第二講可靠性模型

（優(yōu)選）第二講可靠性模型目前一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)1.背景知識

隨機(jī)性和概率磨刀不誤砍材工本部分材料來源于目前二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)樣本空間1、樣本空間：實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為S={e}；2、樣本點(diǎn):試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為e.

3、由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個(gè)基本事件,也記為e.

目前三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)隨機(jī)事件試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素兩個(gè)特殊事件:必然事件S

、不可能事件例如對于試驗(yàn)硬幣拋3次

，以下A、

B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件:A＝“至少出一個(gè)正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH}

再如，試驗(yàn)E6中D＝“燈泡壽命超過1000小時(shí)”＝{x:1000<x<T(小時(shí)）}。目前四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)概率的定義及其運(yùn)算從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？目前五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)若某實(shí)驗(yàn)E滿足1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公認(rèn)）P(e1)=P(e2)=…=P(en).則稱E為古典概型也叫等可能概型。古典概型與概率目前六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:目前七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)例:有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?設(shè)A--至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}目前八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)某人向目標(biāo)射擊，以A表示事件“命中目標(biāo)”，P（A）=？?定義:事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).

即

fn(A)＝nA/n.頻率與概率目前九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)歷史上曾有人做過試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005目前十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)頻率的性質(zhì)(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率目前十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)1.定義若對隨機(jī)試驗(yàn)E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P(S)＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。目前十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)2.概率的性質(zhì)(1)有限可加性：設(shè)A1，A2，…An,是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

A、B是兩個(gè)事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調(diào)不減性：若事件AB，則P(A)≥P(B)目前十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，…，An的情形；(3)互補(bǔ)性：P(A)＝1－P(A);(5)可分性：對任意兩事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

目前十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)隨機(jī)變量的概念定義.

設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對于每一個(gè)eS，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z或、、等表示隨機(jī)變量的特點(diǎn):

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機(jī)事件目前十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)顧名思義，隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量，正如隨機(jī)事件是“其發(fā)生與否隨機(jī)會(huì)而定”的事件．機(jī)會(huì)表現(xiàn)為的試驗(yàn)結(jié)果，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個(gè)要看機(jī)會(huì)，即有一定的概率．最簡單的例子如擲骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取1，…，6等6個(gè)值．到底是哪一個(gè)，要等擲了骰子以后才知道．因此又可以說，隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果函數(shù)．從這一點(diǎn)看，它與通常的函數(shù)概念又沒有什么不同．把握這個(gè)概念的關(guān)鍵之點(diǎn)在于試驗(yàn)前后之分：在試驗(yàn)前我們不能預(yù)知它將取何值，這要憑機(jī)會(huì)，“隨機(jī)”的意思就在這里，一旦試驗(yàn)后，取值就確定了．比如你在星期一買了—張獎(jiǎng)券，到星期五開獎(jiǎng)．在開獎(jiǎng)之前，你這張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的金額X是一個(gè)隨機(jī)變量，其值耍到星期五的“抽獎(jiǎng)試驗(yàn)”做過以后才能知道．目前十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)明白了這一點(diǎn)就不難舉出一大堆隨機(jī)變量的例子．比如，你在某廠大批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽出100個(gè)，其中所含廢品數(shù)X；一月內(nèi)某交通路口的事故數(shù)X；用天平秤量某物體的重量的誤差X；隨意在市場上買來一架電視機(jī)，其使用壽命X等等，都是隨機(jī)變量．若把隨機(jī)變量X取所有可能值的概率計(jì)算出來，列成一個(gè)表格，則很容易算出任何一個(gè)由X取值落在某一區(qū)域表示的事件，如擲骰子，至少擲出1點(diǎn)的概率。目前十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)椋瑢τ谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．當(dāng)然，有時(shí)我們所關(guān)心的是某個(gè)或某些特定的隨機(jī)事件．例如，在特定一群人中，年收入十萬元以上的高收入者，及年收入在8000元以下的低收入者，各自的比率如何，這看上去像是兩個(gè)孤立的事件．可是，若我們引進(jìn)一個(gè)隨機(jī)變量的X：X＝隨機(jī)抽出一個(gè)人其年收入，則X是我們關(guān)心的隨機(jī)變量．上述兩個(gè)事件可分別表為X＞10萬和X＜0.8萬．這就看出：隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念之內(nèi)．也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量．目前十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)離散型隨機(jī)變量定義:若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布?？杀頌?/p>

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …目前十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，2分布律的性質(zhì)目前二十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)幾個(gè)常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布1.(0-1)分布若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)

X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或目前二十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。

記作X~B（n,p)

,其分布律為：2.

定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).目前二十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)例.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.(1)X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:目前二十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)泊松定理設(shè)隨機(jī)變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

目前二十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)（二.）泊松(Poisson)分布P()X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)目前二十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布目前二十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念

定義設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).目前二十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。目前二十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)一般地，對離散型隨機(jī)變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例

設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。目前二十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量:一、概率密度

1.定義:

對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實(shí)數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-<x<+)目前三十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)密度函數(shù)的幾何意義為目前三十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布1.均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)對任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有目前三十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)2.指數(shù)分布若X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為目前三十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布目前三十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)其中為實(shí)數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機(jī)變量目前三十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)

(1)單峰對稱

密度曲線關(guān)于直線x=對稱；

f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個(gè)特性：目前三十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布目前三十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。目前三十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，則正態(tài)分布表目前三十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)2.可靠性模型概述目前四十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)目標(biāo)在開發(fā)過程中，如果我們能夠?qū)M件或者系統(tǒng)預(yù)測失效的概率估計(jì)下一次失效的平均時(shí)間預(yù)測（遺留）失效的個(gè)數(shù)

將大大有助于我們提高軟件的質(zhì)量.這樣的任務(wù)是可靠性模型的目標(biāo).目前四十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)可靠性模型可靠性模型引入缺陷:產(chǎn)品的特點(diǎn)(e.g.,程序大小)開發(fā)過程(e.g.,軟件工具和技術(shù)，人員的經(jīng)驗(yàn)等.)去除缺陷:失效的發(fā)現(xiàn)

(e.g.,extentofexecution,operationalprofile)修復(fù)活動(dòng)的質(zhì)量環(huán)境目前四十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)兩類可靠性問題單一失效描述:系統(tǒng)（組件）中失效的概率是多少?多重失效描述:如果系統(tǒng)（組件）在時(shí)刻t1,t2,…,ti-1,失效，那么它在時(shí)刻ti

失效的概率是多少?目前四十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)失效描述（1）失效的時(shí)間失效之間間隔的時(shí)間到給定的時(shí)間累計(jì)的失效在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)歷的失效Failureno.Failuretimes(hours)Failureinterval(hours)1101021993321344311558156701278818810315912522101502511169191219930132313214256251529640Timebasedfailurespecification目前四十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)失效描述（2）失效的時(shí)間失效之間間隔的時(shí)間到給定的時(shí)間累計(jì)的失效在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)歷的失效Time(s)CumulativeFailuresFailuresininterval30226053907212081150102180111210121240131270141Failurebasedfailurespecification目前四十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)模型分類Timedomain

:

日歷時(shí)間還是執(zhí)行時(shí)間Category

:

失效的數(shù)目是有限的還是無限的.Type

:

依據(jù)時(shí)間，經(jīng)歷的失效數(shù)目的分布情況.Class(onlyfinitecategory):

失效強(qiáng)度依據(jù)時(shí)間的函數(shù)形式.Family(onlyinfinitecategory):

依據(jù)經(jīng)歷的失效的期待數(shù)目，失效強(qiáng)度的函數(shù)形式.目前四十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)各種可靠性模型（1）指數(shù)失效類模型(ExponentialFailureClassModels)Jelinski-Morandamodel(JM)NonhomogeneousPoissonProcessmodel(NHPP)SchneidewindmodelMusa’sBasicExecutionTimemodel(BET,基本指數(shù)模型)Hyperexponentialmodel(HE)Others目前四十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)各種可靠性模型（2）WeibullandGammaFailureClassModelsWeibullmodel(WM)S-shapedReliabilityGrowthmodel(SRG)BayesianModelsLittlewood-VerrallModelInfiniteFailureCategoryModelsDuane’smodelGeometricmodelMusa-OkumotoLogarithmicPoissonmodel（對數(shù)泊松模型）目前四十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)另一種分類（1）失效間隔時(shí)間模型Jelinski-Moranda(ExponentialFailureModel)Musa-Basic(ExponentialFailure

Model)NHPP(ExponentialFailure

Model)Geometric(InfiniteFailure

Model)Musa-Okumoto(InfiniteFailure

Model)Littlewood-Verrall(BayesianModel)目前四十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)另一種分類（2）失效統(tǒng)計(jì)模型GeneralizedPoissonShick-WolvertonYamadaS-shapedNHPP(ExponentialFailure

Model)Schneidewind(ExponentialFailure

Model)目前五十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)模型的選擇投影有效性（ProjectiveValidity）：從過去和當(dāng)前的失效行為預(yù)測將來失效行為的能力假設(shè)的質(zhì)量（QualityofAssumption）：能否有效的檢測假設(shè)的正確性可應(yīng)用性（Applicability）：針對不同的軟件，不同的開發(fā)階段，不同的操作環(huán)境的有效性簡單性（Simplicity）：易于理解，易于估計(jì)參數(shù)，易于收集所需的數(shù)據(jù)目前五十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)3.單一失效模型SingleFailureModel目前五十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)硬件可靠性模型均勻模型:失效的概率是固定的.指數(shù)模型:失效的概率隨時(shí)間按照指數(shù)規(guī)律發(fā)生變化ftTftT目前五十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)單一失效模型（1）概率密度函數(shù)ProbabilityDensityFunction(PDF):

顯示到給定時(shí)刻t為止，失效的概率PDF的一個(gè)一般形式為指數(shù)分布我們經(jīng)常需要知道在失效前，組件正常工作的時(shí)間，也就是說，從時(shí)間0到t，失效的概率.目前五十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)單一失效模型（2）累積密度函數(shù)(CDF):

顯示直到給定的時(shí)刻t，累計(jì)的失效概率.對于指數(shù)分布,CDF為:目前五十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)單一失效模型（3）可靠性函數(shù)(R):

顯示一個(gè)組件的功能直到時(shí)刻t依舊不失效的的概率.對于指數(shù)分布,R為:目前五十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)單一失效模型（4）什么是失效時(shí)間T的期待值?它是概率密度函數(shù)(PDF)的平均值,被稱為失效平均時(shí)間meantimetofailure(MTTF)對于指數(shù)分布,MTTF為:目前五十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)單一失效模型（5）失效時(shí)間中值Mediantimetofailure(tm):

一個(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)tm

，在該點(diǎn)前的失效概率和在其后的失效概率是一樣的.失效率FailureRatez(t):

概率密度函數(shù)除以可靠性函數(shù).

對于指數(shù)分布,z(t)

為:λ目前五十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)失效率的含義系統(tǒng)在時(shí)間間隔[t1,t2]中失效的概率為失效率為如果t1前沒有發(fā)生失效，在[t1,t2]中每單位時(shí)間發(fā)生失效的概率從極限的角度目前五十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)它表示了在元件的生命周期中失效概率的變化盡管在某時(shí)刻兩個(gè)設(shè)計(jì)的可靠性可能一樣，但是在該點(diǎn)的失效率可能不一樣目前六十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)單一失效模型（6）系統(tǒng)可靠性:

為各個(gè)組件的可靠性的乘積.對于指數(shù)分布:目前六十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)單一失效模型（7）系統(tǒng)累計(jì)失效率（SystemCumulativeFailureRate）:

所有的組件的失效率之和.對于指數(shù)分布:目前六十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)4.可靠性增長模型ReliabilityGrowthModel目前六十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)可靠性增長模型（1）我們可以假定所有的失效（例如用類似的硬件組件替換原來的，失效密度函數(shù)(probabilitydensityfunction,PDF)都是相同的.軟件中，我們需要“修復(fù)”問題，通過修復(fù)，系統(tǒng)應(yīng)該有更低的失效概率(orlongerΔti=ti-ti-1).因此，我們需要一個(gè)可靠性增長模型

(i.e.,可靠性隨時(shí)間的變化).目前六十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)可靠性增長模型（2）一般的可靠性增長模型為:基本的指數(shù)模型（BasicModel,Musa)對數(shù)泊松模型(LogarithmicPoisson,Musa-Okumoto)基本的指數(shù)模型假定在無限的時(shí)間內(nèi)存在有限個(gè)失效(ν0).對數(shù)泊松模型假定無限個(gè)失效.目前六十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)模型的有效性在軟件生命周期中，軟件系統(tǒng)一般經(jīng)過多次變化（升級）.這些模型符合一次修改的情形而不是整個(gè)生命周期RevisionPeriod1RevisionPeriod4目前六十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)可靠性增長模型（3）可靠性增長模型中的參數(shù):失效強(qiáng)度Failureintensity(λ):

每自然或者時(shí)間單位的失效個(gè)數(shù).執(zhí)行時(shí)間Executiontime(τ):

程序運(yùn)行的時(shí)間.執(zhí)行時(shí)間可能與日歷時(shí)間不一樣.經(jīng)歷的平均失效的個(gè)數(shù)(μ):

在一個(gè)時(shí)間區(qū)間中，經(jīng)歷的平均失效個(gè)數(shù).目前六十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)可靠性增長模型（5）失效強(qiáng)度(λ)versus

執(zhí)行時(shí)間(τ)目前六十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)例子（基本模型）假定初始的失效強(qiáng)度為10失效/執(zhí)行小時(shí)，總的失效為100，10個(gè)小時(shí)的失效強(qiáng)度為（對數(shù)泊松模型），初始失效強(qiáng)度同上，失效強(qiáng)度衰減系數(shù)為0.02/失效目前六十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)可靠性增長模型（6）失效強(qiáng)度(λ)versus經(jīng)歷的平均失效個(gè)數(shù)(μ)

目前七十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點(diǎn)例子假定一個(gè)程序在無限的時(shí)間