給出直線l滿足的條件，求直線l的方程，著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．20.如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥底面ABCD，，且．（1）證明：直線BD∥平面PCE；（2）證明：平面PAC⊥平面PCE；（3）若直線PC與平面ABCD所成的角為45°，求二面角的余弦值．參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）連接，交于，設(shè)中點為，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，由此證得平面.（2）通過證明，證得平面，由此證得平面，進而有平面平面.（3）以點或者點建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD，交AC于點O，設(shè)PC中點為F，連接OF，EF.因為O，F(xiàn)分別為AC，PC的中點，所以，且，因，且，所以，且，所以四邊形OFED為平行四邊形，所以，即，又平面，面，所以面；（2）因為平面，平面，所以.因為是菱形，所以.因為，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面

；（3）解法1：因為直線與平面所成角為，所以，所以，所以，故△為等邊三角形.設(shè)BC的中點為M，連接AM，則.以A為原點，AM，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖）.則，，設(shè)平面PCE的法向量為，則,即，令則所以

，設(shè)平面CDE的法向量為，則即，令則所以

，設(shè)二面角的大小為，由于為鈍角，所以．所以二面角的余弦值為．解法2：因為直線與平面所成角為，且平面，所以，所以．因為，所以為等邊三角形．因為平面，由（1）知，所以平面．因為平面，平面，所以且．在菱形中，．以點為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系（如圖）．則，則，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，則法向量．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則則法向量．設(shè)二面角的大小為，由于為鈍角，則．所以二面角的余弦值為．【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查利用空間向量法求二面角的余弦值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

21.如圖，在直三棱柱中，，點D是AB的中點，求證：（1）（2）平面

參考答案：證明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，又由于AC平面ABC，所以CC1⊥AC.又因為AC⊥BC

BC平面BCC1B1

CC1平面BCC1B1

BC1CC1=