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2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知與之間的一組數(shù)據(jù)如表,若與的線性回歸方程為,則的值為A.1 B.2 C.3 D.42.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則()A. B. C. D.3.設(shè)a,b,c為的內(nèi)角所對(duì)的邊,若,且,那么外接圓的半徑為A.1 B. C.2 D.44.的弧度數(shù)是()A. B. C. D.5.若直線上存在點(diǎn)滿足則實(shí)數(shù)的最大值為A. B. C. D.6.在下列結(jié)論中,正確的為()A.兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量,其終點(diǎn)必相同B.向量與向量的長(zhǎng)度相等C.向量就是有向線段D.零向量是沒有方向的7.從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的事件是()A.至少有一個(gè)紅球與都是紅球B.至少有一個(gè)紅球與都是白球C.恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球D.至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球8.直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A.255 B.4559.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊的項(xiàng)是()A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a410.在等比數(shù)列中,,,則等于()A.256 B.-256 C.128 D.-128二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若,則__________.12.某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)(萬元)與倉庫到車站的距離(公里)成反比.而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)(萬元)與倉庫到車站的距離(公里)成正比.如果在距車站公里處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為萬元和萬元,由于地理位置原因.倉庫距離車站不超過公里.那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,最少的費(fèi)用為_____萬元.13.P是棱長(zhǎng)為4的正方體的棱的中點(diǎn),沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程是_______.14.函數(shù)的定義域?yàn)開_________;15.已知樣本數(shù)據(jù)的方差是1,如果有,那么數(shù)據(jù),的方差為______.16.函數(shù)的初相是__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知,,,均為銳角,且.(1)求的值;(2)若,求的值.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中為單位向量.(Ⅰ)若//,求的坐標(biāo);(Ⅱ)若與垂直,求與的夾角.20.某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);21.如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】
先求出樣本中心點(diǎn),代入回歸直線方程,即可求得的值,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),可得,又由回歸直線方程過樣本中心點(diǎn),所以,解得,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性回歸直線方程的應(yīng)用,其中解答中熟記線性回歸直線方程的基本特征是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
先由角的終邊過點(diǎn),求出,再由二倍角公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),所以,因此.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義,以及二倍角公式,熟記三角函數(shù)的定義與二倍角公式即可,屬于??碱}型.3、A【解析】
由得b2+c2-a2=bc.利用余弦定理,可得A=.再利用正弦定理可得2R=,可得R.【詳解】∵,∴,整理得b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理cosA=,可得cosA=∵A∈(0,π),∴A=由正弦定理可得2R==,解得R=1,故選A【點(diǎn)睛】已知三邊關(guān)系,可轉(zhuǎn)化為接近余弦定理的形式,直接運(yùn)用余弦定理理解三角形,注意整體代入思想.4、B【解析】
由角度與弧度的關(guān)系轉(zhuǎn)化.【詳解】-150.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查角度與弧度的互化,解題關(guān)鍵是掌握關(guān)系式:.5、B【解析】
首先畫出可行域,然后結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)平移直線即可確定實(shí)數(shù)m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示,由,得:,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),平移直線x=m,移到C點(diǎn)或C點(diǎn)的左邊時(shí),直線上存在點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi),所以,m≤-1,即實(shí)數(shù)的最大值為-1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應(yīng)用,屬于中等題.6、B【解析】
逐一分析選項(xiàng),得到答案.【詳解】A.單位向量的方向任意,所以當(dāng)起點(diǎn)相同時(shí),終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心的單位圓上,終點(diǎn)不一定相同,所以選項(xiàng)不正確;B.向量與向量是相反向量,方向相反,長(zhǎng)度相等,所以選項(xiàng)正確;C.向量是既有大小,又有方向的向量,可以用有向線段表示,但不能說向量就是有向線段,所以選項(xiàng)不正確;D.規(guī)定零向量的方向任意,而不是沒有方向,所以選項(xiàng)不正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本概念,屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解析】
從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,不同的取球情況共有以下幾種:3個(gè)球全是紅球;2個(gè)紅球和1個(gè)白球;1個(gè)紅球2個(gè)白球;3個(gè)全是白球.選項(xiàng)A中,事件“都是紅球”是事件“至少有一個(gè)紅球”的子事件;選項(xiàng)B中,事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“都是白球”是對(duì)立事件;選項(xiàng)D中,事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“至少有一個(gè)白球”的事件為“2個(gè)紅球1個(gè)白球”與“1個(gè)紅球2個(gè)白球”;選項(xiàng)C中,事件“恰有一個(gè)紅球”與事件“恰有2個(gè)紅球”互斥不對(duì)立,故選C.8、C【解析】
先求出圓心到直線的距離d,然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式l=2r【詳解】由題意得,圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C.【點(diǎn)睛】求圓的弦長(zhǎng)有兩種方法:一是求出直線和圓的交點(diǎn)坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解;二是利用幾何法求解,即求出圓心到直線的距離,在由半徑、弦心距和半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形中運(yùn)用勾股定理求解,此時(shí)不要忘了求出的是半弦長(zhǎng).在具體的求解中一般利用幾何法,以減少運(yùn)算、增強(qiáng)解題的直觀性.9、C【解析】
在驗(yàn)證時(shí),左端計(jì)算所得的項(xiàng),把代入等式左邊即可得到答案.【詳解】解:用數(shù)學(xué)歸納法證明,
在驗(yàn)證時(shí),把當(dāng)代入,左端.
故選:C.【點(diǎn)睛】此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式的問題,屬于概念性問題.10、A【解析】
先設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)?,,所以,因?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的計(jì)算,熟記通項(xiàng)公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、;【解析】
把分子的1換成,然后弦化切,代入計(jì)算.【詳解】.故答案為-1.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值.解題關(guān)鍵是“1”的代換,即,然后弦化切.12、8.2【解析】
設(shè)倉庫與車站距離為公里,可得出、關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值.【詳解】設(shè)倉庫與車站距離為公里,由已知,.費(fèi)用之和,求中,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)時(shí),取得最小值萬元,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙勾函數(shù)求最值,解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式,再利用基本不等式求最值時(shí),若等號(hào)取不到時(shí),可利用相應(yīng)的雙勾函數(shù)的單調(diào)性來求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.13、【解析】
從圖形可以看出圖形的展開方式有二,一是以底棱BC,CD為軸,可以看到此兩種方式是對(duì)稱的,所得結(jié)果一樣,另外一種是以側(cè)棱為軸展開,即以BB1,DD1為軸展開,此兩種方式對(duì)稱,求得結(jié)果一樣,故解題時(shí)選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗(yàn)證即可【詳解】由題意,若以BC為軸展開,則AP兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為4,6,故兩點(diǎn)之間的距離是若以BB1為軸展開,則AP兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為2,8,故兩點(diǎn)之間的距離是故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程是cm故答案為【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,求解的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意把求幾何體表面上兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)移到平面中來求14、【解析】
根據(jù)偶次被開方數(shù)大于等于零,分母不為零,列出不等式組,解出即可.【詳解】依題意可得,,解得即,故函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法,涉及三角不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】
利用方差的性質(zhì)直接求解.【詳解】根據(jù)題意,樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差是1,則有,對(duì)于數(shù)據(jù),其平均數(shù)為,其方差為,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法,考查方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)函數(shù)的解析式即可求出函數(shù)的初相.【詳解】,初相為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查的物理意義,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)計(jì)算表達(dá)出,再根據(jù),兩邊平方求化簡(jiǎn)即可求得.(2)根據(jù),再利用余弦的差角公式展開后分別計(jì)算求解即可.【詳解】(1)由題意,得,,,,.(2),,均為銳角,仍為銳角,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)向量的數(shù)量積列出關(guān)于三角函數(shù)的等式,再利用三角函數(shù)中的和差角以及湊角求解的方法.屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】試題分析:(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差表示,解方程組可求得基本量的值,從而確定通項(xiàng)公式;(2)首先化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式,結(jié)合特點(diǎn)采用分組求和法求解試題解析:(1)∵數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和,.∴,解得,∴.(2)∵,考點(diǎn):數(shù)列求通項(xiàng)公式及數(shù)列求和19、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設(shè),根據(jù)向量的模和共線向量的條件,列出方程組,即可求解.(Ⅱ)由,根據(jù)向量的運(yùn)算求得,再利用向量的夾角公式,即可求解.【詳解】(Ⅰ)設(shè)由題則有解得或,.(Ⅱ)由題即,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,共線向量的條件及向量的夾角公式的應(yīng)用,其中解答中熟記向量的基本概念和運(yùn)算公式,合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)0.4;(Ⅱ)20.【解析】
(1)首先可以根據(jù)頻率分布直方圖得出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率,然后算出樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率,最后計(jì)算出分?jǐn)?shù)小于的概率;(2)首先計(jì)算出樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率,然后計(jì)算出分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù),最后計(jì)算出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)?!驹斀狻浚?)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率為.所以從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其分?jǐn)?shù)小于的概率估計(jì)為。(2)根據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為,分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為,所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為?!军c(diǎn)睛】遇到頻率分布直方圖問題時(shí)需要注意:在頻率分布直方圖中,小矩形的高表示頻率/組距,而不是頻率;利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí),應(yīng)注意三點(diǎn):①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的;③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。21、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取PD中點(diǎn)G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證
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