2021-2022學(xué)年北京昌平區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年北京昌平區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線l的傾斜角為故選：B2．已知，則（

）A． B． C．12 D．14【答案】C【分析】先求出向量的坐標(biāo)，再由空間向量的模長(zhǎng)公式可得答案.【詳解】由，則所以故選：C3．在的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第3項(xiàng)和第4項(xiàng) B．第4項(xiàng)和第5項(xiàng) C．第3項(xiàng) D．第4項(xiàng)【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義計(jì)算二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，進(jìn)而確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)【詳解】二項(xiàng)式展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為所以題中二項(xiàng)式展開式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.所以時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第四項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，答案D正確.故選：D.4．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，如果，那么的值為（

）A．2 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，由橢圓定義知：，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：橢圓中，，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，由橢圓定義知：，，．故選：C．5．已知平行六面體中，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算算出答案即可.【詳解】故選：B6．設(shè)aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：運(yùn)用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時(shí)a的值，而后運(yùn)用充分必要條件的知識(shí)來解決即可．解：∵當(dāng)a=1時(shí)，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．【解析】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．7．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，計(jì)劃于202年2月4日（星期五）開幕，2月20日（星期日）閉幕．北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)，其中七個(gè)大項(xiàng)分別為：滑雪、滑冰，雪車、雪撬，冰球、冰壺，冬季兩項(xiàng)（越野滑雪射擊比賽），現(xiàn)組委會(huì)將七個(gè)大項(xiàng)的門票各一張分給甲、乙，丙三所學(xué)校，如果要求一個(gè)學(xué)校4張，一個(gè)學(xué)校2張，一個(gè)學(xué)校1張，則共有不同的分法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分兩步，第一步，將7張票分成3組，第二步，把3組票分給3個(gè)學(xué)校.【詳解】先將7張票分成3組，張數(shù)為4、2、1，有種分法再把3組票分給3個(gè)學(xué)校，有種分法，故共有不同的分法數(shù)為故選：D8．在四棱錐中，底面是矩形，平面，E為中點(diǎn)，，則直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)為，連接，然后可得或其補(bǔ)角即為所求，然后設(shè)，即可求出答案.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角即為所求，設(shè)，所以，所以為等邊三角形，所以，故選：C9．直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線W的焦點(diǎn)．若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合弦長(zhǎng)為5求出p的值，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，聯(lián)立方程組，整理得，解得或，不妨設(shè)，則，解得，所以.故選：B.10．已知正三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為2，M是空間中任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可.【詳解】解：設(shè)中點(diǎn)為,連接,設(shè)中點(diǎn)為,則,當(dāng)與重合時(shí)，取最小值0.此時(shí)有最小值，故選：A二、填空題11．已知是直線的方向向量，是直線的方向向量．若直線，則________．【答案】【分析】由，則，從而可得出的值，得出答案.【詳解】由，則由，則，解得所以故答案為：12．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則_______．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示和共面定理，列方程組求出答案即可.【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以即，解得故答案為：13．已知圓，直線l過點(diǎn)且與圓O交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，直線l的方程為_________．【答案】【分析】分當(dāng)直線l的斜率不存在和當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)分別討論求出弦的長(zhǎng)，得出面積的表達(dá)式，得出最大值，從而得出答案.【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，則由，得，所以,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為原點(diǎn)到直線l的距離為：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).由，解得由故直線l的方程為：，即故答案為：14．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的面積的最大值為；②滿足使的面積為2的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)；③點(diǎn)P可以是的中點(diǎn)；④線段的最大值為3．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【分析】先找出P的運(yùn)動(dòng)軌跡，再結(jié)合圖像逐項(xiàng)分析，即可得解.【詳解】解：連接,,,、分別為的中點(diǎn)，易得,從而知,又，又，得平面平面，故點(diǎn)P在矩形(除線段)上運(yùn)動(dòng),對(duì)于①，由圖可知，當(dāng)P與H重合時(shí)，此時(shí)三角形面積最大，最大值為，故①對(duì)；對(duì)于②，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，的面積為2，故②對(duì)；對(duì)于③，由圖易知，點(diǎn)P不可能在線段,故③錯(cuò)；對(duì)于④,由圖易知，當(dāng)P與H重合時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最大，最大值為，故④對(duì)；故答案為：①②④；三、雙空題15．在的展開式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則_______；展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為_______．【答案】

9；

84.【分析】在二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，利用此式可求出，再利用展開式通項(xiàng)進(jìn)而可求出展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意得，，，展開式通項(xiàng)為，則令，所以，因此常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：9；84.16．雙曲線的漸近方程為_________；若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，則________．【答案】

【分析】由條件利用雙曲線、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，故答案為：．四、解答題17．已知過點(diǎn)的直線l被圓所截得的弦長(zhǎng)為．(1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓心坐標(biāo)、半徑；(2)求直線l的方程．【答案】(1)，圓心坐標(biāo)為，半徑為.(2)或.【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，結(jié)合勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，特殊情形驗(yàn)證下即可.(1)由題意整理圓的方程得，標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心坐標(biāo)為，半徑為.(2)由（1），又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故弦心距為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為,則過的直線，可設(shè)為，即，直線與圓的圓心相距為，，解得，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，也符合題意.故所求直線的方程為或.18．如圖，在四棱錐中，平面，，，．(1)求證：平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）由線面平行性質(zhì)可直接證明；（2）（3）通過建系法，結(jié)合線面角的正弦公式和二面角夾角的余弦公式即可求解.(1)（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面?2)因?yàn)槠矫妫?，故以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線和平面所成角為，則；(3)易知為平面的法向量，則，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為．19．有7個(gè)人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少種不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）前排選3人任意排，后排4人任意排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．（2）首先從其余5人中選出2人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；（3）先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個(gè)位置中的兩個(gè)位置，再將其余人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；(1)解：排成兩排就座，第一排3人，第二排4人，有種方法．(2)解：若甲和乙都在第二排，先從其余5人中選出2人有種選法，將這兩人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，故一共有種排法；(3)解：如甲和乙不能坐在每排的兩端，則先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個(gè)位置中的兩個(gè)位置，再將其余人全排列即可，故一共有種排法；20．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)【分析】（1）連接，可證平面，進(jìn)而得證；（2）連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接，結(jié)合中位線定理即可證明；（3）采用等體積法轉(zhuǎn)化，由即可求解.(1)證明：連接，因?yàn)閹缀误w為正方體，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，又，所以平面，又平面，所以?2)證明：連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，M為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?3)由等體積法可知，，由幾何關(guān)系知，，則，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由得.21．已知橢圓，點(diǎn)M在線段上，且，直線的斜率為．(1)求橢圓E的離心率；(2)若直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，且，求橢圓E的方程．【答案】(1)(2)