高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.4棱錐與棱臺(tái)學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

11．1.4棱錐與棱臺(tái)課程標(biāo)準(zhǔn)1.認(rèn)識(shí)棱錐、棱臺(tái)及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道棱錐、棱臺(tái)的表面積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一1．棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義有一個(gè)面是________，其余各面都是有一個(gè)________的三角形，由這些面圍成的多面體圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面?zhèn)让妫河衉_______的各個(gè)三角形面?zhèn)壤猓合噜弮蒧_______的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的________分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐j、四棱錐……2.正棱錐及有關(guān)概念(1)正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個(gè)棱錐為正棱錐．(2)側(cè)面性質(zhì)：正棱錐的側(cè)面都全等，而且都是等腰三角形．(3)正棱錐的斜高：側(cè)面等腰三角形底邊上的高．狀元隨筆有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？[提示]未必是棱錐．如圖所示的幾何體，滿足各面都是三角形，但這個(gè)幾何體不是棱錐，因?yàn)樗粷M足條件“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”．知識(shí)點(diǎn)二1．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用一個(gè)________于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的________下底面：原棱錐的________側(cè)面：除上下底面以外的面?zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的________頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)分類按由幾棱錐截得分：三棱臺(tái)、四棱臺(tái)……2.正棱臺(tái)及有關(guān)概念(1)正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái)．(2)正棱臺(tái)的高：上下底面中心的連線．(3)側(cè)面性質(zhì)：正棱臺(tái)的側(cè)面都全等，而且都是等腰梯形．(4)正棱臺(tái)的斜高：側(cè)面等腰梯形的高．狀元隨筆棱臺(tái)的各側(cè)棱是什么關(guān)系？各側(cè)面是什么樣的多邊形？?jī)蓚€(gè)底面是什么關(guān)系？[提示]棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，各側(cè)面是梯形，兩個(gè)底面是相似的多邊形．基礎(chǔ)自測(cè)1．棱錐的側(cè)面和底面可以都是()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形2．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有一個(gè)底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐．()(2)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等．()(3)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形．()(4)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形．()3．下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是()4．四棱臺(tái)的四條側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則這個(gè)棱臺(tái)()A．是正棱臺(tái)B．不可能是正四棱臺(tái)C．為底面四邊形具有外接圓的棱臺(tái)D．為底面四邊形是正方形的棱臺(tái)課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1棱錐、棱臺(tái)的概念及多面體的表面展開圖例1(1)下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法中，正確說法的序號(hào)是________．①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；③棱錐的側(cè)面只能是三角形；④棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．(2)有下列幾個(gè)命題：①底面是正多邊形的棱錐，一定是正棱錐；②所有側(cè)棱相等的棱錐一定是正棱錐；③正棱錐的棱都相等；④側(cè)棱長(zhǎng)相等，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐，一定是正棱錐．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3方法歸納1．判斷一個(gè)幾何體是何種幾何體，一定要緊扣棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，注意概念中的特殊字眼，切不可馬虎大意，如棱柱的概念中的“相鄰”，棱錐的概念中的“公共頂點(diǎn)”，棱臺(tái)的概念中的“棱錐”“平行”等．2．多面體展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．(2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個(gè)幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開圖．跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖是三個(gè)幾何體的側(cè)面展開圖，請(qǐng)問各是什么幾何體？可將展開圖沿虛線折起來，便得到原幾何體，再結(jié)合結(jié)構(gòu)特征判斷為何種幾何體．(2)有下列幾個(gè)命題：①各個(gè)側(cè)面是等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；②棱錐的所有側(cè)面可能是直角三角形；③四棱錐中側(cè)面最多有四個(gè)直角三角形．其中真命題有________．(3)下列四個(gè)命題：①棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)；②上、下底面為相似的正多邊形的棱臺(tái)一定是正棱臺(tái)；③用一個(gè)平面去截棱錐，夾在底面和截面間的幾何體是棱臺(tái)；④棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)之比等于棱臺(tái)的高與截得此棱臺(tái)的棱錐的高之比．其中真命題是________．(填寫正確命題的序號(hào))題型2幾何體的計(jì)算問題【思考探究】1.計(jì)算正三棱錐中底面邊長(zhǎng)，斜高，高時(shí)，通常是將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？[提示]常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到邊的距離構(gòu)成的三角形，②由高、側(cè)棱和底面中心與底面頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形．2．其他正棱錐的計(jì)算是否與正三棱錐計(jì)算用同樣的方法？[提示]是．3．正棱臺(tái)中的計(jì)算呢？[提示]根據(jù)正棱錐與正棱臺(tái)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化到直角梯形中求解．正三棱錐?側(cè)棱、高和底面三角形外接圓半徑組成直角三角形?勾股定理求解．例2(1)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為23，求正三棱錐的高；(2)如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′的高是17cm，上、下兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高．跟蹤訓(xùn)練2(1)將本例(1)中“側(cè)棱長(zhǎng)為23”，改為“斜高為23”，則結(jié)論如何？(2)將本例(1)中“三棱錐”改為“四棱錐”，如何解答？(3)正三棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為3，6，高為1，求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高．方法歸納1．正棱錐中的直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高PO，底面為正方形，作PE⊥CD于E，則PE為斜高．(1)斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△PEC.(2)斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POE.(3)側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POC.2．正棱臺(tái)中的直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺(tái)如圖(以正四棱臺(tái)為例)，O1，O分別為上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，則E1E為斜高，(1)斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1.(2)斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO.(3)高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1.題型3幾何體的表面積例3(1)已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，高與斜高夾角為30°.求它的側(cè)面積和表面積．(2)正四棱臺(tái)的高是12cm，兩底面邊長(zhǎng)相差10cm，表面積是512cm2，則兩底面的邊長(zhǎng)分別是________．狀元隨筆(1)根據(jù)多面體的側(cè)面積公式，可以先求出相應(yīng)多面體的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)面的斜高，進(jìn)而由公式求解．(2)棱臺(tái)的表面積等于它各個(gè)面的面積之和，且各個(gè)側(cè)面是全等的等腰梯形．方法歸納(1)要求錐體的側(cè)面積及表面積，要利用已知條件尋求公式中所需的條件，一般用錐體的高、斜高、底面邊心距等量組成的直角三角形求解相應(yīng)的量．(2)空間幾何體的表面積運(yùn)算，一般是轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算，往往通過解三角形來完成．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為4cm，它的側(cè)棱與高所成的角為45°，求正三棱錐的表面積．(2)已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為1和2，其側(cè)面積恰好等于兩底面面積之和，則該正四棱臺(tái)的高為________．教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解并掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征，難點(diǎn)是在描述和判斷幾何體結(jié)構(gòu)特征的過程中培養(yǎng)觀察能力和空間想象能力．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征的解題策略．(2)判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的方法．(3)繪制展開圖和由展開圖還原幾何體的方法．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及其關(guān)系中出現(xiàn)偏差而致錯(cuò)．11．1.4棱錐與棱臺(tái)新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一1．多邊形公共頂點(diǎn)公共頂點(diǎn)側(cè)面公共頂點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二1．平行截面底面公共邊[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：棱錐的側(cè)面都是三角形，所以底面和側(cè)面相同只能是三角形．答案：A2．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×3．解析：棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于同一點(diǎn)，故C正確．答案：C4．解析：取一個(gè)四條側(cè)棱都相同的四棱錐，其底面可以是正方形，也可以不是正方形，將棱錐截成棱臺(tái)，從而棱臺(tái)的側(cè)棱都相等，但該棱臺(tái)可能是正四棱臺(tái)，也可能不是正四棱臺(tái)，因此A，B，D都錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于四條側(cè)棱相等，則每個(gè)側(cè)面都是等腰梯形，截得此棱臺(tái)的棱錐的各側(cè)面都是等腰三角形，故各側(cè)棱相等，從而頂點(diǎn)在底面的射影到底面各頂點(diǎn)等距．答案：C課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)①錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)；②正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；③正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；④正確，棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)；⑤錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐．(2)由正棱錐的定義可知：①缺少“各側(cè)面全等”這個(gè)條件，故不能得到正棱錐，所以①是假命題；側(cè)棱都相等時(shí)，底面可以不是正多邊形，比如一個(gè)三棱錐，側(cè)棱都相等，但側(cè)棱的夾角不相等，因此底面邊長(zhǎng)不相等，不是正三棱錐，所以②是假命題；棱錐的棱包括側(cè)棱和底棱，正棱錐的側(cè)棱都相等，底棱也相等，但側(cè)棱和底棱可能不相等，所以③是假命題；④符合正棱錐的定義，所以④是真命題．【答案】(1)②③④(2)B跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)由幾何體的側(cè)面展開圖的特點(diǎn)，結(jié)合棱柱，棱錐，棱臺(tái)的定義，可把側(cè)面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái)．(2)四棱錐P-ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，底面ABCD為菱形，但不是正方形，這樣的棱錐就不是正四棱錐，因此①是假命題；三棱錐P-ABC中，PA垂直于平面ABC，∠ABC＝90°，它的所有側(cè)面都是直角三角形，故②是真命題；在四棱錐P-ABCD中，PA垂直于平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，這樣的四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，故③是真命題．(3)真命題是①.根據(jù)棱臺(tái)的定義，棱臺(tái)是由一個(gè)棱錐以一個(gè)平行于底面的平面所截得的幾何體，因此延長(zhǎng)棱臺(tái)的各條側(cè)棱可還原成一個(gè)棱錐，故棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故①為真命題．底面相似但側(cè)棱可以不相等，這樣的棱臺(tái)不是正棱臺(tái)，故②是假命題．去截棱錐的平面如果與底面不平行，截得的幾何體不是棱臺(tái)，故③是假命題．根據(jù)平面幾何知識(shí)，棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)的比應(yīng)該等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高的比，故④是假命題．綜合上述，真命題只有①.答案：(1)見解析(2)②③(3)①例2【解析】(1)作出正三棱錐如圖，SO為其高，連接AO，作OD⊥AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．在Rt△ADO中，AD＝32∠OAD＝30°，故AO＝32cos∠在Rt△SAO中，SA＝23，AO＝3，故SO＝SA2-AO2(2)設(shè)棱臺(tái)兩底面的中心分別是點(diǎn)O和O′，B′C′，BC的中點(diǎn)分別是E′，E.連接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，則四邊形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，如圖．在正方形ABCD中，因?yàn)锽C＝16cm，所以O(shè)B＝82cm，OE＝8cm.在正方形A′B′C′D′中，因?yàn)锽′C′＝4cm，所以O(shè)′B′＝22cm，O′E′＝2cm.在直角梯形O′OBB′中，BB′＝OO＝172+8在直角梯形O′OEE′中，EE′＝OO＝172+8-2故這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm，斜高為513cm.跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)在Rt△SDO中，SD＝23，DO＝12AO＝32，故SO＝SD2-DO2(2)如圖正四棱錐S-ABCD中，SO為高，連接OC.則△SOC是直角三角形，由題意BC＝3，則OC＝322，又因?yàn)镾C＝23，則SO＝SC2-OC2＝12故其高為302(3)如圖，設(shè)上、下兩底的中心分別是O1，O，連接O1O，則O1O為棱臺(tái)的高，O1O＝1.連接A1O1，AO并延長(zhǎng)分別與B1C1和BC相交于D1、D，由平面幾何知識(shí)得，D1、D分別是B1C1和BC的中點(diǎn)，連接D1D，則D1D為棱臺(tái)的斜高，因?yàn)锽1C1＝3，BC＝6，所以A1O1＝33×3＝3，AO＝33×6＝2在直角梯形AOO1A1中，A1A＝12+2在直角梯形DOO1D1中，D1D＝12+3所以正三棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為2，斜高為72例3【解析】(1)如圖所示，設(shè)正四棱錐的高為PO，斜高為PE，底面邊心距為OE，它們組成一個(gè)直角三角形POE.∵OE＝42＝2，∠OPE＝30°∴PE＝OEsin30°＝∴S正四棱錐側(cè)＝12ch′＝12×(4×4)×4＝S表面積＝42＋32＝48.即該正四棱錐的側(cè)面積是32，表面積是48.(2)如圖所示，設(shè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)A1B1＝acm，則下底面邊長(zhǎng)AB＝(a＋10)cm，高OO1＝12cm，所以斜高EE1＝E1F2+OE所以a2＋(a＋10)2＋12×4×(2a＋10)×13＝解得a＝2(a＝－38舍去)，則a＋10＝12，即下底面邊長(zhǎng)為12cm，上底面邊長(zhǎng)為2cm.【答案】(1)見解析(2)2cm，12cm跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)如圖所示，設(shè)O為正三角形ABC的中心，連結(jié)PO，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，連結(jié)PD，則PO是正三棱錐P-ABC的高．由正三角形