2023屆北京市順義區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題

2023屆北京市順義區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算，計(jì)算即可得出答案.【詳解】根據(jù)并集的運(yùn)算可知，.故選：A.2．若圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】直接聯(lián)立方程求A、B坐標(biāo)即可.【詳解】聯(lián)立得，故A、B坐標(biāo)為，即.故選：D3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故A不符合題意；對(duì)于B，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D不符合題意.故選：B.4．已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由條件列方程求.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，雙曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以，故選：C.5．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由可得定義域?yàn)?，則，且在上單調(diào)遞減，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，趨近于負(fù)無窮小，故，且，故可作出函數(shù)的圖象如圖：由此可知不等式的解集是，故選：C6．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則（

）A．0 B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性加減法法則運(yùn)算與數(shù)量積公式運(yùn)算即可求解.【詳解】\故選：B.7．在正方體中，點(diǎn)，分別是棱和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與垂直的直線（

）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條【答案】D【分析】過點(diǎn)作，垂足為，連接，當(dāng)，高度一樣，即時(shí)，一定有，進(jìn)而求解.【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，連接，當(dāng)，高度一樣，即時(shí)，一定有，理由如下：在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，?所以當(dāng)，高度一樣，即時(shí)，一定有，此時(shí)滿足條件的直線有無數(shù)條.故選：D.8．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．若，則（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及兩角差的余弦公式，結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋医桥c角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，.所以.故選：B.9．已知是無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則“為遞增數(shù)列”是“存在使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：因?yàn)槭菬o窮等差數(shù)列，若為遞增數(shù)列，所以公差，令，解得，表示取整函數(shù)，所以存在正整數(shù)，有，故充分；設(shè)數(shù)列為5，3，1，-1，…，滿足，但，則數(shù)列是遞減數(shù)列，故不必要，故選：A10．2022年足球世界杯在卡塔爾舉行，32支參賽隊(duì)通過抽簽分為八個(gè)小組．每個(gè)小組分別有4支球隊(duì)，共打6場(chǎng)比賽，每支球隊(duì)都必須和同組其他3支球隊(duì)進(jìn)行且只進(jìn)行一場(chǎng)比賽．小組賽積分規(guī)則為：勝1場(chǎng)積3分，平1場(chǎng)積1分，負(fù)1場(chǎng)積0分，每個(gè)小組積分前兩名的球隊(duì)出線．若小組賽結(jié)束后，同一小組的甲、乙兩支球隊(duì)分別積6分和5分，則（

）A．甲、乙兩隊(duì)一定都出線 B．甲隊(duì)一定出線，乙隊(duì)可能未出線C．甲、乙兩隊(duì)都可能未出線 D．甲、乙兩支球隊(duì)至少有一支未出線【答案】A【分析】根據(jù)甲、乙兩支球隊(duì)的分?jǐn)?shù)確定這兩支球隊(duì)的得分情況，再結(jié)合另外二隊(duì)的比賽情況分類討論進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)同一組的另兩支球隊(duì)分別為丙、丁，因?yàn)槊恐蜿?duì)要進(jìn)行三場(chǎng)比賽，甲、乙兩支球隊(duì)分別積6分和5分，所以甲球隊(duì)二勝一負(fù)，乙球隊(duì)一勝二平，顯然乙球與丙、丁兩支球隊(duì)平，勝甲，甲球隊(duì)勝丙、丁，此時(shí)丙丁兩隊(duì)一負(fù)一平，積分1分，若丙勝丁，最后丙得4分，丁得1分，若丙與丁平，最后丙丁都得2分，若丁勝丙，最后丙得1分，丁得4分，因?yàn)槊總€(gè)小組積分前兩名的球隊(duì)出線．所以甲、乙兩隊(duì)一定都出線，故選：A二、填空題11．已知復(fù)數(shù),則_____．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算及模長(zhǎng)意義即可求出．【詳解】復(fù)數(shù)z，則|z|，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算及模長(zhǎng)意義，屬于基礎(chǔ)題．12．在的展開式中，的系數(shù)為_________．【答案】【分析】利用二項(xiàng)展開式求通項(xiàng)，再求對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】設(shè)展開式中通項(xiàng)為：令，則.故答案為：三、雙空題13．設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前n和為,且,則_________;_________．【答案】

【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求出從而求出,再代入等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】由,又因?yàn)?所以;所以；故答案為:8；.四、填空題14．能說明“若對(duì)任意的都成立，則在上單調(diào)遞增”為假命題的一個(gè)函數(shù)是_________．【答案】（答案不唯一）【分析】舉例，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】令，則對(duì)任意的都成立，但在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不是增函數(shù).故答案為：.15．已知，均為正數(shù)，并且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①中小于1的數(shù)最多只有一個(gè)；②中小于2的數(shù)最多只有兩個(gè)；③中最大的數(shù)不小于2022；④中最小的數(shù)不小于．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_________．【答案】①②③【分析】對(duì)于①②③，用反證法可以證明；對(duì)于④，舉出反例說明其錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①,假設(shè)存在兩個(gè)小于1的正數(shù),不妨設(shè),則,則,這與矛盾,故中小于1的數(shù)最多只有一個(gè),①正確;對(duì)于②,假設(shè)存在3個(gè)小于2的正數(shù),不妨設(shè),則,則，這與矛盾,故中小于2的數(shù)最多只有兩個(gè),②正確;對(duì)于③,假設(shè),則,則與矛盾,故中最大的數(shù)不小于2022,③正確;對(duì)于④,不妨假設(shè)中最小數(shù)為,取,則取,則,即說明中最小的數(shù)可以小于,④錯(cuò)誤,故答案為:①②③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于關(guān)于最多或最少類命題的解決方法，一般可采用反證法；對(duì)于多個(gè)數(shù)中的最大數(shù)或最小數(shù)的范圍判斷問題，可以用反證法說明反面不成立，證明原命題成立，也可以舉反例說明命題不成立.五、解答題16．在中，．(1)求b；(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求的面積．條件①：；條件②：邊上中線的長(zhǎng)為；條件③：．注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解，（2）根據(jù)題目要求可知只能選擇條件②或③，根據(jù)余弦定理求解，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解正弦，進(jìn)而由面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，在△中，由正弦定理，可得：，又因?yàn)?，所?（2）選擇條件①；由，，以及余弦定理得，該方程無解，故此時(shí)三角形不存在，故不能選擇條件①選擇條件②設(shè)邊上的中線為，則，，在△中，由余弦定理得：，因?yàn)椋?，所以，所以△的面積為.選擇條件③方法1：由題設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以，由余弦定理可得：，整理得，解得（舍），因?yàn)?，，所以，所以△的面積為.方法2：由題設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以在△中，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以△的面積為.方法3：因?yàn)榍遥曰?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以即，所以△為等腰三角形，設(shè)邊上的高為，則，由勾股定理，所以△的面積為.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E是的中點(diǎn)，平面與棱相交于點(diǎn)F．(1)求證：點(diǎn)F為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)G為棱上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)G到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法1：利用面面平行的性質(zhì)可得，由已知條件可證，進(jìn)而利用中位線證明即可；方法2：由已知條件可證，根據(jù)線面平行的判定定理可證平面，再利用線面平行的性質(zhì)證明，最后利用中位線證明即可；（2）方法1：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)垂直關(guān)系的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算得到G點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到平面的向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可；方法2：連接，利用線面垂直的判定定理可證平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，利用垂直關(guān)系可得，進(jìn)而求出，求出各邊長(zhǎng)度，利用余弦定理求出，根據(jù)三角形面積公式求出，，利用等體積法和三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）證明：方法1：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，連接，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊?所以，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).方法2：連接.因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊?所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫鍭CE，平面平面，所以.所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).（2）方法1：因?yàn)?，，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，設(shè)，則，由，得，即，所以，則，所以點(diǎn)到平面的距離.方法2：連接，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所?在平面內(nèi)，由，可得，由勾股定理求出，，，在中由余弦定理得，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，由，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．精彩紛呈的春節(jié)檔電影豐富了人們的節(jié)日文化生活，春節(jié)小長(zhǎng)假期間大批觀眾走進(jìn)電影院．某電影院統(tǒng)計(jì)了2023年正月初一放映的四部影片的上座率，整理得到如下數(shù)據(jù)：影片排片場(chǎng)次上座率（％）A1236

42

45

50

57

62

68

73

80

85

88

94B1035

40

46

52

65

65

78

84

90

95C935

38

47

55

60

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73

82

85D934

37

46

54

60

64

72

81

84(1)從以上所有排片場(chǎng)次中隨機(jī)選取1場(chǎng)，求該場(chǎng)的上座率大于70%的概率；(2)假設(shè)每場(chǎng)影片的上座率相互獨(dú)立．從影片A，B，C的以上排片場(chǎng)次中各隨機(jī)抽取1場(chǎng)，求這3場(chǎng)中至少有2場(chǎng)上座率大于70%的概率；(3)將影片C和影片D在該電影院正月初一的上座率的方差分別記為和，試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)找出所有場(chǎng)次中的上座率大于70%的場(chǎng)次除以樣本總數(shù)即可.(2)從影片A，B，C的以上排片場(chǎng)次中各隨機(jī)抽取1場(chǎng)，求出每場(chǎng)的上座率大于70%的概率，用相互獨(dú)立事件的乘法計(jì)算公式計(jì)算即可.(3)觀察影片C和影片D在該電影院正月初一的上座率的波動(dòng)性，即可比較大小.【詳解】（1）記“從以上所有排片場(chǎng)次中隨機(jī)選取1場(chǎng)，該場(chǎng)的上座率大于70%”為事件.影片A，B，C，D的上座率大于70%的場(chǎng)數(shù)共有5+4+3+3=15，所以.-（2）記“從影片A，B，C的以上排片場(chǎng)次中各隨機(jī)抽取1場(chǎng)，每場(chǎng)的上座率大于70%”分別為事件.其中，，;這3場(chǎng)中至少有2場(chǎng)上座率大于70%的概率為.（3）設(shè)影片C和影片D在該電影院正月初一的上座率的均值為；；；，故.19．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值；(3)設(shè)，證明：對(duì)任意的，有．【答案】(1)y=1(2)最小值1，最大值.(3)證明見解析【分析】（1）先求出在處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程求解；（2）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求解；（3）運(yùn)用同構(gòu)的思想構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性證明.【詳解】（1），，在點(diǎn)處的切線方程為.（2），是偶函數(shù)，則，單調(diào)遞增，，

，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取最小值1，當(dāng)或時(shí)，取最大值.（3）要證明對(duì)任意的，有，只需證明對(duì)任意的，有，，，在上上單調(diào)遞減，，.20．已知橢圓過點(diǎn)和，且．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于，直線分別交直線于點(diǎn)．若，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由題意可得的值，即可得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，與橢圓聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，從而可得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由可得，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算即可得的值．【詳解】（1）由題意可知：所以橢圓C的方程為.（2）直線的方程為，設(shè)，，直線與橢圓方程聯(lián)立可得：，消去可得：，則.直線的方程為：，令可得，直線的方程為：，令可得.，法一：易知與異號(hào)法二：

【點(diǎn)睛】，，然后由得，利用坐標(biāo)關(guān)系化簡(jiǎn)，得到所要求的等量關(guān)系．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．21．已知實(shí)數(shù)集，定義．(1)若，求；(2)若，求集合A；(3)若A中的元素個(gè)數(shù)為9，求的元素個(gè)數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)或者.(3)13【分析】（1）根據(jù)集合的新定義直接求解即可；（2）根據(jù)可得，然后分中4個(gè)非零元素，符號(hào)為一負(fù)三正或者一正三負(fù)進(jìn)行討論即可；（3）分中沒有負(fù)數(shù)和中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況進(jìn)行討論即可求解.【詳解】（1）;（2）首先，；其次中有4個(gè)非零元素，符號(hào)為一負(fù)三正或者一正三負(fù).記，不妨設(shè)或者--①當(dāng)時(shí)，，相乘可知