2023屆江蘇省南通市高三下學(xué)期第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題

2023屆江蘇省南通市高三下學(xué)期第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．已知P，Q為R的兩個(gè)非空真子集，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)條件畫出圖，根據(jù)圖形，判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，對(duì)于選項(xiàng)A：由題意知P是Q的真子集，故，，故不正確，對(duì)于選項(xiàng)B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正確.對(duì)于選項(xiàng)C：由是的真子集知，，，故不正確，對(duì)于選項(xiàng)D：Q是的真子集，故，，故不正確，故選：B2．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.3．將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成成等差數(shù)列的概率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，每次都有種情況，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種情況，、分兩種情況討論骰子落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的情況，可得符合條件的情況數(shù)目，由古典概型概率公式可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，每次都有種情況，則共有種情況，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列，分兩種情況討論：①若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)若不同，則為或或或或或，共有種可能，每種可能的點(diǎn)數(shù)順序可以顛倒，即有種情況，共有種情況；②若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)全相同，有種情況，共有種情況，落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為，故選A.點(diǎn)睛：本題考查古典概型概率公式，屬于中檔題.在解古典概型概率題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.4．已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，則滿足的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】設(shè)，由，可得，則，討論兩種情況即可得答案.【詳解】設(shè)，則因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，即，有兩組滿足條件，當(dāng)時(shí)，或，所以，，但時(shí)，不符合題意，故個(gè)數(shù)為4，故選：C.5．1471年米勒提出了一個(gè)問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長(zhǎng)即可見角最大后人稱其為“米勒問題”.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為直線l上兩點(diǎn)A，，則上述問題可以轉(zhuǎn)化為如下模型：如圖1，直線l垂直于平面，l上的兩點(diǎn)A，B位于平面同側(cè)，求平面上一點(diǎn)C，使得，當(dāng)最大時(shí)，（

）A．2ab B． C． D．a(chǎn)b【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，然后由正切的和差角公式即可得到，再由基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】有題意可知，是銳角且，因?yàn)?，所以，且，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)，，此時(shí)最大.故選:B6．在三棱錐中，平面BCD，，則已知三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，求得的外接圓的半徑為，結(jié)合圖形求得三棱錐外接球半徑，然后換元利用基本不等式及不等式的性質(zhì)得的最小值，從而可得面積的最小值．【詳解】如圖，設(shè)，，為的外心，為三棱錐外接球的球心，則平面，又平面，所以，平面，則，四邊形是直角梯形，設(shè)，，，由平面，平面，得，則，，，即，又，則，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐外接球表面積，故選：B．【點(diǎn)睛】結(jié)論與方法點(diǎn)睛：（1）三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此易找到球心；（2）特殊的三棱錐，如有從同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，或三棱錐的三對(duì)棱相等則可把三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為外接球的直徑．（3）如果三棱錐的一條棱與一個(gè)面垂直，可把此三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)直三棱柱，直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球．7．雙曲線和橢圓的右焦點(diǎn)分別為，，，分別為上第一象限內(nèi)不同于的點(diǎn)，若，，則四條直線的斜率之和為（

）A．1 B．0 C． D．不確定值【答案】B【分析】設(shè)為原點(diǎn)，則，，結(jié)合題意可得，即可得到.由可得，進(jìn)而得到.設(shè)，，分別代入雙曲線和方程，可得，再表示出和，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)為原點(diǎn)，則，，而，得，所以、、三點(diǎn)共線.因?yàn)?，所以，且，得，所以，?設(shè)，，分別代入雙曲線和，則，即，所以，，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，即.故選：B.8．函數(shù)的定義域均為，且，關(guān)于對(duì)稱，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知、方程、函數(shù)的對(duì)稱性、周期性進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋?/p>

，對(duì)于②式有：，由①+有：，即，又關(guān)于對(duì)稱，所以，由④⑤有：，即，，兩式相減得：，即，即，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以的周期?，又，所以，由④式有：，所以，由，有：，所以，由⑤式有：，又，所以，由②式有：，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.二、多選題9．下列命題中正確是（

）A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B．已知隨機(jī)變量X~，若，則C．已知隨機(jī)變量~，且函數(shù)為偶函數(shù)，則D．已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為【答案】ACD【分析】利用中位數(shù)的概念即可判斷A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，利用二項(xiàng)分布的方差公式及方差性質(zhì)求解；對(duì)選項(xiàng)C，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解，對(duì)選項(xiàng)D，利用平均數(shù)和方差公式計(jì)算即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，函數(shù)為偶函數(shù)，則，區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱，故，選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，分層抽樣的平均數(shù)，按分成抽樣樣本方差的計(jì)算公式，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10．重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A，B，表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，所以，所以，故B正確；，由于，故，故，故C錯(cuò)誤；由于，故，而，所以，所以，故D正確，故選：ABD11．在長(zhǎng)方體中，，則下列命題為真命題的是（

）A．若直線與直線所成的角為，則B．若經(jīng)過點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，且與面交于點(diǎn)，則C．若經(jīng)過點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為，則D．若經(jīng)過點(diǎn)的平面與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為，則【答案】ABC【分析】A根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)找到直線與直線CD所成角的平面角即可；B構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線線角相等，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示求，即可求M坐標(biāo)，進(jìn)而確定線段長(zhǎng)；C、D將長(zhǎng)方體補(bǔ)為以為棱長(zhǎng)的正方體，根據(jù)描述找到對(duì)應(yīng)的直線m、平面β，結(jié)合正方體性質(zhì)求線面角、面面角的正弦值.【詳解】解：對(duì)于A：如下圖，直線與直線所成角，即為直線與直線所成角，則，故A正確；對(duì)于B：構(gòu)建如下圖示的坐標(biāo)系，過的直線與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，與面交于且，又，則，故，則，故B正確；對(duì)于C：如下圖，過A的直線m與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為θ，則直線m為以為棱長(zhǎng)的正方體的體對(duì)角線，故，故C正確；對(duì)于D：如下圖，過A的平面β與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為，只需面β與以為棱長(zhǎng)的正方體中相鄰的三條棱頂點(diǎn)所在平面平行，如面，故，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12．過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點(diǎn)為、、不重合，設(shè)直線、分別與y軸交于點(diǎn)A、B，則（

）A．、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值 B．直線的斜率為定值C．線段AB的長(zhǎng)度為定值 D．面積的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)切線方程的定義，利用分類討論的思想，可得整理切線方程，根據(jù)直線垂直可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積，進(jìn)而可得縱坐標(biāo)的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得的坐標(biāo)，可得答案.【詳解】由函數(shù)，則，設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，故B正確；對(duì)于C，易知直線，直線，令，則，即，同理可得，，故C正確；對(duì)于D，聯(lián)立，整理可得，解得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的值為_______．【答案】【解析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因?yàn)椋?，解得，因?yàn)椋?故答案為：.14．的展開式中的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】先將看成一項(xiàng)，得到展開式通項(xiàng)公式，確定，進(jìn)而簡(jiǎn)化通項(xiàng)公式，得到與時(shí)滿足要求，求出展開式中的系數(shù),相加得到答案.【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為，由于求解的是展開式中的系數(shù)，故，其中展開式通項(xiàng)公式為，，令得：，此時(shí)展開式中的系數(shù)為，令得：，此時(shí)展開式中的系數(shù)為，綜上：展開式中的系數(shù)為.故答案為：15．若對(duì)于任意的x，．不等式恒成立，則b的取值范圍為______．【答案】【分析】不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得的最小值為，所以，即，z令，轉(zhuǎn)化為，對(duì)求導(dǎo)知當(dāng)時(shí)，取最大值為，即可求出b的取值范圍.【詳解】由，得，設(shè)，則,令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即，所以，所以，即，令，則，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以b的取值范圍為.故答案為：.16．弓琴（如圖），也可稱作“樂弓”，是我國(guó)彈弦樂器的始祖．古代有“后羿射十日”的神話，說明上古生民對(duì)善射者的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸．在我國(guó)古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正面為一橢圓面，它有多條弦，撥動(dòng)琴弦，音色柔弱動(dòng)聽，現(xiàn)有某研究人員對(duì)它做出改進(jìn)，安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強(qiáng)勁悅耳．下圖是一弓琴琴腔下部分的正面圖．若按對(duì)稱建立如圖所示坐標(biāo)系，為左焦點(diǎn)，均勻?qū)ΨQ分布在上半個(gè)橢圓弧上，為琴弦，記，數(shù)列前n項(xiàng)和為，橢圓方程為，且，則取最小值時(shí)，橢圓的離心率為__________.【答案】【分析】根據(jù)焦半徑公式可得，從而可知數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而可求得，再根據(jù)的橫坐標(biāo)為八等分可得，從而可得，進(jìn)而表示出，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值，從而求解離心率.【詳解】設(shè)，有，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，，由題意，的橫坐標(biāo)為八等分，所以，而，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)離心率為，故答案為:.四、解答題17．如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，為正三角形，D為AC的中點(diǎn)..(1)證明：平面平面；(2)若二面角的平面角為銳角，且三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一，可證明，，再根據(jù)線面垂直判定定理證明平面.，由此可證明平面平面；(2)根據(jù)題意，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在射線上，再根據(jù)錐體體積公式可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法，求二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：∵，D為AC中點(diǎn)，∴.又為等邊三角形，，∴.∵，BD，平面PDB，∴平面PDB.∵平面PAC，∴平面平面.（2）∵為正三角形，，∴

的面積為，設(shè)三棱錐的底面上的高為，，作于O，由(1)平面,所以，又，所以，所以O(shè)是DB的中點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)是平面PAB的一個(gè)法向量,取設(shè)是平面PBC的一個(gè)法向量取，設(shè)二面角的平面角為，則.18．在數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，適當(dāng)整理，可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）利用不等式基本性質(zhì)可得，進(jìn)而.將不等式右邊設(shè)為，利用錯(cuò)位相減求和法運(yùn)算化簡(jiǎn)后，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）解：∵，∴，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而，則.（2）證明：∵，∴.設(shè)，則，兩式相減得，從而，故.19．設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中i，，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：現(xiàn)有個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子的球的個(gè)數(shù)為X，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為(1)當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列；(2)設(shè)，且，求【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由聯(lián)合分布列的定義，分別求得對(duì)應(yīng)概率即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，然后由二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，的可能取值為，的可能取值為則，，，，，，，所以的聯(lián)合分布列為:（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，設(shè)，則由二項(xiàng)分布的期望公式得.20．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)若，證明：；(2)若，證明：.【答案】(1)見詳解；(2)見詳解.【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊，整理即可；（2）根據(jù)正弦定理推得，即可得到.通過分析，可得以及，代入，整理可得到，令，構(gòu)造，求導(dǎo)得到在.【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，，所以，由余弦定理及其推論可得，，，所以，由已知可得，，即，因?yàn)?，所?（2）證明：由已知得，，又由正弦定理可得，，因?yàn)?，所?由（1）知，，則，又由正弦定理可得，，又，則，將以及代入可得，，整理可得，，因?yàn)椋?，，所以，則.令，則，，則，所以，當(dāng)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.所以，，即.綜上所述，.21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距與短軸長(zhǎng)均為4．(1)求E的方程；(2)設(shè)任意過的直線為l交E于M，N，分別作E在點(diǎn)M，N上的兩條切線，并記它們的交點(diǎn)為P，過作平行于l的直線分別交于A，B，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦距和短軸的公式求解即可；（2）設(shè)的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)橢圓的切線方程，聯(lián)立可得，設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理可得，再結(jié)合三角形與橢圓的性質(zhì)可得四點(diǎn)共線，從而化簡(jiǎn)，