2022-2023學(xué)年廣東省信宜市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生

號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定的位量上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；

如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使

用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

第一部分選擇題(共60分)

一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.拋物線x=的準(zhǔn)線方程是()

B.x=——

4

1

D.x=------

16

【答案】C

【解析】

【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)形式求解即可.

【詳解】解：X=2y2可化為y2=/x,

所以拋物線x=2y2的準(zhǔn)線方程為x=

O

故選：C

2.a=(1,-1,3),^=(-l,4,-2),c=(l,5,x),若三向量共面，則實(shí)數(shù)%=()

A.3B.2C.15D.5

【答案】D

【解析】

(分析】利用向量共面sn坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

［詳解】:a=(1，-1,3),〃=1,4,-2),?，.「與〃不共線,

又,：a、b、6三向量共面，則存在實(shí)數(shù)〃?，拉使C=+

m-n=\

即<-77?+4/7=5,解得n=2,m=3,x=5.

3m-2n=x

故選：D.

3.若等軸雙曲線C過(guò)點(diǎn)(1,百)，則雙曲線C的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為()

A.1B.0C.y/3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點(diǎn)到其漸近線的距離.

【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為月一產(chǎn)二左化/。)，

因?yàn)辄c(diǎn)(1,@在雙曲線上，所以12-(6了=/，解得左=一2,

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-工=1,

22

故上頂點(diǎn)(o,V2)到其一條漸近線y=%的距離為d

故選：A.

4.等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和S,,,若q=2,53=12,貝i]&=

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：假設(shè)公差為d,依題意可得3x2+』x3x2d=12,.?.d=2.所以

2

4=2+(6—1)x2=12.故選C.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).

XV2

5.已知橢圓c：j+=1(。＞力＞0)的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,右焦點(diǎn)為F,若

ClF

ZABF=90°,則橢圓C的離心率為()

A6-1R\/5-1「>/3+1n

A.----D.----v.-----U.

224

75+1

4

【答案】B

【解析】

【分析】表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，由NABb=90°可得區(qū)4.3尸=0,得出。力,。的等式，變形后

可求離心率.

【詳解】由題意1（一。,0）,8（0,燒F（c,0）,則BA=（—a,—b）,BF=（c,—b）,

ZABF=90°,

???BABF^-ac+h2=0>即。2一。2一。。=0，

可得（￡>+￡—i=o,

aa

...e=￡=±@或土史（舍去）.

a22

故選：B.

6.設(shè)。，b為實(shí)數(shù),若直線以+刀=1與圓/+y2=1相交，則點(diǎn)尸（。力）與圓的位置關(guān)

系是（）

A.在圓上B.在圓外C.在圓內(nèi)D.不能確

定

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求得。力滿足的關(guān)系式，結(jié)合點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判斷

方法，判斷即可.

1

【詳解】根據(jù)題意<即〃+/>1，故點(diǎn)P（a,。）在圓f+y2=i外.

yfa2+b2

故選：B.

7.如圖，在__ABC中，AC,AB所在直線方程分別為4x-3y—13=0和

3x+4y-16=0,則/A的角平分線所在直線的方程為（）

A,x-7y+3=0B.7x+y-29=0C,x-y+3=0D.

x+y—5=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可得AB1AC,設(shè)/A的角平分線所在直線的傾斜

角為a,直線AC的傾斜角為夕，從而可得tana=tan（尸—45。），再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式

方程即可得解.

【詳解】解：聯(lián)立口；,,八，解得〈，，即A（4,l）,

3x+4y-16=0[y=l'7

因?yàn)?x3—3x4=0,所以AB1AC,即/R4c=90°,

4

設(shè)NA的角平分線所在直線的傾斜角為。，直線AC的傾斜角為夕，貝han4=§,

則tana=tan（0-45°）=—■--=—,

147

3

即ZA的角平分線所在直線的斜率為1，

7

所以NA的角平分線所在直線的方程為y-1=4）,即x—7y+3=0.

故選：A.

8.已知數(shù)列｛為｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，也“｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等

比數(shù)列，設(shè)c,=',Tn^c｝+c2++c“(〃eN*),則當(dāng)騫＜2022時(shí)，〃的最大值是

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】

【分析】先求出數(shù)列｛4｝和｛2｝的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和求出力,，再對(duì)“進(jìn)行賦

值即可求解.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列

所以a”=l+(〃-l)x2=2〃-l

因?yàn)橐?｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

所以a=2小

n

由%=%得：cn=2b,-1=2-l

Tn=c,+c2++c,,(〃eN*)

=(2'+22+23++2")-〃

2(1-2")

=-------n

1-2

=2向_〃一2

當(dāng)7；<2022時(shí)，即2向一〃-2<2022

2"+'<2024+〃

當(dāng)〃=9時(shí)，2"><2033

當(dāng)〃=10時(shí)，2"=2048>2034

所以〃的最大值是9.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出7“，再通過(guò)賦值法即可求出使不等式

成立的〃的最大值.

二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選

錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.直線丁=以一3。+2(。€/?)必過(guò)定點(diǎn)(3,2)

B.直線y=3x—2在y軸上的截距為—2

C.直線百x+y+1=0的傾斜角為6()。

D.圓f+丁=5的過(guò)點(diǎn)(一1,2)的切線方程為x-2y+5=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A將直線化為點(diǎn)斜式可判斷；選項(xiàng)B根據(jù)截距的定義可判斷；選項(xiàng)C先求

出直線的斜率可得傾斜角從而判斷；選項(xiàng)D先判斷點(diǎn)在圓上，然后由切線的幾何性質(zhì)求出

切線方程，從而判斷.

【詳解】選項(xiàng)A.直線y=ox-3a+2化為y-2=a(x—3),所以直線過(guò)點(diǎn)(3,2),故正

確.

選項(xiàng)B.直線y=3尤—2在y軸上的截距為—2,正確.

選項(xiàng)C.直線6x+y+l=()的斜率上=-6,傾斜角為120°,故不正確.

選項(xiàng)D.由(一1『+22=5,則點(diǎn)(-1,2)在圓V+y2=5上

所以圓f+V=5的過(guò)點(diǎn)(一1,2)的切線的斜率為g,所以切線方程為y—2=；(x+l),

即x-2y+5=0,故正確.

故選：ABD

22

10.已知曲線C的方程為「一+二一=1(左eR,且左片2,kw6),則下列結(jié)論正確

k-26-k

的是()

A.當(dāng)我=4時(shí)，曲線C為圓B.若曲線C為橢圓，且焦距為

2萬(wàn)，貝必=5

C.當(dāng)我<2或4>6時(shí)，曲線C為雙曲線D.當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí):焦距等于4

【答案】AC

【解析】

【分析】寫(xiě)出當(dāng)&=4時(shí)的曲線方程，即可判斷A;分情況求出當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)k的值，

可判斷B；當(dāng)人<2或A>6時(shí)，判斷k一2,6一左的正負(fù)，即可判斷C;當(dāng)曲線C為雙曲線

時(shí)，確定k的范圍，求得焦距，可判斷D.

22

【詳解】當(dāng)出=4時(shí)，方程為三+匯=1,即f+/=2,表示圓，故A正確；

22

若曲線C為橢圓，且焦距為2及，

則當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，％—2>6—左>0且左一2一(6—左)=2,解得％=5；

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，6—A>%—2>0且6—々一(左―2)=2,解得左=3,

故此時(shí)％=5或攵=3,故B錯(cuò)誤；

?2

當(dāng)％<2時(shí)，々一2<0,6一女>0,曲線」+工=1表示的是焦點(diǎn)位于y軸上的雙曲

k-26-k

線；

22

當(dāng)A>6時(shí)，々-2>0,6<0,曲線工+工=1表示的是焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲

k-26-k

線；故C正確；

當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，伏-2)(6—6<0,即攵<2或%>6,

當(dāng)女<2時(shí)，k-2(Q,6-k)Q,焦距2c=2瓜二水，

當(dāng)后>6時(shí)，左一2>0,6—左<0,焦距2c=2-2%-8，

故D錯(cuò)誤，

故選：AC

11.已知空間中三點(diǎn)A((),1,0),8(2,2,0),C(—1,3,1),則下列結(jié)論正確的有()

A.ABJ.AC

B.與AB共線的單位向量是(1」，0)

C.AB與AC夾角的余弦值是叵

11

D.平面A3C的一個(gè)法向量是機(jī)=(1,一2,5)

【答案】AD

【解析】

UCIUUUIU

【分析】對(duì)于A,通過(guò)計(jì)算ABSC來(lái)判斷，對(duì)于B,利用共線單位向量的定義求解，對(duì)

于C,利用向量的夾角公式求解，對(duì)于D,利用法向量的定義求解.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)锳(0,1,0),8(2,2,0),C(—1,3,1),所以

AB=(2,l,0),AC=(—1,2,1),

所以AB-AC=-2+2=0，所以ABLAC，所以A正確,

對(duì)于B,因?yàn)?(2,1,0),所以與AB共線的單位向量為

AB1(2亞非

(2,1,0)=力

網(wǎng)A/22+12

對(duì)于C因?yàn)锳3=(2,1,0),AC=(—1,2,1),

ABAC-2+2+0

所以cos(A3,AC=0,所以c錯(cuò)誤,

|/1B||AC|V5XV6

對(duì)于D,因?yàn)閙=(L—2,5),AB=(2,1,0),AC=(—1,2,1),

所以m?43=2-2+0=0,m?AC=-1-4+5=0,

所以m_L_LAC,所以平面ABC的一個(gè)法向量是m=(1,一2,5),所以D正確,

故選：AD.

12.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的

座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐

標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)尸(0,2),橢圓的短軸與半圓

的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過(guò)原點(diǎn)。的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A,與下半圓

交于點(diǎn)B,則()

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2及

B.AFG的周長(zhǎng)為4+40

C.線段A8長(zhǎng)度的取值范圍是［4,2+2血］

D.△ABF1面積的最大值是40

【答案】BC

【解析】

【分析】由題意可得仇c,然后可得。，可判斷A；由橢圓定義可判斷B；由橢圓性質(zhì)可

判斷C；設(shè)所在直線方程為'=丘，分別聯(lián)立橢圓、圓的方程，求出A，B兩點(diǎn)的橫

坐標(biāo)，得出S&ABF根據(jù)單調(diào)性可得最大值判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由題知，橢圓中Z?=c=2,得4=J/+c2=2及,則2a=4夜，故

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由橢圓定義知，AF+AG=2a=4>反，所以一AFG的周長(zhǎng)

L=FG+40=4+4及，故B正確；

對(duì)于C,AB=OB+OA=2+OA,由橢圓性質(zhì)可知2WQ4W2、/，，所以

4WABW2+20，故C正確；

=kx

*聯(lián)立y任+可得乙=±心r^+/-

對(duì)于D,設(shè)AB所在直線方程為y=￡=1

148

y=kx1~~

聯(lián)立，，可得與二士、二^,

［x+y2=4B5+%2

S

則AABF-S^AOF+S^OIiF-2|OFIIxj+21OFII1-J814

2+k2+\l+k2'

顯然當(dāng)江2NO時(shí)，函數(shù)y=匚~丁+是減函數(shù),

所以當(dāng)人=0時(shí)，S。/有最大值4,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

第二部分非選擇題（共90分）

三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日（Mo〃ge/746-1818）發(fā)現(xiàn)：雙曲線F：—7—=l（a>h〉0）的兩

條互相垂直切線的交點(diǎn)P的軌跡方程為：x2+y2=a2-b2,這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.若某雙

2

曲線1—y2=i（a>o）對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為/+y2=3,貝|］。=.

【答案】2

【解析】

2

【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出雙曲線^一>2=1（。>0）對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程，可得出關(guān)于〃的等

式，即可求得正數(shù)〃的值.

【詳解】由雙曲線、—y2=i（a>o）的方程可得從=i,

a~

丫2

由蒙日?qǐng)A的定義可得雙曲線與―y2=］（q>0）對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程爐+,2=3,所以

a2—b2-3）即a?—1=3，

可得a=2.

故答案為：2.

14.在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.

【答案】27

【解析】

【分析】設(shè)公比為0,利用己知條件求出然后根據(jù)通項(xiàng)公式可求得答案

【詳解】設(shè)公比為0，插入的三個(gè)數(shù)分別為生，4，4，

因?yàn)?=1,%=9,所以/=9,得4?=3,

所以生?小，包=%q?a4?=a：（q2）=33=27,

故答案為：27

15.已知等差數(shù)列｛凡｝滿足4+4=6,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的通項(xiàng)公式a,,=.

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得4=3,則4+3d=3,從而可寫(xiě)出數(shù)列的

一個(gè)通項(xiàng)公式

【詳解】因?yàn)椋?｝拈等差數(shù)列，且4+4=6,所以2a4=6,a4=3.

當(dāng)公差為。時(shí)，?！?3；公差為1時(shí)，an=n-i....

故答案為：3（答案為唯一）

22

16.已知過(guò)橢圓E:二+上一=1（機(jī)>5）上的動(dòng)點(diǎn)P作圓C（C為圓心）：

mm-1

V—2x+y2=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,若NACB的最小值為胃，則橢圓E的

離心率為.

【答案】g

【解析】

【分析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點(diǎn)、圓心和半徑；當(dāng)Z4C3最小時(shí)，可知

ZACP=|,此時(shí)|尸。|0血=2；根據(jù)橢圓性質(zhì)知|PCLn=而一1，解方程可求得〃？，

進(jìn)而得到離心率.

【詳解】由橢圓E方程知其右焦點(diǎn)為(1,0)；由圓C的方程知：圓心為。(1,0),半徑為

1；

當(dāng)NACB最小時(shí)，則N4CP最小，即NAC尸=(,此時(shí)|PC|最??；

\AC\11.,

此時(shí)COSZACP=H=E=二，.=2；

\PC\PC21lmn

P為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，|PCL=J/T=2,解得：機(jī)=9，

二橢圓E的離心率6=、'=’.

\m3

故答案為：

3

四、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.己知等比數(shù)列｛4｝滿足4=44=8.

(1)求｛凡｝的通項(xiàng)公式；

⑵記｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，證明：-45?,S“+2，6s,用成等差數(shù)列.

【答案】（1）a?=2tt

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為“，根據(jù)%=4為=8,求得的值，即可求得

數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

,,+|

（2）由等比數(shù)列的求和公式求得S?=2-2,得至IJ5?+1=2-2-2,

Sn+2=2"+3-2,化簡(jiǎn)得到-45?+6s“+1=2s*2，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9，

因?yàn)?=。1%=8,所以qq2=a；q=8,解得4=夕=2,

所以%=a//T=2x2"T=2",

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式a?=2".

【小問(wèn)2詳解】

2（1-2"）

解：由（1）可得s=△-二2=4----A=2"+i-2，

"1-q1-2

+3

SN=2"+2—2,S,I+2=2"-2,

所以-4（2n+I-2）+6（2n+2-2）-2（2n+3-2）=0,

所以—4S“+6S“M=2S”+2,即一4S“，S“+2,6s“M成等差數(shù)列.

18.已知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4,且它的一條漸近線方程為y=

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/:y=gx—l與雙曲線C交于A,8兩點(diǎn),求|4B|.

2

【答案】（1）土—>2=1

3

（2）10摳

【解析】

22

【分析】（1）焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)方程為鼻-1=1（4>0力>0）根據(jù)題意求出。力即可

a-b-

（2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，由韋達(dá)定理，然后利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可

【小問(wèn)1詳解】

22

因?yàn)榻裹c(diǎn)在X軸上，設(shè)雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為鼻-馬=1(4>02>0),

ab~

由題意得2c=4,

所以c=2,①

又雙曲線C位一條漸近線為y=gx，

所以2=立，②

a3

又儲(chǔ)+)2=/,③

聯(lián)立上述式子解得a=百，b=l,

2

故所求方程為>2=1；

3

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)A(x，x),B(x2,y2),

1,

y=-x-l

2i

聯(lián)立〈2,整理得一M+3X—6=。，

1214

---V=1

3

由A=32-4x(L)x(-6)=15>0,

4

所以玉+々=-12,x,x2=-24,

即|Afi|=\J1+k~?J(X]+%)~-4%]x,

-J(-12)2-4X(-24)=10G

19.已知數(shù)列｛a“｝滿足」?―-H--+-H——=n.

''2462n

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勿=-----,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“.

a“a“+i

【答案】(1)%=2〃

【解析】

【分析】（1）根據(jù)所給式子得到4+&+色+…作差即可得到

4=2〃，（n>2）,再計(jì)算力,即可得解；

（2）由（1）可得（4一一二］,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

n+\）

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)椤?-H--H---1——=n,

2462n

所以〃之2時(shí)，—+—4--H---F"〃7=n—l,

2462〃-2

兩式作差得，/=1,

2n

所以〃22時(shí)，an=2n,

又拉=1時(shí)，^-=1,得4=2,符合上式,

所以｛q｝的通項(xiàng)公式為4=2〃.

【小問(wèn)2詳解】

,1111111

解：由（1）知2==—x----

cinan+]2〃x2(〃+l)4〃(〃+1)4(〃n+1

n

4(〃+1)

n

即數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和s.

4(〃+1)

20.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,2）,B（6,4）,且圓心在直線x—3y—4=0上.

（1）求圓。的方程；

（2）若平面上有兩個(gè)點(diǎn)P（-6,0）,Q（6,0）,點(diǎn)M是圓。上的點(diǎn)且滿足胃=2,求點(diǎn)

M的坐標(biāo).

【答案】（1）（%-4）2+/=20

104而

33

【解析】

【分析】（1）設(shè)出圓心，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得圓的方程.

（2）根據(jù)已知條件求得M滿足的方程聯(lián)立即可求得M的坐標(biāo).

【小問(wèn)1詳解】

?.?圓心在直線1-3＞一4=0上，

設(shè)圓心C（3a+4,a）,

已知圓。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（（）,2）,8（6,4）,則由|C4|=|CB|,

得J（3a+4y+（a-2）2=J（3a+4-6）2+（如-4『

解得。=0,所以圓心。為（4,0）,

半徑r=|C4|=’（4-0）2+（0—2）2=2后,

所以圓C的方程為（工一4『+J=20；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)M（x,y）,

?.,加在圓（7上，，（》一4）2+》2=20,

又P（-6,0）,Q（6,0）,

2可得：(x+6)2+y2=4

化簡(jiǎn)得（x—1。1+v二的,

-2

聯(lián)立《

(x-10)2+y2

4VH

21...ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，且MN〃BC,O為MN

的中點(diǎn)，P為8c的中點(diǎn).將ABC沿MN進(jìn)行折起，使得平面4WN_L平面3OVM.

（1）求證：MNLAP；

（2）求平面AA/B與平面AMN夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵與

5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得AO_L平面8CNM,據(jù)此證出A/N_L平面AOP,可得線線

垂直；

（2）以。為原點(diǎn)，o看,0%,&所在方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

連接0P,如圖，

由題意可知，MN//BC,且AW=AN,又。為MN的中點(diǎn)，則A0LMN,

而平面4WN_L平面8CNM,且交于MN,AOu平面AMN,所以40_L平面BCMW.

因?yàn)镺B=OC,所以由直角三角形AOB,AOC全等可得A3=AC,

故4ABe是等腰三角形，P為邊上的中點(diǎn)，則OPLBC,

由可知又AOAP=A,AO,APu平面AOP,

則平面AOP,因?yàn)锳Pu平面AOP,所以M/工475.

【小問(wèn)2詳解】

以。為原點(diǎn)，血,命,以所在方向分別為％Xz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z.

設(shè)|癡|=2|啟|(()</1<1)，則°(0,0,0),A/(2,0,0),A(0,(),四)，

3(1,石-&,0),。(-1,石-&,0),

品=(40,-瘋)，B=(l,6-&，-&)

,n-AM=0

設(shè)平面AA始的法向量為n=(xYz)，則由<-，即

(廣'1［加4?=0

人尤一J§2z=0-

(「廣，令x=6，則y=-i,z=i,

x+V3(l-A)y->/32z=0

即平面AMB的一個(gè)法向量為;=(73,-1,1)，

因?yàn)閥軸與平面AMN垂直，所以平面AAW的一個(gè)法向量為j=(o』,o),

“，tfn-myj5

所以cos<〃,/〃>=Tf=--—)

I?llrnI'

所以平面AMB與平面AMN夾角的余弦值為好.

5

22

22.已知橢圓C：:+二=1Ca>b>0),四點(diǎn)4(2,2),￡(0,2),

ab“

^(-2,72),8(2,垃)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過(guò)優(yōu)點(diǎn)且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為