2023屆四川省綿陽市高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆四川省綿陽市高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式，再求交集即可.【詳解】由，可得，由，可得，所以.故選：B2．若命題:“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求的最小值，從而得參數(shù)范圍．【詳解】因?yàn)槊}“，”是真命題，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．3．若，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)和冪函數(shù)單調(diào)性依次判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，在上單調(diào)遞增，，即，B錯誤；對于C，在上單調(diào)遞減，，C錯誤；對于D，在上單調(diào)遞增，，D正確.故選：D.4．設(shè)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由換底公式化簡后，對數(shù)式改寫為指數(shù)式即可．【詳解】因?yàn)?，∴．故選：A．5．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式展開，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，整體代入即可得到..【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，解得.故選：B6．在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，若，則（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由得，所以，所以，即，故選：C.7．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除A,再根據(jù)函數(shù)在處函數(shù)值的正負(fù)排除B和C,得出結(jié)果.【詳解】,為偶函數(shù),排除A.,排除B和C.故選:D.8．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出導(dǎo)函數(shù),令結(jié)合切線的斜率求出,再將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求出即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式,當(dāng)時,,,即.滿足方程,即,.故選:A.9．若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】由于函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，所以，所以，由于，則，因?yàn)?，所以可得：，故選：C10．某地錳礦石原有儲量為萬噸，計(jì)劃每年的開采量為本年年初儲量的（，且為常數(shù)）倍，那么第（）年在開采完成后剩余儲量為，并按該計(jì)劃方案使用10年時間開采到原有儲量的一半．若開采到剩余儲量為原有儲量的70%時，則需開采約（

）年．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意得關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)與對數(shù)式的互化即可求解.【詳解】設(shè)第年開采完后剩余儲量為，則，當(dāng)時，，所以，，故，進(jìn)而，設(shè)第年時，，故，故,故選：B11．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用三角誘導(dǎo)公式化簡表示出，然后運(yùn)用正切的半角公式可求.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：D.12．若函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則下列說法正確的是（

）A．的一個周期為 B．C．的一條對稱軸為 D．【答案】D【分析】令，則得是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，然后得出的圖象關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，再根據(jù)周期性、對稱性、奇偶性推理可得．【詳解】令，則是偶函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，為偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱，，關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，，是奇函數(shù)，是周期函數(shù)，周期是4，2顯然不是函數(shù)的周期，也不是的周期，A錯；，，∴，不是函數(shù)圖象的對稱軸，也不是圖象的對稱軸，C錯；，因此，D正確，，，，，∴，B錯．故選：D．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則是周期函數(shù)，是其一個周期；（2）函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，是其一個周期；（3）函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則是周期函數(shù)，是其一個周期．二、填空題13．在正方形中，，則正方形的邊長為___________.【答案】5【分析】利用向量的數(shù)量積的定義直接求得.【詳解】在正方形中，.設(shè)，則，解得：.所以正方形的邊長為5.故答案為：5.14．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則___________.【答案】31【分析】設(shè)出公比，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公比和首項(xiàng)，代入前項(xiàng)和公式即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)樗?，因?yàn)?，解得：，又因?yàn)?，解得，則.故答案為：31.15．函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得關(guān)于的不等式，故可求其取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，而，故為上的增函數(shù)，故，解得或，答案為：.16．某游樂場中的摩天輪做勻速圓周運(yùn)動，其中心距地面20.5米，半徑為20米．假設(shè)從小軍同學(xué)在最低點(diǎn)處登上摩天輪開始計(jì)時，第6分鐘第一次到達(dá)最高點(diǎn)．則第10分鐘小軍同學(xué)離地面的高度為______米．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)定義將摩天輪的高度求出，即可求解.【詳解】以摩天輪的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行地面的直徑所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)時刻的坐標(biāo)為，轉(zhuǎn)過的角度為，根據(jù)三角函數(shù)的定義有，地面與坐標(biāo)系交線方程為，則第10分鐘時他距離地面的高度大約為米.故答案為：三、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)求在上的解.【答案】(1)(2)【分析】（1）現(xiàn)根據(jù)三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)得性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得出答案；（2）由，得，再求出得范圍，從而可得出答案.【詳解】（1）解：，令，解得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）解：由，得，，，解得.18．已知等差數(shù)列滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“基本量”法，即可求解.（2）利用裂項(xiàng)相消,即可求和.【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，所以，（2）解：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19．在銳角中，角所對的邊為，且.(1)證明:(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由正弦定理化簡可得，即可證明.（2）因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，可求出的范圍，即可求出的范圍，由正弦定理化簡，可求出的取值范圍.【詳解】（1）∵，由正弦定理，得，即，∴，∴或（舍），即，（2）由銳角△ABC，可得，，．即，∴．由正弦定理可得：，所以.所以的取值范圍為：.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值;(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極大值0，極小值(2)【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與零的大小關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解；(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)得出函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，則滿足，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，列出不等式組，解之即可求解.【詳解】（1）由題意得.當(dāng)時，由，得或.由，得.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當(dāng)時，函數(shù)取極大值，函數(shù)的極大值為，當(dāng)時，函數(shù)取極小值，函數(shù)的極小值為.（2）由（1）可知：當(dāng)或時，函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，最多只有一個零點(diǎn).當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.要使函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，則需滿足:且解得：.21．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)當(dāng)時，，求.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，（2）構(gòu)造函數(shù)證明不等式后轉(zhuǎn)化求解，【詳解】（1），則①當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，由得，解得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2），則令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，，不等式即恒成立，得當(dāng)時，，不等式即恒成立，得綜上得，下面進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)時，由得或，由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故時滿足題意．22．在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)判斷直線和圓的位置關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)是圓上一動點(diǎn)，，若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．【答案】(1)直線和圓C相離；理由見解析(2)【分析】（1）把直線方程和圓的方程都化為普通方程，利用圓心到直線距離判斷直線與圓的位置關(guān)系.（2）用參數(shù)方程表示點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離求值，再計(jì)算向量坐標(biāo)和向量數(shù)量積.【詳解】（1）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消參得圓C的普通方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為3．直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消參得直線的普通方程為．∵圓心C到直線的距離，∴直線和圓C相離．（2）設(shè)，由點(diǎn)到直線