公因數(shù)和公倍數(shù)學(xué)習知識點

,.,.公因數(shù)和公倍數(shù)【學(xué)問點回憶】1、公因數(shù)1簡分數(shù)：分子、分母是互素數(shù)的分數(shù)叫做簡分數(shù)。求最大公因數(shù)的方法：分解素因數(shù)法和短除法。2、公倍數(shù)將除數(shù)連乘將除數(shù)和商連乘〔2×3=6〕〔2×3×2×3=36〕求最小公倍數(shù)的方法：分解素因數(shù)和短除法，即用最大公因數(shù)×各自獨有的因數(shù)。3將除數(shù)連乘將除數(shù)和商連乘〔2×3=6〕〔2×3×2×3=36〕兩個數(shù)的關(guān)系最大公因素最小公倍數(shù)特 互素〔7和8〕1兩個數(shù)的積〔7×8=56〕殊 較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)較小數(shù)〔12〕較大數(shù)〔48〕關(guān) 〔12和48〕系一般關(guān)系〔1218〕用短除法4、求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法：一、特別狀況：倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)〔如；6和12612〕互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是１，最小公倍數(shù)是它們的乘積〔如，5715×7=35〕二、一般狀況：求最大公因數(shù)：列舉法、單列舉法、分解質(zhì)因數(shù)法、短除法、除法算式法。1827先找出兩個數(shù)的全部因數(shù) 18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18271、3、9、27再找出兩個數(shù)的公因數(shù)： 18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18271、3、9、271、3、9最終找出最大公因數(shù)： 91827先找出其中一個數(shù)的因數(shù)：181、2、3、6、9、18再找這些因數(shù)中那些又是另一個數(shù)的因數(shù)：1、3、9又是27的因數(shù)最終找出最大公因數(shù)： 9③短除法：1827182736 92 33×3=913139用這兩個數(shù)同時除以公因數(shù)，除到最大公因數(shù)為止。 18÷9就是18和27的最大公因數(shù) 27求最小公倍數(shù)：列舉法、單列舉法、大數(shù)翻倍法、分解質(zhì)因數(shù)法或短除法。1812先按從小到大的挨次找出這兩個數(shù)的倍數(shù)： 18的倍數(shù)：18、36、54、7212的倍數(shù)：12、24、36、48再找出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)： 18的倍數(shù)：18、36、54、7212、24、36、481812先找出一個數(shù)的倍數(shù)： 18的倍數(shù)有：18、36、54、72再按從小到大的挨次找這些倍數(shù)中那個又是另一個數(shù)的倍數(shù)，找出最小公倍數(shù)： 361812把較大的數(shù)翻倍2倍開頭小公倍數(shù)為止。18121818×2=36，3612361812④短除法：用這兩個數(shù)同時除以一個質(zhì)數(shù)〔要能整除〕181218122，再同時除以質(zhì)數(shù)3，除到兩個商是互質(zhì)數(shù)〔1〕為止。2 18122 181296332除到商是互質(zhì)數(shù)為止，最終把全部的除數(shù)和商相乘18122×3×3×2=36除數(shù) 商【例題精講】問題1〔1〕既是30的因數(shù)，又是45的因數(shù)的數(shù)共有幾個？其中最大的數(shù)是多少？〔2〕3045的倍數(shù)的數(shù)，最小是多少？1〕既是0的因數(shù)，又是5的因數(shù)的數(shù)，就是0和5的公因數(shù)，其中最大的就是0和5〔〕既是0的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的數(shù)就是0和5的公3045〔0和513，5共四個，其中最大的是；〔2〕30和45的公倍數(shù)有：90，180，270等等，其中最小是90。隨堂練習1、既是304575的倍數(shù)的數(shù)，最小是多少？問題2、三個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是168，那這三個連續(xù)自然數(shù)的和是多少？小公倍數(shù)是168，可先把168分解質(zhì)因數(shù)168＝2×2×2×3×7，依據(jù)168的質(zhì)因數(shù)的狀況可以確定其中一個是7〔為什么不行能是〕因此這三個連續(xù)自然數(shù)只有、、8和、8、9兩種可能，而7、8、9這三個數(shù)任兩個數(shù)公因數(shù)都是1，故這三個連續(xù)自然數(shù)只能是6、7和8〔經(jīng)檢驗正確〕6＋7＋8＝21。答：這三個連續(xù)自然數(shù)是6、7、8。它們的和是21。隨堂練習1、三個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是660，那么這三個連續(xù)自然數(shù)各是幾？問題3、有一種長60厘米，寬45厘米的長方形磚，用這樣長方形磚鋪地，至少要用多少塊這樣的磚，才能鋪成一塊正方形？想：用長60厘米，寬45厘米的磚鋪成一塊正方形，這個正方形的邊長既是60的倍數(shù)，也是45的倍數(shù)，也就是60和45180厘米，由此簡潔求得一共用的地磚塊數(shù)。解：[60、45]＝180 〔180÷60〕×〔180÷45〕＝12〔塊〕答：12塊這樣的磚，才能鋪成一塊正方形。隨堂練習1、一種長45厘米，寬30厘米的長方形塑料板，拼成一個正方形，至少要用這種塑料板多少塊？問題43人，少了1人；假設(shè)每排5人，就多出2人；假設(shè)62想：假設(shè)把每排3人，就少了13人，也就是多了2人，這樣就把這個3人、5人、62人。假設(shè)把這個班的人數(shù)減去2人，那3、5和6的倍數(shù)，也就是3、5和6的最小公倍數(shù)，然后加上2解：[3、5、6]＝30，30＋2＝32〔人〕答：32隨堂練習110余76余34余1。這個自然數(shù)最小是多少?問題5、五〔2〕班同學(xué)共38人。一天上體育課，排成一列橫隊，都面對教師站，然后按，，48報數(shù)，教師要求學(xué)生按如下的步驟進展操作1〕先讓報數(shù)是3的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)〔〕再讓報數(shù)是5的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。經(jīng)過這兩步操作后，還有多少名同學(xué)仍面對教師？報數(shù)是33〔人，報數(shù)是585≈7〔人，但要留意的是，報數(shù)是3和5的公倍數(shù)的同學(xué)有3〕〔人，而這2人轉(zhuǎn)了2次，又面對了教師，所以經(jīng)過兩步操作后，背對教師的同學(xué)共有12＋7－2×2＝〔人，這時仍有8〔名〕同學(xué)面對教師。答：經(jīng)過這兩步操作后，還有23名同學(xué)仍面對教師。隨堂練習1、五〔1〕班同學(xué)有471、2、3、47報數(shù)，教師要求學(xué)生按如下的步驟操作〕先讓報數(shù)是3的倍數(shù)的同學(xué)〔〕再讓報數(shù)是5面對教師？最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)典型的應(yīng)用題匯總一、解題技巧：最大公因數(shù)解題技巧：〔的地位時，由于小數(shù)〔即處于除數(shù)、商、因數(shù)〕是大數(shù)〔即處于被除數(shù)、被除數(shù)、積〕的因數(shù)，此時，所求的數(shù)量就處于因數(shù)的地位。假設(shè)消滅一樣的〔公有的〕/最長的所求數(shù)量，即求他們的公因數(shù)/最大公因數(shù)的應(yīng)用題。最小公倍數(shù)解題技巧：通常從問題入手，所求的數(shù)量處于大數(shù)〔即處于被除數(shù)、被除數(shù)、積〕的地〔即處于被除數(shù)、被除數(shù)、積〕是小數(shù)〔即處于除數(shù)、商、因數(shù)〕的倍數(shù)，此時，所求的數(shù)量應(yīng)處于倍數(shù)的地位。假設(shè)消滅一樣的〔公有的〕/最小的所求數(shù)量，即求他們的公倍數(shù)/最小公倍數(shù)的應(yīng)用題。補充局部公式小長方形個數(shù)=〔大正方形邊長÷小長方形長〕×〔大正方形邊長÷小長方形的寬〕〔大長方形的長÷小正方形邊長〕×〔大長方形的寬÷小正方形邊長〕大正方體邊長÷小長方體的寬〕×〔大正方體邊長÷小長方體高〕〕×〔大長方體的寬÷小正方體邊長〕×〔大長方體的高÷小正方體邊長〕剩余定理〔被除數(shù)〕=最小公倍數(shù)＋余數(shù)〔被除數(shù)〕=最小公倍數(shù)－缺數(shù)植樹問題公式不封閉型： 2、只有一端都栽1、兩端都栽 間隔個數(shù)=株數(shù)間隔個數(shù)=株數(shù)－1株數(shù)=間隔個數(shù)＋1距離=一個間隔的長度×間隔個數(shù)3、兩端都不栽間隔個數(shù)=株數(shù)＋1株數(shù)=間隔個數(shù)－1距離=一個間隔的長度×間隔個數(shù)封閉型：間隔個數(shù)=株數(shù)株數(shù)=間隔個數(shù)距離=一個間隔的長度×間隔個數(shù)

株數(shù)=間隔個數(shù)距離=一個間隔的長度×間隔個數(shù)封閉型再正方形邊上栽，并且4個頂點都栽：株數(shù)=〔每邊株數(shù)－1〕×4類題通常先求一層／一段需要多少時間，再乘以段數(shù)即可二、經(jīng)典題目1、一個大長方形長24厘米，寬18厘米，把它裁成假設(shè)干個小正方形而沒有剩余，如小正方形的邊長最長，邊長是多少厘米？最多能裁成多少個小正方形？2、一個長方形的長6厘米，寬4厘米，至少要多少個這樣的小長方形才能拼成一個大的正方形？此時，大的正方形的邊長是多少厘米？324厘米，寬18厘米，高12厘米，把它裁成假設(shè)干個小正方體而沒有剩余，如小正方體的邊長最長，正方體的棱長是多少厘米？最多能裁成多少個小正方體？4、一個長方體的長6厘米，寬4厘米，高2厘米。至少要多少個這樣的小長方體才能拼成一個大的正方體？此時，大的正方體的棱長是多少厘米？5、一路車5分鐘發(fā)一次車，二路車6分鐘發(fā)一次車，他們現(xiàn)在同時發(fā)車，至少要多少時間再次同時發(fā)車？6、崔青青5天去一次圖書館，李幻霞3天去一次圖書館，修暢6天去一次圖書館，她們今日同時在圖書館，至少要多少天她們37、五〔3〕班做早操，每6人一排或每7人一排，都能排成整排而沒有剩余，五〔3〕班至少有多少人？8〔3〕673〔3〕班至少有多少人？〔備注：最小公倍數(shù)與剩余定理題綜合出題〕9、五〔3〕班做早操，每6人一排少3人，每7人一排剩余4人，五〔3〕班至少有多少人？〔備注：最小公倍數(shù)與剩余定理題綜合出題〕10、五〔3〕班分水果，桃子84個，蘋果42個，平均分給每個同學(xué)正好分完而沒有剩余。五〔3〕班最多有多少人？11、兩根鐵絲分別長72米、48米，把他們裁成相等的段數(shù)，正好裁完，而沒有剩余，每段最長是多少米？12、有一段路每8米栽一棵樹，頭尾都栽共栽了51棵。假設(shè)改成5米一棵，至少幾米有一棵不動？共有多少棵不動？〔備注：最小公倍數(shù)與植樹問題綜合出題〕附加：1、起步價問題某城市依據(jù)不同的用水量承受不同的自來水收費標準，收費標準如下表：月用水量〔立方米/戶〕月用水量〔立方米/戶〕收費標準〔元/立方米〕10以下〔包括10〕局部1.8011至20〔包括20〕局部2.6020以上局部3.40小明家五月份用水9立方米，應(yīng)付水費多少元？小明家六月份付水費31.20元，算一算，他家六月份用了多少立方米水？1363立方米，八月一日再次抄表時，13842、最正確問題也叫最經(jīng)濟問題五〔3〕班4位教師帶著3820元，兒童每張票價101080樣買票最合算，最合算多少元？五〔3〕班和五〔4〕班76位學(xué)生去劃船，船上的標價是租一條大船30元，租一條小船20元，請問怎樣租船最合算，最合算多少元？〔大船一條坐158人〕5克和30300稱法。14個大小完全一樣的紅球，其中一個重量輕是不合格的產(chǎn)品，你能用天枰稱幾找出不合格的產(chǎn)品？媽媽在廚房烙餅，每次鍋里只能放兩張餅，烙一張餅需2分鐘，每面各1分鐘。問媽媽在3一把鑰匙開一把鎖，現(xiàn)有6把鑰匙6把鎖，但不知怎么相配。那么最多要試幾次確保配對全部的鑰匙和鎖？確定出丁排在第幾位，應(yīng)當怎樣稱量？3、容斥問題〔時，此數(shù)重復(fù)數(shù)了一次〕五〔3〕班有36人，語文優(yōu)秀的人數(shù)有26人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)有30人，請問語數(shù)都優(yōu)秀的有多少人﹖〔求重復(fù)計數(shù)局部的代表題〕五〔3〕班有36人，語文優(yōu)秀的人數(shù)有25人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)有30人，有25人語數(shù)都是優(yōu)秀，請問語數(shù)都達不優(yōu)秀的有多少人﹖〔求綜合性的代表題〕五〔3〕25人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)有30人，語數(shù)都優(yōu)秀的有20人，請問五〔3〕班到達優(yōu)秀的學(xué)生有多少人﹖〔求實際數(shù)量的代表題〕五〔3〕25人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)有30人，語數(shù)都優(yōu)秀的有20人，還5〔3〕班有多少人﹖【尋常練習】第一天用短除法求幾個數(shù)的最大公因數(shù)12和30 24和36 39和78 72和84 36和6045和60 45和75 45和6048其次天用短除法求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。25和30 24和30 39和7820126和60 45和75 12和2460

42、1055660841214

24、36和184576和80 36和60 27和72 42、105和56 24、36和48第三天一、填空1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因數(shù)是〔 〕．2、36和60一樣的質(zhì)因數(shù)有〔 〕，它們的積是〔 〕，也就是36和60的〔 〕．3、〔 〕的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)．4、自然數(shù)a除以自然數(shù)b，商是15，那么a和b的最大公因數(shù)是〔 〕．二、推斷〔對的打“√”，錯的打“×”〕．1、互質(zhì)數(shù)是沒有公約數(shù)的兩個數(shù)．〔 〕2、成為互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，肯定是質(zhì)數(shù)．〔 〕3、只要兩個數(shù)是合數(shù)，那么這兩個數(shù)就不能成為互質(zhì)數(shù)．〔 〕4、兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，商是互質(zhì)數(shù)．〔 〕三、選擇題1、成為互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)〔 〕．①沒有公因數(shù) ②只有公因數(shù)1 ③兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù) ④都是質(zhì)因數(shù)2、以下各數(shù)中與18只有公因數(shù)1是〔 〕．①21 ②40 ③25 ④183、以下各組數(shù)中，兩個數(shù)只有公因數(shù)1的是〔 〕．①17和51 ②52和91 ③24和25 ④11和22四、直接說出以下各組數(shù)的最大公因數(shù)．1、8與9的最大公因數(shù)是〔 〕． 2、48、12和16的最大公因數(shù)是〔 〕．3、6、30和45的最大公因數(shù)是〔 〕． 4、150和25的最大公因數(shù)是〔 〕．第四天一、填空1、按要求，使填出的兩個數(shù)只有公因數(shù)1．①質(zhì)數(shù)〔〕和合數(shù)〔〕，②質(zhì)數(shù)〔〕和質(zhì)數(shù)〔〕，③合數(shù)〔〕和合數(shù)〔〕，④奇數(shù)〔〕和奇數(shù)〔〕，⑤奇數(shù)〔〕和偶數(shù)〔〕．2、兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)，這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是〔 〕．3、全部自然數(shù)的公因數(shù)為〔 〕．4、18和24的公因數(shù)有〔 〕，18和24的最大公因數(shù)是〔 〕．二、推斷〔對的打“√”，錯的打“×”〕．1、由于15÷3＝5，所以15和3的最大公因數(shù)是5．〔 〕2、30、15和5的最大公因數(shù)是30．〔 〕3、最小的合數(shù)和最小的質(zhì)數(shù)這兩個數(shù)不是只有公因數(shù)1．〔 〕4、相鄰的兩個自然數(shù)肯定只有公因數(shù)1．〔 〕三、選擇題11個77，它們的最大公約數(shù)的質(zhì)因數(shù)里應(yīng)當〔 〕．①有五個7 ②沒有7 ③不能確定2、甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的5倍的最大公約數(shù)〔 〕①確定是7 ②確定不是7 ③不能確定四、應(yīng)用題用96朵紅花和72朵白花做花束，假設(shè)每個花束里的紅花朵數(shù)都相等，每個花束里的白花的朵數(shù)也都相等．每個花束里最少有幾朵花？第五天一、填空a和b都是自然數(shù)假設(shè)a除以b商5沒有余數(shù)那么a和b的最大公約數(shù)〔 最小公倍數(shù)〔 〕．假設(shè)a和b是互質(zhì)的自然數(shù)那么a和b的最大公約數(shù)〔 最小公倍數(shù)〔 〕．三個質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是42，這三個質(zhì)數(shù)是〔 〕．4．100以內(nèi)能同時被3和7整除的最大奇數(shù)是〔 〕，最大偶數(shù)是〔 〕．5．一個數(shù)的最大約數(shù)是，它的最小倍數(shù)是〔 〕．6．全部偶數(shù)的最大公約數(shù)是〔 〕，全部奇數(shù)的最大公約數(shù)〔 〕．二、推斷1．幾個數(shù)的公倍數(shù)是無限的，最小的只有一個．〔 〕兩個不同的自然數(shù)的最大公因數(shù)肯定比最小公倍數(shù)?。?〕假設(shè)三個自然數(shù)兩兩互質(zhì)它們的最大公約數(shù)是最小公倍數(shù)就是三個數(shù)的乘積〔 〕假設(shè)一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)不是互質(zhì)數(shù)，那么這個合數(shù)是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)．〔 〕一個數(shù)的約數(shù)必定小于它的倍數(shù)．〔 〕三、選擇題1．96是16和12的〔 〕①公倍數(shù) ②最小公倍數(shù) ③公約數(shù)2．幾個質(zhì)數(shù)的連乘積是〔 〕①合數(shù) ②質(zhì)數(shù) ③最大公約數(shù) ④最小公倍數(shù)3．甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍數(shù)是〔 〕①15 ②甲 ③乙 ④甲×乙4．12是24和36的〔 〕①約數(shù) ②質(zhì)因數(shù) ③最大公約數(shù)5．一個數(shù)的最大約數(shù)〔 〕它的最小倍數(shù)．①＞ ②＜ ③＝6．＝2×2×5，＝2×3×5，那么、的最小公倍數(shù)是〔 〕①600 ②300 ③60 ④10四、直接說出以下每組數(shù)的最小公倍數(shù)1．18和36的最小公倍數(shù)是〔 〕 2．45和135的最小公倍數(shù)是〔 〕3．8、18和72的最小公倍數(shù)是〔 〕 4．48、16和24的最小公倍數(shù)是〔 〕,.,.【綜合測試】一、填空〔20〕1、最小的素數(shù)是〔 ，最小的合數(shù)是〔 。2、18 的因數(shù)有〔 〕，24 的因數(shù)有〔 ，它們的公因數(shù)有〔 。3、在1～0的自然數(shù)中，既不是素數(shù)又不是合數(shù)的數(shù)有〔 既是素數(shù)又是偶數(shù)的有〔 。4自然數(shù)按因數(shù)個數(shù)的多少可以分〔 〔 〔 。5、1082至少加上〔 〕是3的倍數(shù)，至少減去〔 〕才是5的倍數(shù)。6、一個數(shù)的最大因數(shù)是13，這個數(shù)的最小倍數(shù)是〔 。7、兩個自然數(shù)a、b的最大公因數(shù)是1，它們的最小公倍數(shù)是〔 。8、假設(shè)＝22×3，B＝233，