第一章計(jì)數(shù)原理章末小結(jié)課件

第一章計(jì)數(shù)原理章末小結(jié)

第一章1

計(jì)數(shù)原理

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1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，應(yīng)準(zhǔn)確進(jìn)行“分類”，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)：每一種方法必屬于某一類(不漏)，任何不同類的兩種方法是不同的方法(不重)，每一類中的每一種方法都能獨(dú)立地“完成這件事情”．(2)應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，應(yīng)準(zhǔn)確理解“分步”的含義，完成這件事情，需要分成若干步驟，“步”與“步”之間是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可，但也不能重復(fù)、交叉。只有每個(gè)步驟都完成了，這件事情才能完成．1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理3（3)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的主要作用是計(jì)數(shù)，應(yīng)用時(shí)要考慮以下三方面的問題：①要做什么事；②如何去做這件事；③怎樣才算把這件事完成了．并注意計(jì)數(shù)原則：分類用加法，分步用乘法．2．排列

排列定義特別強(qiáng)調(diào)了按“一定順序”排成一列，就是說，取出的元素不同一定是不相同的排列，即使元素相同，順序不同，也不是相同的排列．在具體問題中先要分清是“有序”還是“無序”的問題．（3)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的主要作用是計(jì)數(shù)，應(yīng)用時(shí)要考慮以下三方面的4

3．組合(1)組合的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是取出“元素”，二是“并成一組”，即表示與順序無關(guān)．(2)只有兩個(gè)組合中的元素不完全相同才是不同的組合．

4．解決排列組合問題的關(guān)鍵是分清問題是否與“順序”有關(guān)，與順序有關(guān)是排列問題，與順序無關(guān)是組合問題。

5．解決排列組合問題常用的策略

1）特殊元素,特殊位置優(yōu)先安排策略;2）正難則反間接處理的策略；3）相鄰問題捆綁處理的策略;4）不相鄰問題插空處理的策略;5）定序問題、平均分組問題除法處理的策略;3．組合4．解決排列組合問題5第一章6

(3)二項(xiàng)式及其展開式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)恒等式，無論x取什么值，左、右兩邊代數(shù)式的值總對(duì)應(yīng)相等．通常利用這一點(diǎn)，分析x取何值時(shí)，展開式等于所求式，再將此x值代入左側(cè)的二項(xiàng)式，就可以得出結(jié)果，這種處理方法叫做賦值法．(4)解決與二項(xiàng)展開式的項(xiàng)有關(guān)的問題時(shí)，通常利用通項(xiàng)公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)．因此，掌通項(xiàng)公式是解決問題的關(guān)鍵。(3)二項(xiàng)式及其展開式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)恒等式，無論7第一章8第一章9例2.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，a∈{1，2，3，4，5，6，7}，b∈{1，2，3，4,5},則這樣的橢圓共有（）個(gè).A.35B.25C.21D.20解析：a、b的一種取法對(duì)應(yīng)一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程，當(dāng)a取2時(shí)，b只能取1，有1種取法；當(dāng)a取3時(shí)，b只能1，2中取1個(gè)，有2種取法；當(dāng)a取4時(shí)，b只能1，2，3中取1個(gè)，有3種取法；當(dāng)a取5時(shí)，b只能1，2，3，4中取1個(gè)，有4種取法；當(dāng)a取6時(shí)，b只能1，2，3，4，5中取1個(gè)，有5種取法；當(dāng)a取7時(shí)，b只能1，2，3，4，5中取1個(gè)，有5種取法；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有1+2+3+4+5+5=20種取法，即20個(gè)滿足條件的橢圓，故選D.例2.設(shè)橢圓101．甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多

站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同站法的種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．解析：正面考慮，問題較復(fù)雜，不易解決，若從反面考慮，即先不考慮“每級(jí)臺(tái)階最多站2人”的情況．因?yàn)榧?、乙、?人站這7級(jí)臺(tái)階，每人都有7種不同的站法，因此共有73種不同的站法，而3人同站在一級(jí)臺(tái)階的站法有7種，是不符合題意的．所以滿足條件的不同站法的種數(shù)是73－7＝336.答案3361．甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站112．設(shè)集合I＝{1,2,3,4,5}，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有多少種？解：當(dāng)A＝{1}時(shí)，B為{2,3,4,5}的非空子集即可，有15個(gè)．當(dāng)A中最大數(shù)為2(有2個(gè))時(shí)，則B有7個(gè)．當(dāng)A中的最大數(shù)為3(有4個(gè))時(shí)，則B有3個(gè)；當(dāng)A中最大數(shù)為4(有8個(gè))時(shí)，B＝{5}，故共有15＋2×7＋4×3＋8＝49(種)不同的選擇方法．2．設(shè)集合I＝{1,2,3,4,5}，選擇I的兩個(gè)非空子集A12例3．從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，組

成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)答案：300解析：符合條件的四位數(shù)的個(gè)位必須是0或5，另外0不能排在首位，因此分為三類：①選0不選5，有(個(gè))；②選5不選0，有(個(gè))；③0和5都選，

(個(gè))．由分類加法計(jì)數(shù)原理，所求四位數(shù)共有72＋108＋120＝300(個(gè))．例3．從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中13

[例4]

由1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)排成一遞增數(shù)列，則首項(xiàng)為12345，第2項(xiàng)12354，…直到末項(xiàng)(第120項(xiàng))是54321.問：(1)43251是第幾項(xiàng)？(2)第93項(xiàng)是怎樣的一個(gè)五位數(shù)？[例4]由1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字組成沒有14第一章153.

五位老師和五名學(xué)生站成一排：(1)五名學(xué)生必須排在一起共有多少種排法；(2)五名學(xué)生不能相鄰共有多少種排法；(3)老師和學(xué)生相間隔共有多少種排法．[解]

(1)先將五名學(xué)生“捆綁”在一起看作一個(gè)與五位老師排列有

種排法，五名學(xué)生再內(nèi)部全排列有

種，故共有

＝86400種排法．3.五位老師和五名學(xué)生站成一排：16第一章174，一段樓梯共有17個(gè)臺(tái)階，某人一步可以上一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，11步走完，共有多少種不同的走法？解：11步走完，則需用5步走一個(gè)臺(tái)階，6步走兩個(gè)臺(tái)階。問題等價(jià)于在11個(gè)位置填入5個(gè)1（一步）6個(gè)2（兩步）有多少填法的問題，所以有5．馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？

解：（插空法）本題等價(jià)于在7只亮著的路燈之間的6個(gè)空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法4，一段樓梯共有17個(gè)臺(tái)階，某人一步可以上一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，1186．(2012·四川高考)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有 (

)A．60條 B．62條C．71條 D．80條6．(2012·四川高考)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，19答案：B答案：B207．(1)一條長椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少有2個(gè)空椅子，共有幾種不同的坐法？(2)一條長椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有多少種不同的坐法？7．(1)一條長椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少21第一章22答案：D答案：D23第一章24

如圖在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，記其前n項(xiàng)和為Sn，求S19的值．【例6】如圖在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開25第一章26第一章27第一章28(4)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64.令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4096.兩式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4160，所以a6＋a4＋a2＋a0＝2080.[答案]

(1)C

(2)B

(3)B

(4)2080(4)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝29答案：B答案：B3010．在(1－3x)12的展開式中，求：(1)各項(xiàng)二