關(guān)于二項(xiàng)分布與超幾何分布問(wèn)題區(qū)別舉例

PAGEPAGE4關(guān)于“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”問(wèn)題舉例一．基本概念1.超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件X=k發(fā)生的概率為：P(X=k)=,k=0,1,2,3,,m；其中，m=minM,n,且nN,MN.n,M,NN為超幾何分布；如果一個(gè)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨幾變量X服從超幾何分布.其中，EX=neq\f(M,N)2.二項(xiàng)分布neq\f(M,N).“超幾何分布”和“二項(xiàng)分布”的這種“巧合”，使得“超幾何分布”期望的計(jì)算大簡(jiǎn)化.共同點(diǎn)：每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗。不同點(diǎn)：1、超幾何分布是不放回抽取，二項(xiàng)分布是放回抽?。?、超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”；聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布。因此，二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣．所以，在解有關(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問(wèn)題時(shí)，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的．二．典型例題例1：袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．求：（1）有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｘ的分布列；（2）不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Ｘ可能的取值為０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則．；；；．因此，的分布列為0123（2）．不放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Ｙ可能的取值為０，1，2，且有：；；．因此，的分布列為012例2.在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率.(2)記：X表示“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的數(shù)量”，求X的分布列并求EX;分析：由題可知：從10件產(chǎn)品中分別任取兩次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一種不放回抽樣;隨機(jī)變量X服從超幾何分布.解：(1)記A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A1)=eq\f(C33,C103)=eq\f(1,120),P(A2)=eq\f(C32C71,C103)=eq\f(7,40),P(A3)=eq\f(C31C72,C103)=eq\f(3,40);所以，P=P(A1)+P(A2)+P(A3)=eq\f(31,120).(2)X=0，1，2，3;X服從超幾何分布，所以P(X=0)=P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)==eq\f(3,10);P(X=1)=P（二件一等品，一件二等品）==eq\f(1,10);P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)==eq\f(1,30);P(X=3)=P（三件一等品，零件二等品）==eq\f(1,120);EX=eq\f(nM,N)=eq\f(33,10)=0.9說(shuō)明：謹(jǐn)防錯(cuò)誤地認(rèn)為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即：XB(3,eq\f(31,120)).例3.從某高中學(xué)校隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)檢查得到每位學(xué)生的視力，其中“好視力”4人,以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的整體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.分析：本題就是從“該校（人數(shù)很多）任選3人”，由此得到“好視力”人數(shù)X，若每次從該校任取一名學(xué)生為“好視力”這一事件的概率顯然是相等的，因?yàn)樵撔！叭藬?shù)很多”相當(dāng)于“有放回抽樣”，因此，隨機(jī)變量X服從“二項(xiàng)分布”而不是“超幾何分布”.解：由題可知：X=0,1,2,3；由樣本估計(jì)總體，每次任取一人為“好視力”的概率為：P=eq\f(4,16)=eq\f(1,4)，則XB(3,eq\f(1,4));P(X=0)=C30(eq\f(1,4))0(1-eq\f(1,4))3-0=eq\f(27,64);P(X=1)=C31(eq\f(1,4))1(1-eq\f(1,4))3-1=eq\f(27,64);P(X=2)=C32(eq\f(1,4))2(1-eq\f(1,4))3-2=eq\f(9,64);P(X=3)=C33(eq\f(1,4))3(1-eq\f(1,4))3-3=eq\f(1,64);EX=3×eq\f(1,4)=eq\f(3,4).說(shuō)明：假設(shè)問(wèn)題變?yōu)椋骸皬?6名學(xué)生中任取3名，記X表示抽到