第六章不定積分

《數學分析（1，2，3）》教案PAGE7第六章不定積分§1不定積分概念與運算法則微分法的基本問題——從已知函數求出它的導數；但在某些實際問題中，往往需要考慮與之相反的問題——求一個已知函數，使其導數恰好是某一已知函數——這就是所謂的積分問題。一原函數與不定積分定義1設函數與在區(qū)間上有定義。若，，則稱為在區(qū)間上的一個原函數。如：是在R上的一個原函數；等都是在R上的原函數——若函數存在原函數，則其原函數不是唯一的。問題1在什么條件下必存在原函數？若存在，其個數是否唯一；又若不唯一，則有多少個？問題2若函數的原函數存在，如何將它求出？定理1設是在在區(qū)間上的一個原函數，則（1）設是在在區(qū)間上的原函數，其中C為任意常量（若存在原函數，則其個數必為無窮多個）。（2）在上的任何兩個原函數之間，只可能相差一個常數。定義2函數在區(qū)間上的原函數的全體稱為在上的不定積分，記作：其中積分號；被積函數；被積表達式；積分變量。注:是一個整體記號；注：不定積分與原函數是總體與個體的關系，即若是的一個原函數，則的不定積分是一個函數族，其中是任意常數，于是，記為：=。此時稱為積分常數，它可取任意實數。故有——先積后導正好還原；——先導后積還原后需加上一個常數（不能完全還原）。如：。不定積分的幾何意義：若是的一個原函數，則稱的圖象為的一條積分曲線。于是，的不定積分在幾何上表示的某一條積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一組積分曲線組成的曲線族。結論：若在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處作切線，則這些切線互相平行。二不定積分的基本公式由于不定積分的定義不象導數定義那樣具有構造性，這就使得求原函數的問題要比求導數難得多，因此，我們只能先按照微分法的已知結果去試探。首先，我們把基本導數公式改寫成基本積分公式：1.；2.；3.，；4.，；5.；6.，；7.，；8.，；9.；10.；11.；12.；13.；14.。牢記上述基本積分公式。三不定積分的運算法則定理2若函數與在區(qū)間上都存在原函數，為兩個任意常數，則也存在原函數，且（積分的線性）。注：線性法則的一般形式為：。例：求。例：求。例：求§2不定積分的計算一“湊”微分法有一些不定積分，將積分變量進行一定的變換后就能有基本的積分公式求出所需的積分。例：求。例：求。例：求。注：為了求積分，把它湊成如下的形式，作代換，于是有，如果這個積分可在基本積分公式中查到為，再代回原來的變量，就求得積分。二換元積分法定理1（換元積分法）設連續(xù)，及皆為連續(xù)，的反函數存在且連續(xù)，并且，則。注：在換元積分法中是將被積函數的某一部分視為一個整體看作一個新的積分變量。例：求。例：求。例：求。使用換元積分法的關鍵：在于把被積表達式湊成形式，從而作變換，化積分為：。但要注意的是最后要換回原積分變量。例：求。三分部積分法定理2（分部積分法）若與可導，不定積分存在，則不定積分也存在，且，即。例：求。例：求。例：求和.四有理函數積分法定義：設和是兩個多項式，凡形如的函數稱為有理函數。重要結論：任何一個有理函數必定可以表示為若干個形如（稱為簡單分式）：（1）；（2）；（3）；（4）。的簡單分式之和，其中A，B，為常數，為正整數。因此，對有理函數的積分只要討論上述四種形式的積分即可。（1）。（2），。（3），令，并記，，則。同（3）可得，。記，則=，于是，有遞推公式。將這些結果代回，即可求得所求積分。例：求。例：求。五其他類型的積分舉例1、形如的積分只要令就可有理化。例：求。例：求。2、形如的積分把積分分成兩項右邊的積分即可求出，第二個積分配成完全平方，使成為。例：求。3、形如的積分把積分分成兩項右邊的積分即可求出，第二個積分配成完全平方，使成為或的積分。例：求4、形如的積分對于三角有理式的不定積分，一般通過變換（萬能變換），可把它化為有理函數的積分：；；；故。例：求。注意：上述變換對三角有理式的不定積分