利用導數(shù)證明不等式(多篇)

利用導數(shù)證明不等式(精選多篇)利用導數(shù)證明不等式?jīng)]分都沒人答埃。。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)設函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)f(x)>f(1)=1-ln2>o所以x>ln(x+12..證明：a-a^2>0其中0f(a)=a-a^2f'(a)=1-2a當00;當1/2因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0即有當003.x>0,證明：不等式x-x^3/6先證明sinx因為當x=0時，sinx-x=0如果當函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點的值0，求導數(shù)有sinx-x的導數(shù)是cosx-1因為cosx-1≤0所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點有最大值0，知sinx再證x-x?/6對于函數(shù)x-x?/6-sinx當x=0時，它的值為0對它求導數(shù)得1-x?/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點的值是最大值了。要證x?/2+cosx-1>0x>0再次用到函數(shù)關系，令x=0時，x?/2+cosx-1值為0再次對它求導數(shù)得x-sinx根據(jù)剛才證明的當x>0sinxx?/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點有最大值0x?/2-cosx-1<0x>0所以x-x?/6-sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0得x-x?/6利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x?>0，x∈(0,1)成立令f(x)=x-x?x∈那么f'(x)=1-2x當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值為零故當x∈(0,1)f(x)=x-x?>0。i、m、n為正整數(shù)，且1克維（82974566）中考、高考培訓專家鑄就孩子輝煌的未來函數(shù)與導數(shù)（三）核心考點五、利用導數(shù)證明不等式一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1、函數(shù)f(x)?lnx?ax2?(2?a)x（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設a?0，證明：當0?x?111時，f(?x)?f(?x)；aaa（3）假設函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于a、b兩點，線段ab中點的橫坐標為x0，證明：f`(x0)?0【變式1】函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：恒有1?1?ln(x?1)?x成立。x?1x【變式2】（1）x?0，證明：e?1?xx2?ln(1?x)(2)x?0時，求證：x?2二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式f(a)?f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。例2、m?n?e,，求證：n?m例3、函數(shù)f(x)?ln(x?1)?（1）求f(x)的極小值；（2）假設a,b?0，求證：lna?lnb?1?mnx，1?xba【變式3】f(x)?lnx，g(x)?127，直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的x?mx?（m?0）22圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點的橫坐標為1．（?。┣笾本€l的方程及m的值；（ⅱ）假設h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的導函數(shù)），求函數(shù)h(x)的最大值；（ⅲ）當0?b?a時，求證：f(a?b)?f(2a)?b?a．2a【變式4】求證：b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)1?x)?x?0(x??1)【變式5】證明：ln(ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求證：2?2???2?(n?2,n?n*)23n2(n?1)【變式6】當t?1時，證明：1??lnt?t?11tx21(x?1)，各項不為零的數(shù)列?an?滿足4sn?f()?1，【引申】函數(shù)f(x)?an2(x?1)1n?11（1）求證：??ln??；an?1nan（2）設bn??1，tn為數(shù)列?bn?的前n項和，求證：txx?1?lnxx?txx。an導數(shù)的應用-利用導數(shù)證明不等式1、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值；引言：導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具．例如：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最大（?。┲?、求函數(shù)的值域等等．然而，不等式是歷年高考重點考查的內(nèi)容之一.尤其是在解答題中對其的考查，更是學生感到比擬棘手的一個題.因而在解決一些不等式問題時，如能根據(jù)不等式的特點，恰當?shù)貥?gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)證明或判斷該函數(shù)的單調(diào)性,出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題．然后用函數(shù)單調(diào)性去解決不等式的一些相關問題，可使問題迎刃而解.因此，很多時侯可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題．下面具體討論導數(shù)在解決與不等式有關的問題時的作用．三、例題分析1、利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式x2例1：當x>0時,求證：x?＜ln(1+x).2x2x2'證明：設f(x)=x?－ln(1+x)(x>0),那么f(x)=?．21?x'∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上遞減，x2所以x>0時,f(x)小結(jié)：把不等式變形后構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，到達證明不等式的目的．隨堂練習：課本p32：b組第一題第3小題2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題（掌握恒成立與最值的轉(zhuǎn)化技巧；構(gòu)造函數(shù)證明不等式）1例２．函數(shù)f(x)?aex?x22(1)假設f(x)在r上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)假設a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x解：(1)f′(x)＝aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在ｒ上為增函數(shù)，∴f′(x)≥０對ｘ∈ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ對ｘ∈ｒ恒成立記ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，那么ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，當ｘ＞１時，ｇ′（ｘ）＜０，當ｘ＜１時，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù),∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范圍是[1/e,+∞)1(2)記f(x)=f(x)－(1+x)=ex?x2?1?x(x?0)2那么f′(x)=ex-1-x,令h(x)=f′(x)=ex-1-x,那么h′(x)=ex-1當x>0時,h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又h(x)在x=0處連續(xù),∴h(x)>h(0)=0即f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又f(x)在x=0處連續(xù),∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x．小結(jié)：當函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量別離后可以轉(zhuǎn)化為m?f(x)(或m?f(x))恒成立，于是，從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值）求函數(shù)的最值問題．因此，利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．例3．（全國）函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；a?b)?(b?a)ln2.2分析：對于（ii）絕大局部的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比擬函數(shù)值的大小，以期到達證明不等式的目的.證明如下：(2)設0?a?b,證明：0?g(a)?g(b)?2g(證明：對g(x)?xlnx求導,那么g'(x)?lnx?1.在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b為主變元構(gòu)造函數(shù),22設f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x),那么f'(x)?g'(x)?2[g(a?x)]'?lnx?lna?x.22當0?x?a時，f'(x)?0,因此f(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).當x?a時,f'(x)?0,因此f(x)在(a,??)上為增函數(shù).從而當x?a時,f(x)有極小值f(a).因為f(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(2a?b)?0.2又設g(x)?f(x)?(x?a)ln2.那么g'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).當x?0時,g'(x)?0.因此g(x)在(0,??)上為減函數(shù).因為g(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2.2綜上結(jié)論得證。對于看起來無法下手的一個不等式證明，對其巧妙地構(gòu)造函數(shù)后，運用導數(shù)研究了它的單調(diào)性后，通過利用函數(shù)的單調(diào)性比擬函數(shù)值的大小,使得問題得以簡單解決.四、課堂小結(jié)1、利用導數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問題,關鍵是把不等式變形后構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，然后用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值，到達證明不等式的目的；2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，應特別注意區(qū)間端點是否取得到；3、學會觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，學會變主元構(gòu)造函數(shù)再利用導數(shù)證明不等式；總之，無論是證明不等式，還是解不等式，我們都可以構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，借助導數(shù)工具來解決，這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學數(shù)學中的重要表達．五、思維拓展ax2x?e(x?0)；（xx聯(lián)考）函數(shù)f(x)?e?x?1(x?0)，g(x)?2x（1）求證：當a?1時對于任意正實數(shù)x,f(x)的圖象總不會在g(x)圖象的上方；（2）對于在（0，1）上任意的a值，問是否存在正實數(shù)x使得f(x)?g(x)成立？如果存在，求出符合條件的x的一個取值；否那么說明理由。導數(shù)的應用--------利用導數(shù)證明不等式目標：1、進一步熟練并加深導數(shù)在函數(shù)中的應用并學會利用導數(shù)證明不等式2、培養(yǎng)學生的分析問題、解決問題及知識的綜合運用能力；教學重點：利用導數(shù)證明不等式教學難點：利用導數(shù)證明不等式教學過程：一、復習回顧1、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值；二、新課引入引言：導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具．例如：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最大（小）值、求函數(shù)的值域等等．然而，不等式是歷年高考重點考查的內(nèi)容之一.尤其是在解答題中對其的考查，更是學生感到比擬棘手的一個題.因而在解決一些不等式問題時，如能根據(jù)不等式的特點，恰當?shù)貥?gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)證明或判斷該函數(shù)的單調(diào)性,出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題．然后用函數(shù)單調(diào)性去解決不等式的一些相關問題，可使問題迎刃而解.因此，很多時侯可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題．下面具體討論導數(shù)在解決與不等式有關的問題時的作用．三、新知探究1、利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式x2例1：當x>0時,求證：x?＜ln(1+x).2x2x2'證明：設f(x)=x?－ln(1+x)(x>0),那么f(x)=?．21?x'∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上遞減，x2所以x>0時,f(x)小結(jié)：把不等式變形后構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，到達證明不等式的目的．隨堂練習：課本p32：b組第一題第3小題2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題（掌握恒成立與最值的轉(zhuǎn)化技巧；構(gòu)造函數(shù)證明不等式）1例２．函數(shù)f(x)?aex?x22(1)假設f(x)在r上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)假設a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x解：(1)f′(x)＝aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在ｒ上為增函數(shù)，∴f′(x)≥０對ｘ∈ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ對ｘ∈ｒ恒成立記ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，那么ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，當ｘ＞１時，ｇ′（ｘ）＜０，當ｘ＜１時，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù),∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范圍是[1/e,+∞)1(2)記f(x)=f(x)－(1+x)=ex?x2?1?x(x?0)2那么f′(x)=ex-1-x,令h(x)=f′(x)=ex-1-x,那么h′(x)=ex-1當x>0時,h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又h(x)在x=0處連續(xù),∴h(x)>h(0)=0即f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又f(x)在x=0處連續(xù),∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x．小結(jié)：當函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量別離后可以轉(zhuǎn)化為m?f(x)(或m?f(x))恒成立，于是，從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值）求函數(shù)的最值問題．因此，利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．例3．（xx年全國）函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；a?b)?(b?a)ln2.2分析：對于（ii）絕大局部的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比擬函數(shù)值的大小，以期到達證明不等式的目的.證明如下：(2)設0?a?b,證明：0?g(a)?g(b)?2g(證明：對g(x)?xlnx求導,那么g'(x)?lnx?1.在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b為主變元構(gòu)造函數(shù),22設f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x),那么f'(x)?g'(x)?2[g(a?x)]'?lnx?lna?x.22當0?x?a時，f'(x)?0,因此f(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).當x?a時,f'(x)?0,因此f(x)在(a,??)上為增函數(shù).從而當x?a時,f(x)有極小值f(a).因為f(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(2a?b)?0.2又設g(x)?f(x)?(x?a)ln2.那么g'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).當x?0時,g'(x)?0.因此g(x)在(0,??)上為減函數(shù).因為g(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2.2綜上結(jié)論得證。對于看起來無法下手的一個不等式證明，對其巧妙地構(gòu)造函數(shù)后，運用導數(shù)研究了它的單調(diào)性后，通過利用函數(shù)的單調(diào)性比擬函數(shù)值的大小,使得問題得以簡單解決.四、課堂小結(jié)1、利用導數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問題,關鍵是把不等式變形后構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，然后用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值，到達證明不等式的目的；2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，應特別注意區(qū)間端點是否取得到；3、學會觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，學會變主元構(gòu)造函數(shù)再利用導數(shù)證明不等式；總之，無論是證明不等式，還是解不等式，我們都可以構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，借助導數(shù)工具來解決，這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學數(shù)學中的重要表達．五、思維拓展ax2x?e(x?0)；（xx聯(lián)考）函數(shù)f(x)?e?x?1(x?0)，g(x)?2x（1）求證：當a?1時對于任意正實數(shù)x,f(x)的圖象總不會在g(x)圖象的上方；（2）對于在（0，1）上任意的a值，問是否存在正實數(shù)x使得f(x)?g(x)成立？如果存在，求出符合條件的x的一個取值；否那么說明理由。利用導數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧技巧精髓1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。一、利用題目所給函數(shù)證明【例1】函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?1?ln(x?1)?xx?1分析：此題是雙邊不等式，其右邊直接從函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)1?1，從其導數(shù)入手即可證明。x?11x【綠色通道】f?(x)??1??x?1x?1g(x)?ln(x?1)?∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù)故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證），現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?11x1???1，那么g?(x)?22x?1(x?1)x?1(x?1)當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0x?111∴l(xiāng)n(x?1)?1?，綜上可知，當x??1時,有?1?ln(x?1)?xx?1x?1【警示啟迪】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（?。┲?，那么有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．∴當x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明【例2】函數(shù)f(x)?圖象的下方；第1頁共4頁122x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x3的23分析：函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，12212x?lnx?x3，只需證明在區(qū)間(1,??)上，恒有x2?lnx?x3成立，設23231f(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到f(1)??06要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒攛?1時，f(x)?f(1)，這只要證明：g(x)在區(qū)間(1,??)是增函數(shù)即可。21【綠色通道】設f(x)?g(x)?f(x)，即f(x)?x3?x2?lnx，32即1(x?1)(2x2?x?1)那么f?(x)?2x?x?=xx2(x?1)(2x2?x?1)當x?1時，f?(x)=x從而f(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴f(x)?f(1)?∴當x?1時g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?1?0623x的圖象的下方。3【警示啟迪】此題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設f(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明111都成立.?nn2n31分析：此題是山東卷的第（ii）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令?x，那么問題轉(zhuǎn)化為：當x?0時，恒n【例3】（xx年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?有l(wèi)n(x?1)?x?x成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h(x)?x?x?ln(x?1)，求導即可到達證明?！揪G色通道】令h(x)?x?x?ln(x?1)，32233213x3?(x?1)2?那么h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?12所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x?x對任意正整數(shù)n，取x?32231111?(0,??)，那么有l(wèi)n(?1)?2?3nnnn【警示啟迪】我們知道，當f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，那么x?a時，有f(x)?f(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令f(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用f(x)的單調(diào)增性來推導．也就是說，在f(x)可導的前提下，只要證明f'(x)?０即可．4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】假設函數(shù)y=f(x)在r上可導且滿足不等(版權歸)式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)【綠色通道】由xf?(x)+f(x)>0∴構(gòu)造函數(shù)f(x)?xf(x)，那么f(x)?xf?(x)+f(x)>0，從而f(x)在r上為增函數(shù)。'?a?b∴f(a)?f(b)即af(a)>bf(b)【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)f(x)?xf(x)，求導即可完成證明。假設題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，那么移項后xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導數(shù)的分子，平時