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三角形中線、角平分線定理總結(jié)

三角形中線、角平分線定理總結(jié)三角形中線定理，也稱為阿波羅尼斯定理，是歐幾里得幾何中的一個(gè)定理，用于描述三角形三邊和中線之間的長(zhǎng)度關(guān)系。該定理可以用文字、符號(hào)和圖像語(yǔ)言來(lái)表述，其中符號(hào)語(yǔ)言的表述方式最為簡(jiǎn)潔明了。阿波羅尼斯是古希臘三大數(shù)學(xué)家之一，他的著作《圓錐曲線論》詳細(xì)討論了圓錐曲線的性質(zhì)，其中阿波羅尼斯圓是一個(gè)著名問(wèn)題。他與歐幾里德、阿基米德一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家。角平分線定理是另一個(gè)重要的三角形定理，其中包含兩個(gè)定理。第一個(gè)定理表述了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，第二個(gè)定理表述了角平分線與對(duì)邊所成的線段之間的比例關(guān)系。這兩個(gè)定理可以用簡(jiǎn)單的圖示證明。舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于三角形ABC，如果已知角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且已知以下等式成立：(a2+b2-c2)(2sinA-sinB)=(a2+c2-b2)sinB則可以求出角C的度數(shù)，并進(jìn)一步求出三角形ABC的面積。已知角AD是角BAC的平分線，DE垂直于AB，DF垂直于AC，因此根據(jù)定理1可得DE=DF。又因?yàn)镾△ABD=1/2AB·DE，S△ACD=1/2AC·DF，所以S△ABD:S△ACD=AB:AC。通過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線AG，垂足為G，再根據(jù)S△ABD=1/2BD·AG，S△ACD=1/2CD·AG，所以S△ABD:S△ACD=BD:CD。綜合可得AB:AC=BD:CD。根據(jù)角平分線長(zhǎng)定理可得AD2=AB·AC-BD·CD。例如在△ABC中，已知AD是角BAC的平分線，BD=2/3·AB，CD=2/3·AC，則AD2=AB·AC-4/9·AB·AC=5/9·AB·AC。對(duì)于例2，已知△ABC中，S=b2sinA，求c/b的值和b的值。首先可以得到c=2b，因此c/b=2。又因?yàn)锳D是角BAC的平分線，所以根據(jù)角平分線定理可得BD=2/3·AB，CD=2/3·AC，又已知AD=1/2·AC，因此可以得到AB=3。將這些值代入cosB=2c2/(a2+c2-b2)中，可以得到cosB=4/5。再在△ABD中應(yīng)用余弦定理，可

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