協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二3.協(xié)方差計(jì)算公式Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)（1）若X與Y獨(dú)立,則Cov(X,Y)=0注（2）D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)4.協(xié)方差的性質(zhì)（1）Cov(X,Y)=

Cov(Y,X)

（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b為常數(shù)

（3）Cov(X1+X2,Y)=

Cov(X1,Y)+

Cov(X2,Y)（4）當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有Cov(X,Y)=0第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例1設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為

XY010q010pX01Pqp其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)XY．解由(X,Y)的聯(lián)合分布律，可得X與Y的邊緣分布律為Y01Pqp均為0-1分布，于是有所以第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二求

解

因?yàn)橥砜傻?/p>

例2

設(shè)二維（X，Y）隨機(jī)變量的密度函數(shù)為第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

由協(xié)方差的性質(zhì)(2)知,協(xié)方差取值的大小要受到量綱的影響,為了消除量綱對(duì)協(xié)方差值的影響,我們把X,Y標(biāo)準(zhǔn)化后再求協(xié)方差第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

1.定義對(duì)于隨機(jī)變量X和Y,若D(X)≠０,D(Y)≠０,則稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差）。當(dāng)ρXY=0時(shí),稱X與Y不相關(guān)。（1）|ρXY|≤1；（2）|ρXY|=1當(dāng)且僅當(dāng)P{Y=aX+b}=1,其中a,b為常數(shù)。相關(guān)系數(shù)ρXY刻劃了隨機(jī)變量X和Y的線性相關(guān)程度。4.3.1相關(guān)系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差）

２.性質(zhì)第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二證明

（1）即(2)由方差性質(zhì)得成立的充分必要條件為第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二而第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二的充要條件是即從而且第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二于是由:得這說明X與Y是不相關(guān)的,但顯然，X與Y是不相互獨(dú)立的

例3若X~N(0,1),Y=X2,問X與Y是否不相關(guān)？

解

因?yàn)閄~N(0,1),密度函數(shù)為偶函數(shù),所以第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

解

X，Y的聯(lián)合密度f(x,y)及邊緣密度fX(x),fY(y)如下：

從而說明二維正態(tài)分布隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立ρ=0，即X、Y相互獨(dú)立與不相關(guān)是等價(jià)的。例4設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，求X,Y的相關(guān)系數(shù)。第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二1.將一枚不均勻硬幣投擲n次，以Ｘ和Ｙ分別表示出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)，則Ｘ和Ｙ的相關(guān)系數(shù)為（Ａ）－１；（Ｂ）０；（Ｃ）?；(D)1。2.設(shè)隨機(jī)變量Ｘ和Ｙ獨(dú)立同分布，記U=X+Y,V=X-Y,則Ｕ和Ｖ（Ａ）不獨(dú)立；（Ｂ）獨(dú)立；（Ｃ）相關(guān)系數(shù)為０；（D）相關(guān)系數(shù)不為０。3.設(shè)Ｘ是隨機(jī)變量，Ｙ=aX+b(a≠０),證明：４.設(shè)隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為求Ｘ與|X|的協(xié)方差，問Ｘ和|X|是否不相關(guān)，是否相互獨(dú)立．練習(xí)題第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二選例1求ρXY解E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；D(X)=1/2,D(Y)=1/2。E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;???Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

選例2

設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY解第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二證明

(1)因?yàn)橥瑯覧(Y)=0于是ρXY=0，所以X與Y不相關(guān)。選例3

已知（X,Y）的概率密度如下，試證X與Y既不相關(guān)，也不相互獨(dú)立。第十五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二顯然，