新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件階段復(fù)習(xí)課第一課空間向量與立體幾何

階段復(fù)習(xí)課第一課空間向量與立體幾何核心整合·思維導(dǎo)圖考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算角度1基向量的運(yùn)算【典例1】已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都是1,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,E,F分別為A1B1與BB1的中點(diǎn),求異面直線BE與CF所成角的余弦值.【解析】如圖所示,【類題·通】基向量法的關(guān)注點(diǎn)(1)基向量的選擇:三個(gè)向量不共面且模和夾角已知或能求,使下一步的計(jì)算成為可能.(2)基向量的運(yùn)算常常與共線向量定理、共面向量定理、空間向量基本定理等相結(jié)合,各個(gè)定理要理解準(zhǔn)確.(3)加減運(yùn)算時(shí),要注意表示向量的字母規(guī)律,向量數(shù)量積運(yùn)算時(shí)注意向量夾角的確定.【加練·固】已知直角△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D為AB的中點(diǎn),沿中線CD將△ACD折起使得AB=,則平面ACD與平面CDB夾角的大小為 ()A.60° B.90° C.120° D.150°【解析】選A.取CD中點(diǎn)E,在平面BCD內(nèi)過(guò)B點(diǎn)作BF⊥CD,交CD延長(zhǎng)線于F.據(jù)題意知AE⊥CD,AE=BF=,EF=2,AB=.且<,>為二面角的平面角,由=(++)2得13=3+3+4+2×3×cos<,>,所以cos<,>=-.所以<,>=120°.所以平面ACD與平面CDB的夾角為60°.角度2坐標(biāo)運(yùn)算【典例2】如圖,在圓錐PO中,已知PO=,☉O的直徑AB=2,C是的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).

(1)證明:平面POD⊥平面PAC;(2)求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值.【解析】(1)如圖所示,連接OC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面POD的法向量,則由取y1=1,可得平面POD的一個(gè)法向量為n1=(1,1,0).設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的法向量,則由取z2=1,可得平面PAC的一個(gè)法向量為n2=(-,,1).因?yàn)閚1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,所以n1⊥n2,從而平面POD⊥平面PAC.(2)顯然平面PAB的一個(gè)法向量為n3=(0,1,0).由(1)知,平面PAC的一個(gè)法向量為n2=(-,,1).設(shè)平面PBA與平面PCA的夾角為θ,則cosθ=cos<n2,n3>=所以平面PAB與平面PAC夾角的余弦值為【類題·通】空間直角坐標(biāo)系建系方法空間直角坐標(biāo)系的建立,要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,這樣建成的坐標(biāo)系,既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo),又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0,也為后續(xù)的運(yùn)算帶來(lái)了方便.【加練·固】如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,又知BA1⊥AC1.

(1)求證:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距離.【解析】(1)如圖,取AB的中點(diǎn)E,則DE∥BC,因?yàn)锽C⊥AC,所以DE⊥AC.又A1D⊥平面ABC,則以DE,DC,DA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),=(0,3,t),=(-2,-1,t),=(2,0,0),由·=0,知AC1⊥CB.又BA1⊥AC1,CB∩BA1=B,從而AC1⊥平面A1BC.(2)由·=-3+t2=0,結(jié)合圖得t=.設(shè)平面A1AB的法向量為n=(x,y,z),又=(0,1,),=(2,2,0),則取z=1,則n=(,-,1).因?yàn)镃C1∥平面A1AB,則CC1到平面A1AB的距離為C1到平面A1AB的距離,因?yàn)?(0,3,),所以CC1到平面A1AB的距離d=素養(yǎng)二邏輯推理角度利用空間向量證明線面、面面關(guān)系【典例3】如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.【證明】如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b.

(1)可得P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因?yàn)镸,N分別為AB,PC的中點(diǎn),所以

所以

所以

又因?yàn)镸N?平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)可知:=(b,a,-a),=(0,a,-a).設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則所以令z1=b,則n1=(2a,-b,b).設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則

令z2=1,則n2=(0,1,1).因?yàn)閚1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.【延伸探究】本例的條件不變,求證:MN⊥平面PDC.【證明】由典例3證明過(guò)程知平面PDC的一個(gè)法向量為n2=(0,1,1),所以=n2,所以∥n2,所以MN⊥平面PDC.【類題·通】1.證明線面平行的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線.(3)利用共面向量定理,即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量.2.證明線面垂直的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.3.證明面面垂直的方法(1)轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(2)證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.【加練·固】在四棱錐P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點(diǎn).(1)求證:BM∥平面PAD;(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使MN⊥平面PBD?若存在,確定N的位置;若不存在,說(shuō)明理由.【解析】以A為原點(diǎn),以AB,AD,AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),(1)可得=(0,1,1),平面PAD的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),所以·n=0,即⊥