第四章頻率響應(yīng)法

第四章頻率響應(yīng)法第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三本章主要內(nèi)容：1、頻率特性的定義；2、頻率特性的幾種圖示方法；極坐標(biāo)圖√對數(shù)坐標(biāo)圖（伯徳圖）Bode√對數(shù)幅相圖（尼柯爾斯圖）Nichols3、利用頻率特性方法分析和設(shè)計控制系統(tǒng)第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1頻率特性及其圖示法4.1.1頻率特性4.1.1.1頻率特性的定義系統(tǒng)或環(huán)節(jié)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入函數(shù)之比為頻率特性。r=Asinωt G(s)y(t)

A是幅值，ω是角頻率.穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是頻率的函數(shù)。第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三一階線性系統(tǒng)Y(s)r=AsinωtR(s)當(dāng)輸入時，第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三經(jīng)拉氏反變換，有：頻率特性是研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的，其中可以按復(fù)變函數(shù)中求系數(shù)的留數(shù)方法求得：第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三∴式中：整理可得：注：歐拉公式：第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)態(tài)輸出仍是一個正弦信號，輸出幅值和相位發(fā)生了變化，角頻率ω沒變。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入比較可得：幅值比

相位差

ABr=Asinωt它們都是ω和系統(tǒng)特征參數(shù)的函數(shù)。第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三推廣到一般，得出以下結(jié)論：

1、對線性系統(tǒng)作用正弦信號，其穩(wěn)態(tài)輸出仍是一正弦函數(shù)，頻率不變，幅值和相位發(fā)生變化。2、幅值比和相位差Φ都是輸入信號頻率ω的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系統(tǒng)稱為頻率特性。

∽ω的關(guān)系稱為幅頻特性。Φ∽ω的關(guān)系稱為相頻特性。

頻率特性第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.1.2頻率特性的獲取三種方法：1解析法—

如前例一階系統(tǒng)，輸入正弦信號，求時域解y(t)，t→∞，求yss，與輸入之比；2直接由傳遞函數(shù)得知；3由實(shí)驗(yàn)測取。第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三(1)、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)，求頻率特性對于線性定常系統(tǒng)，將傳遞函數(shù)中的變量s用jω代替，就得到了頻率特性G(jω)。G(s)G(jω)第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三以一階環(huán)節(jié)為例，相位差：傳遞函數(shù)直接變換后，其中，，為頻率特性，是一復(fù)數(shù)，模為系統(tǒng)的幅，其相角為系統(tǒng)的相位差。值比輸出的幅值比：第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三推廣到一般的情況，對于任何線性定常系統(tǒng)，只要將傳遞函數(shù)中的變量s用jω代替，便得到了系統(tǒng)的頻率特性。G(jω)用復(fù)數(shù)表示：模為系統(tǒng)的幅頻特性其相角為系統(tǒng)的相頻特性。第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三關(guān)于頻率特性的總結(jié)：1、任何穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入為正弦信號時，穩(wěn)態(tài)后輸出也是正弦信號，頻率相同，幅值和相位都發(fā)生變化，而且它們都是頻率的函數(shù)。3、頻率特性能反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。2、將傳遞函數(shù)中的s用代替得即為頻率特性。為幅值比，又稱幅頻特性。為相位差，又稱相頻特性。第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三(2)、實(shí)驗(yàn)測定頻率特性用頻率或超低頻信號發(fā)生器，作為輸入信號加在系統(tǒng)的輸入端，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，同時記錄系統(tǒng)輸入和輸出數(shù)據(jù)。找到在此刻頻率下的幅值比和相位差。然后改變ω，逐一記錄B/A(ω)和φ(ω)，就獲得了頻率特性。直接用頻率特性測試儀測取，直接在X-Y記錄儀上顯示。φ方法①方法②第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三例1：某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：當(dāng)輸入信號為：求出它的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)。解：如何求模和相角？第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2頻率特性的極坐標(biāo)圖常用的圖示方法：3、對數(shù)幅相圖（尼柯爾斯圖）Nichols2、對數(shù)坐標(biāo)圖（伯徳圖）Bode1、極坐標(biāo)圖典型環(huán)節(jié)：一階環(huán)節(jié)，二階環(huán)節(jié)，放大環(huán)節(jié)，純滯后環(huán)節(jié)等√√第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2.1極坐標(biāo)圖是ω的復(fù)變函數(shù)。(1)、定義當(dāng)ω從0→∞變化時，矢量的端點(diǎn)在復(fù)平面上畫出的軌跡叫作G(jω)的極坐標(biāo)圖。即：ImReωU(ω)V(ω)矢量的端點(diǎn)在實(shí)軸與虛軸上的投影分別為的實(shí)部和虛部坐標(biāo)，它們分別叫作實(shí)頻特性和虛頻特性，第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三(2)、極坐標(biāo)圖的獲得根據(jù)頻率特性的兩種表示方式做圖。2、已知，將不同的ω代入，計算實(shí)部和虛部，，做圖。極坐標(biāo)圖在概念分析上比較清楚、直觀，特別在分析系統(tǒng)穩(wěn)定性上經(jīng)常用到。極坐標(biāo)圖畫起來復(fù)雜，運(yùn)算也較繁瑣，要遵循矢量運(yùn)算規(guī)則。優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：1、已知，將不同的ω代入，計算做圖；和第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2.2一些典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖（1）一階慣性環(huán)節(jié)當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，ImReK●●●第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（2）放大環(huán)節(jié)其幅頻特性和相頻特性均為常數(shù)。不隨ω變化。（3）純滯后環(huán)節(jié)幅頻特性不變，恒為1，相頻特性為ω的線性函數(shù)，周期變化。頻率特性是一周期變化的單位圓。01ωImReK分別為：ImRe第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（4）積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)ww第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（5）二階環(huán)節(jié)第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三分析：當(dāng)時，（低頻特性）當(dāng)時，（高頻特性）1ImRe當(dāng)時，與虛軸相交

第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三隨著ω的增加，相位滯后越大，0→－180°與虛軸交點(diǎn)頻率ω＝ωn

幅頻特性不僅是ω的函數(shù)，也是ζ的函數(shù)。第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三繪制概略極坐標(biāo)圖的方法如下：計算和繪制極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)(ω=0

)和終點(diǎn)(ω=∞)；(2)計算和繪制極坐標(biāo)圖與實(shí)軸的交點(diǎn)；令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的虛部為零，求出與實(shí)軸的交點(diǎn)頻率ωx。即：其中ωx稱為穿越頻率，而頻率特性曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)為：(4)估算極坐標(biāo)圖的變化范圍，包括曲線的象限和單調(diào)性等。(5)描繪完整的極坐標(biāo)圖。(3)計算和繪制極坐標(biāo)圖與虛軸的交點(diǎn)；第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三1、0型系統(tǒng)（λ=0，沒有積分環(huán)節(jié)）

一階二階三階特點(diǎn)：起始點(diǎn)在正實(shí)軸，終止在原點(diǎn)。常見極坐標(biāo)圖有三種形式（沒有零點(diǎn)）：第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三2、1型系統(tǒng)（λ=1，有一個積分環(huán)節(jié)）3、2型系統(tǒng)（λ=2，2個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)）例：例：ImRe﹣TW↑ImRe→第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.3典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)（Bode）圖幅頻特性圖相頻特性圖4.1.3.1坐標(biāo)的選擇（1）橫坐標(biāo)都取ω的對數(shù)刻度，以10為底。但仍標(biāo)以角頻率ω。0.1110100–1012每一大格，頻率變化了10倍，叫一個十倍頻程，記做/dec

。選擇頻率范圍時，一般在感興趣的頻率范圍附近取2~3個dec即可。第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（2）相頻特性采用半對數(shù)坐標(biāo)紙。﹣135°045°90°﹣45°﹣90°0.10.20.30.50.7123456710相頻特性的縱坐標(biāo)，為相角，以度為單位，取

等分刻度。第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三(3)

幅頻特性的縱坐標(biāo)

一般取的對數(shù)采用等分刻度，采用半對數(shù)坐標(biāo)紙。換算關(guān)系：﹣40﹣2002040﹣2﹣10120.010.111010001020﹣10﹣200.10.20.30.50.7123456710—20的值。單位是分貝（db）。第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.3.2對數(shù)坐標(biāo)圖的特點(diǎn)（1）畫法很簡單，利用漸近線迅速畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖。如：幅頻特性相加相頻特性相加（3）對橫坐標(biāo)ω取對數(shù)刻度，可以擴(kuò)大橫坐標(biāo)的頻率范圍，既可以看到高、中頻段的特性，又不降低低頻段（工作頻率）的準(zhǔn)確度。（2）運(yùn)算方便，串聯(lián)環(huán)節(jié)總的對數(shù)頻率特性，很容易通過各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性疊加得到。第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.3.3典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖（1）比例環(huán)節(jié)分析：0.1110020﹣200.1110∠G0°90°﹣90°ImReK第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（2）一階慣性（滯后）環(huán)節(jié)如RC濾波器：將ωT作為變量，以使不同T的環(huán)節(jié)能用相同的圖形表示。RCU1U2第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三畫法：a）逐點(diǎn)計算法：第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三0.10.51210020﹣20∠G90°0°﹣90°0.10.51210l

相角對于ω=1/T頻率點(diǎn)()是斜對稱的第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三b）漸近線法畫法：低頻段：一條0db的直線。高頻段：當(dāng)●直線斜率為–20db/dec●與低頻段漸近線交于Tω=1,叫作轉(zhuǎn)折頻率。

0.1110020﹣20第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三l

在轉(zhuǎn)折頻率處，幅頻特性的誤差最大。其誤差值：l

若需精確，可用校正曲線加以校正，一般校正以上三點(diǎn)。

0.10.51210200db0－20第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三討論：2）一階慣性環(huán)節(jié)，相位角始終為負(fù)，輸出相位落后于輸入，所以稱為滯后環(huán)節(jié)，倒數(shù)稱為超前環(huán)節(jié)。如，互為倒數(shù)。3）一階滯后環(huán)節(jié)具有低通濾波特性即：在低頻段，高頻段，輸出復(fù)現(xiàn)輸入。輸入信號被衰減。1)相角對于轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)是斜對稱的。第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（3）純積分環(huán)節(jié)橫坐標(biāo)取。幅頻特性是一條斜率為-20db/dec直線，且該直線通過的點(diǎn)。為一平行線。0.1110200﹣200.1110∠G0°﹣90°第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三若傳遞函數(shù)中有2個積分器串聯(lián)，幅頻特性：斜率為-40db/dec的直線。相頻特性：若有幾個積分環(huán)節(jié)可以以此類推。0.1110400﹣400.1110∠G0°﹣180°第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（4）純滯后環(huán)節(jié)橫坐標(biāo)：τω純滯后環(huán)節(jié)不影響幅頻特性，只影響相頻特性（與比例環(huán)節(jié)恰相反）。﹣180°﹣90°0.1110∠G0°0.1110200﹣20相角滯后隨ω增加而迅速線性增加。純滯后引起的高頻滯后是極為嚴(yán)重的。第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三（8）二階慣性（滯后）環(huán)節(jié)：第43頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三以為橫坐標(biāo)，ζ為參變量。取不同ζ值，算出:1）逐點(diǎn)計算作圖02040﹣20﹣40﹣600.11100﹣45﹣90﹣135﹣180第44頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三2）漸近線法作圖低頻段：高頻段：當(dāng)時，即時，時，即時，第45頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三兩條漸近線交于點(diǎn)，ωn稱為轉(zhuǎn)折頻率。每變化10倍頻程，幅頻特性下降-40db，是一條斜率為-40db/dec的直線。0.1110400﹣40在高頻段：第46頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三總結(jié)：①求出轉(zhuǎn)折頻率。②繪制低頻段漸近線。③繪制高頻段漸近線。④如果需要精確曲線，用誤差曲線校正。利用漸近線法繪出典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖方法：第47頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.1.3.5繪制一般系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖的步驟1）把系統(tǒng)頻率特性改寫成典型環(huán)節(jié)