高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限課件

1第二節(jié)數(shù)列的極限一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)五、小結(jié)思考題1專業(yè)課件，精彩無限！2單擊任意點(diǎn)開始觀察1.【割圓術(shù)】觀察完畢“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒铡疽恳?、概念的引入專業(yè)課件，精彩無限！3正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積專業(yè)課件，精彩無限！42.【截丈問題】“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”公元前300年左右，中國古代思想家墨子語：專業(yè)課件，精彩無限！5二、數(shù)列的定義【例如】專業(yè)課件，精彩無限！6【注意】1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)專業(yè)課件，精彩無限！7單擊任意點(diǎn)開始觀察三、數(shù)列的極限觀察結(jié)束專業(yè)課件，精彩無限！8【問題1】當(dāng)

無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?【問題2】“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它，描述它。通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:【直觀定義】當(dāng)n無限增大時(shí)，xn無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，稱a是數(shù)列xn的極限.“距離任意小”專業(yè)課件，精彩無限！9專業(yè)課件，精彩無限！10【發(fā)散】如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.【說明】發(fā)散有①不存在；②-∞；③+∞；④∞。1.【精確定義】設(shè){xn}為一數(shù)列,

若存在常數(shù)a

,

對任給定的正數(shù)ε(不論它多么小),

總存在正數(shù)N

,使得當(dāng)n>N

時(shí)，不等式

|xn-a|<ε都成立,那么就稱

a是數(shù)列{xn}

的極限,或者稱數(shù)列{xn}

收斂于a,

記為

或?qū)I(yè)課件，精彩無限！11任意、給定二重性：只有任意（?。┎拍芸虅澇鰔n

“無限接近于a

”，而只有給定才能找到相應(yīng)的N.（已知極限存在時(shí)，常用給定性來論證）（但不是函數(shù)關(guān)系，因N不唯一）【注意】（5）.［意義］用一個(gè)有限數(shù)，概括出一個(gè)無限變化的量(用常量研究變量)。專業(yè)課件，精彩無限！123.【幾何解釋】等價(jià)解釋2.【ε—N

定義】Any表任意(給)Exist表存在或至少有一個(gè)【思考】認(rèn)為“當(dāng)n>N時(shí)，有無窮多個(gè)點(diǎn)落在(a-ε,a+ε)內(nèi)”是等價(jià)解釋，正確嗎？專業(yè)課件，精彩無限！13數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.【例1】【證】所以,【注意】專業(yè)課件，精彩無限！14【例2】【證】【練習(xí)】證明常數(shù)列的極限等于它本身.（公式）所以,專業(yè)課件，精彩無限！15【例3】【證】【小結(jié)】用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.—公式專業(yè)課件，精彩無限！16【補(bǔ)例4】【證】放大不等式專業(yè)課件，精彩無限！17【注意】(1)即，通過不等式的放大等措施求出正整數(shù)N，再定出n的范圍，從而保證成立.(2)

N與ε是相對應(yīng)的，但N不是唯一的;N有無窮多個(gè)，則“n>N”允許為“n≥N”.(3)同理，因ε任意，則2ε，等也任意，則允許為專業(yè)課件，精彩無限！18四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.唯一性【定理1】每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.【證】［注意以下證明都是已知極限存在時(shí)，利用ε的給定性來論證的］用反證法專業(yè)課件，精彩無限！19【例5】【證】由定義,區(qū)間長度為1.矛盾【證完】專業(yè)課件，精彩無限！202.有界性【例如】有界無界不可能同時(shí)位于長度為1的區(qū)間內(nèi).專業(yè)課件，精彩無限！21(2)【定理2】收斂的數(shù)列必定有界.【證】由定義,【注意】①逆否命題必成立：無界數(shù)列必定發(fā)散.②逆命題不成立；有界列不一定收斂.③數(shù)列有界是收斂的必要條件.專業(yè)課件，精彩無限！223.保號性【定理3】【證明】由數(shù)列極限定義，有從而【證完】專業(yè)課件，精彩無限！23【推論】【證明】以下用反證法由定理3知【證完】專業(yè)課件，精彩無限！244.【子數(shù)列的收斂性】（收斂列與其子列的關(guān)系）【注意】［例如］（1）【定義】①②③專業(yè)課件，精彩無限！25（2）【定理4】收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．【證】【分析】欲證專業(yè)課件，精彩無限！26【證畢】（尋找到K）專業(yè)課件，精彩無限！27【注意】a.常用此關(guān)系判斷一個(gè)數(shù)列極限不存在方法①：若數(shù)列有兩個(gè)子列收斂于不同的極限，則原數(shù)列發(fā)散.如數(shù)列方法②：若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散,則原數(shù)列發(fā)散.

如b.上例說明了發(fā)散數(shù)列也可能有收斂的子列.專業(yè)課件，精彩無限！28五、小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性.專業(yè)課件，精彩無限！29【思考題】【錯(cuò)證】可以證明因?yàn)榻庑碌牟坏仁焦十?dāng)時(shí)必有［證完］專業(yè)課件，精彩無限！30【思考題解答】【分析】錯(cuò)誤①：極限是1明顯是不對的，應(yīng)為0.錯(cuò)誤②：推導(dǎo)過程中又將不適當(dāng)?shù)姆糯?，致使不等式：不能對任何?gt;0成立.［例如］取ε=1/2時(shí)，找不到n滿足該不等式.【結(jié)論】極限的分析定義嚴(yán)格描述了極限過程，如果