航天軌道設(shè)計

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論文（設(shè)計）

題目：航天器多剛體動力學探討

姓名王菲學號202300204025學院土建與水利學院專業(yè)工程力學年級2023級指導教師趙俊峰馮維明2023年5月28日

業(yè)山東大學學士學位論文

目錄

摘要IIIAbstractIV第1章引言11.1研究背景及意義11.2神態(tài)動力學簡介11.3論文主要工作介紹2第2章剛體神態(tài)運動學與動力學基礎(chǔ)52.1參考坐標系和轉(zhuǎn)動52.1.1參考坐標系52.1.2方向余弦矩陣的定義62.1.3方向余弦矩陣的性質(zhì)72.2神態(tài)運動的描述72.2.1神態(tài)運動的方向余弦矩陣描述72.2.2神態(tài)運動的歐拉角描述92.2.3角速度112.3剛體動力學基礎(chǔ)122.3.1動量132.3.2動量矩132.3.3剛體的動能142.3.4其次類拉格朗日方程152.4航天器動力學中的神態(tài)運動方程152.4.1旋轉(zhuǎn)參考坐標系152.4.2矢量運動方程162.4.3標量運動方程172.4.4動能及擬拉格朗日方程18第3章兩剛體系統(tǒng)模型213.1拉格朗日方程法213.1.1初始狀態(tài)213.1.2轉(zhuǎn)動后模型狀態(tài)223.1.3動力學計算24

I

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3.2牛頓-歐拉（Newton-Euler）法313.2.1坐標系的建立及基本參數(shù)的表示313.2.2矢量運動方程333.2.3標量運動方程35第4章MATLAB數(shù)值分析39第5章總結(jié)與展望45致謝47山東大學學士學位論文

Abstract

.WiththevigorousdevelopmentofChina'sspacetechnology,multi-rigid-bodydynamicshasabroadapplicationprospectinthefieldofspacecraftattitudecontrol.Thispapermainlydiscussestheattitudekinematicsanddynamicsofthespacecraftmulti-rigid-bodysystemwhichrotatesarounditscenterofmass,andtheinfluenceofgeneralizedforceforspacecraftattitudechangecomesincalculationexamples.Fortheattitudekinematicsstudysection,itmainlyexpoundstheestablishmentofreferencecoordinatesystem,theprincipleofrotatingreferenceframetransformation,thedefinitionofEulerangleandtheexpressivemethodsofangularvelocity.Andstudyofattitudedynamicsofrigidbodymainlydiscussesandestablishes

the

momentum

equation,

theequationof

moment

of

momentum,

kineticenergyequationandtheLagrangeequationsofthesecondkind.ThenLagrangeequationmethodandNewtonEulermethodareusedinthispapertosolvetheproblemoftheattitudeofthetwo-rigid-bodysystembymodeling.Finally,usingMATLABsimulationcalculationtoobtainthechangesoftheattitudeofaspacecraftandachievethespacecraftattitudecontrolundertheactionofdifferentforceandmoment.

Keyword:two-rigid-bodyattitudemotionLagrangemethodNewton-Eulermethod

IV

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第1章引言

1.1研究背景及意義

自20世紀70年代以來我國先后成功發(fā)射多顆人造地球衛(wèi)星和載人飛船。它們包括低軌道的返回式衛(wèi)星，中、高軌道的資源、氣象衛(wèi)星、科學試驗衛(wèi)星、通訊、導航衛(wèi)星等。特別是神舟載人飛船的成功發(fā)射、安全返回，極大的提高了中華民族的自尊心和凝聚力。在這些衛(wèi)星、飛船的研制過程中，我國的科技工為航天器動力學的發(fā)展做出了自己的貢獻。

在軌運行的航天器都承受著特定的空間探測、開發(fā)和應用的任務，為了完成這些應用任務，要求航天器神態(tài)正確的定向在給定的方向上，或從原神態(tài)機動到另一指向神態(tài)，本文正是在這樣的背景下進行研究的。1

1.2神態(tài)動力學簡介

航天器神態(tài)動力學是研究航天器在環(huán)境力和內(nèi)力的作用下，圍繞其質(zhì)量中心運動的規(guī)律。它既研究航天器整體的神態(tài)運動，即剛體式的轉(zhuǎn)動，也要研究其各部之間的相對運動。如天線、太陽帆板等繞軸承和鉸鏈的相對轉(zhuǎn)動，結(jié)構(gòu)彈性變形的振動等。航天器為完成科學試驗，天文觀測，軍事偵察，通訊等任務，經(jīng)常要求本體或一部分部件（如天線、觀測平臺、天文望遠鏡、照相機等）在軌道運行期間保持某個確定的神態(tài)，如對準地球、太陽、恒星等。這就要完成神態(tài)控制，為確定神態(tài)方案就必需了解航天器在各種內(nèi)力、內(nèi)力矩、外力、外力矩作用下神態(tài)運動規(guī)律，這就是航天器神態(tài)動力學要解決的問題。

18世紀在天體力學研究中達朗貝爾（D’Alembert）和歐拉（Euler）關(guān)于地球自轉(zhuǎn)進動、章動、和歲差理論，以及朗格朗日（Lagrange）關(guān)于月球繞質(zhì)心的天平動理論就是航天器神態(tài)動力學的前身。它們針對非球形地球、月球在太陽和地球的平方反比律引力場中神態(tài)運動的問題。

1

耿長福，《航天器動力學》，中國科技出版社，（2023）

1

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早期航天器規(guī)模小剛度大，可近似為六自由度的剛體。因此其神態(tài)動力學的建模問題可直接應用經(jīng)典的剛體動力學理論來研究，且可得到滿意的分析結(jié)果。

直接根據(jù)牛頓定律建立多剛體系統(tǒng)動力學方程的方法統(tǒng)稱為矢量力學方法或牛頓-歐拉（Newton-Euler）法，或簡稱為N/E方法，它是經(jīng)典力學中最古老的研究方法。矢量力學方法對于運動和力的描述具有很強的幾何直觀性，但對隔離提單獨列出的動力學方程內(nèi)不可避免的出現(xiàn)鉸的理想約束反力，因而增加了方程中未知變量的數(shù)目。因此，直接采用牛頓-歐拉方法，必需加以發(fā)展，制定出便于計算機識別的剛體聯(lián)系狀況和約束形式的程式化方法，并致力于自動消除鉸的約束反力。2

拉格朗日是分析力學的創(chuàng)立者。拉格朗日在其名著《分析力學》中，在總結(jié)歷史上各種力學基本原理的基礎(chǔ)上，發(fā)展達朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進一步把數(shù)學分析應用于質(zhì)點和剛體力學，提出了運用于靜力學和動力學的普遍方程，引進廣義坐標的概念，建立了拉格朗日方程，把力學體系的運動方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W形式，奠定了分析力學的基礎(chǔ)，為把力學理論推廣應用到物理學其他領(lǐng)域開拓了道路。采用拉格朗日方程可以避免出現(xiàn)不做功的鉸的理想約束反力，使未知變量的數(shù)目減少到最低程度。但隨著剛體數(shù)目和自由度的增多，動能和勢能函數(shù)的項數(shù)急劇擴張，求導數(shù)的計算工作量巨大，推導過程繁瑣枯燥且簡單出錯。當系統(tǒng)稍有改變或者物理模型稍有變化時，就必需重新推導。不過拉格朗日方程的推導過程雖然繁瑣卻十分程式化，因此有可能利用計算機代替手工操作。3

1.3論文主要工作介紹

回想航天器發(fā)展歷史可以知道航天器動力學的研究，特別是神態(tài)動力學的研究方法，尋常是先對航天器及其環(huán)境做出簡化假設(shè)，建立起力學模型，然后根據(jù)力學原理，寫出神態(tài)運動的微分方程，最終用分析方法或計算仿真來研究計算方程解的穩(wěn)定性，從中得出有益結(jié)論。

本文的主要內(nèi)容及各章節(jié)安排如下：第一章主要闡述了航天器多剛體研究的背景23

劉延柱，洪嘉振，楊海興，《多剛體系統(tǒng)動力學》，高等教育出版社，（1989）ThomasR.Kane.，SpacecraftDynamics.McGraw-Hill，1983

2

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及意義，并大致概括了論文的研究內(nèi)容；其次章主要介紹了剛體運動學與動力學的基礎(chǔ)理論；第三章通過建模并分別運用拉格朗日方程法和牛頓-歐拉法建立兩剛體動力學方程求解問題；第四章使用MATLAB軟件進行數(shù)值分析；第五章給出總結(jié)與展望。

3

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4

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第2章剛體神態(tài)運動學與動力學基礎(chǔ)

在考慮描述航天器的指向之前要明確幾個基本概念：向量和參考系。4向量可以用其對參考坐標系的三個方向余弦來描述。為了描述剛體在空間的指向可以用固定在剛體上的坐標系相對于某個參數(shù)系的指向來描述。假使我們假設(shè)航天器、飛輪、天線或太陽列陣為剛體，用固連其上的坐標系Fb、Fw、Fa等相對某個參考坐標系的相對關(guān)系就可以描述其在空間的指向了。

2.1參考坐標系和轉(zhuǎn)動

2.1.1參考坐標系

??????ee三個匯交于O點的正交單位矢量e、、它們組成的右手正交參123稱為基矢量。

考系Fa稱為基，O為基點。同一基的基矢量之間滿足一下正交條件：5

ei?ej?δijei?ej?εijkek?i,j?1,2,3??i,j,k?1,2,3?

(1)(2)

其中?pq為克羅尼克（Kronecker）符號，?pqr為里奇（Ricci）符號，

?pq（p?q）?1??（p?q）?0

?pqr（p,q,r按1,2,3順序循環(huán)置換）?1????1（p,q,r按3,2,1逆序循環(huán)置換）?0有重復標號）?（p,q,r中

??基矢量ep(p=1,2,3)排成的列陣稱為基矢量列陣。

4

Andrews,G.C.,Kesavan,H.K.,TheVectorNetworkModel:aNewApproachtoVectorDynamics,J.維滕伯格，（謝傳鋒譯），《多剛體系統(tǒng)動力學》，北京航空學院出版社，（1986）

5

MechanismandMach,Th.10(1975)57-75

5

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??e???e1e2?3?e?T(3)

任意矢量a在坐標系Fa的指向可以用其方向余弦和其長度a來表示：

??ce??a?ac1e122?c3e3

??(4)

?a?ei式中ci?cos?i?，假使定義ai?aci(i?1,2,3)，則

a

?1?a2e?2?a3e?3a?a1e(5)

?可稱ai是a在Fa中的分量。定義矩陣

?1??e?a1???；F??e?a??aa?2??2????e??a3???3?(6)

?注意a是a在Fa中的分量陣，而Fa中的各元素為Fa的單位矢量。由于

????1?e?eij???0i?ji?j

所以可以寫成

或

??a?a?Fa?Fa?a

?1?a2e?2?a3e?3a?aTFa?FaTa?a1e(7)

2.1.2方向余弦矩陣的定義

aT?a?FaT?FaT?a

(8)

??????考慮到兩個坐標系Fa與Fb時，其中Fb的坐標軸的單位矢量為b1、b2、b3，那么可以寫成

??ce????b1111?c12e2?c13e3???1?c22e?2?c23e?3?b2?c21e?

???ce???b?ce?ce3311322333??(9)

??????e其中cij?bi?e，即與bjj之間的方向余弦，上式簡寫成i

6

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Fb?AbaFa

(10)

其中Aba可簡寫成A??（下標可略）cij?，Aba稱為Fa相對Fb的方向余弦矩陣。2.1.3方向余弦矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)1：一致基之間的方向余弦矩陣為三階單位陣。

Aaa?E

(11)

?性質(zhì)2：設(shè)a為矢量，在兩個基Fa和Fb中，可分別表示為a(1)和a(2)，則有

a?1??A12a?2?

(12)

性質(zhì)3：任意三個基之間的方向余弦矩陣滿足以下關(guān)系：

Aab?AacAcb

(13)

此性質(zhì)可擴展為：在多個基組成的基族中，任意兩基之間的方向余弦矩陣等于一系列按序排列的基之間方向余弦矩陣的連乘積。

性質(zhì)4：方向余弦矩陣為正交陣，其行列式為1。

AAT?E，ATA?E(14)(15)

detA??1

性質(zhì)5：任意兩個基之間的方向余弦矩陣有等于1的特征值，其對應的特征矢量在兩個基上的坐標列陣完全一致。

2.2神態(tài)運動的描述

2.2.1神態(tài)運動的方向余弦矩陣描述

位置描述如下圖所示

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圖1坐標系建立與位置描述

Ox1y1z1：固定坐標系Cx2y2z2：與質(zhì)心相連的平動系Cx3y3z3：與質(zhì)心相連的結(jié)體系

（矢量式，與坐標系無關(guān)）

R?RC?ρ

(16)

R(1)?RC(1)?ρ(1)

(17)

（投影式，與坐標系有關(guān)，要注明下標）

速度描述為

R?1??RC?1??A13ρ?3?A?A13?A12A23

(18)(19)

v?R(20)(21)(22)(23)

R?1??RC?1??Aρ?3?

v?1??R?1??RC?1??Aρ?3??Aρ?3?

v?1??vC?1??Aρ?3??vC?1??AATρ?1?

只要RC、A已知，就可求出剛體上任一點的運動。A完全反映了剛體相對質(zhì)心

8

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運動的規(guī)律。

2.2.2神態(tài)運動的歐拉角描述

歐拉角的定義為

圖2歐拉角的定義

OXYZ：固定坐標系Fa（定系）。

Oxiyizi：與剛體固連的結(jié)體系（動系），下標表示第幾次轉(zhuǎn)動。其中，最終轉(zhuǎn)成的坐標系Ox3y3z3用Fb表示。

歐拉角表示為?,?,?，各歐拉角的含義如下：

???0，2??進動角Precessionangle

???0，??章動角Nutationangle???0，2??自轉(zhuǎn)角Spinangle

歐拉角的轉(zhuǎn)動次序：①結(jié)體系與參考系重合；②繞Z軸轉(zhuǎn)動?；③繞x1軸轉(zhuǎn)動?；④繞z2軸轉(zhuǎn)動?。6

6

張光樞，剛體有限轉(zhuǎn)動合成的可交換性，北京航空學院學報，4（1982），363-368

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能，其次項為平動與轉(zhuǎn)動的耦合項。如O點與質(zhì)心重合，則其次項消失，得柯尼希定理，即剛體的動能是質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的簡單疊加

Τ?11mvC2?ω?JC?ω22(47)

如O為固定點，則第一其次項均消失。2.3.4其次類拉格朗日方程

假設(shè)一個物理系統(tǒng)符合完整系統(tǒng)的要求，即所有n個廣義坐標都相互獨立，則拉格朗日方程成立：

d??T?dt???qj??T??Qj???qj??j?1,2,...,n?

(48)

其中，T?q、q、t?是系統(tǒng)動能，q??q1,q2,,qn?是廣義坐標，是時間t的函數(shù)，

q??q1,q2,,qn?是廣義速度。

2.4航天器動力學中的神態(tài)運動方程

神態(tài)動力學主要研究關(guān)于轉(zhuǎn)動的自由度，但有時平移運動和轉(zhuǎn)動運動有耦合。和

?點質(zhì)量不同剛體有質(zhì)量分布問題，尋常用質(zhì)量分布函數(shù)或密度函數(shù)σ(r)表示。我們假

定航天器為剛體，并采用矢量力學的方法來處理航天器的神態(tài)動力學問題，即牛頓-

??????歐拉（Newton-Euler）法（基本公式為p?f，h?g）。這種方法已被現(xiàn)代航天器神態(tài)動力學學者公認為是較好的方法。92.4.1旋轉(zhuǎn)參考坐標系

??假使旋轉(zhuǎn)坐標系Fb對慣性系Fi有一角速度ω，則任一向量u對時間的導數(shù)表示為

??????u?u?ω?u

9

Roberson,R.E.;Wittenburg,J.:ADynamicalFormalismforanArbitraryNumberofInterconnectedRigid

Bodies.WithReferencetotheProblemofSatelliteAttitudeControl.3rdIFACCongr.1966,Proc.London(1968),46D.2-46D.9

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（?）表示相對慣性系Fi的時間導數(shù)，（?）表示相對轉(zhuǎn)動坐標系Fb的時間導數(shù)。10112.4.2矢量運動方程

圖5剛體R

圖5表示剛體?相對于慣性系Fi的運動，為描述其運動，可用一固連其上的O

?點的位置RO（即O相對Oi的位置），及原點在O的固連于剛體的本體坐標系Fb相對

于Fi的轉(zhuǎn)動來表示。其轉(zhuǎn)動方向余弦矩陣為Abi，定義同前?？梢园奄|(zhì)點系的運動方程的基本結(jié)論推廣到剛體來。1213定義剛體質(zhì)量的一階矩和二階矩（相對O點）

J?c??r??r?dV

RR(49)(50)

??rU?rr???r?dV

2??式中，?(r)為位于r處體積元dV的質(zhì)量密度函數(shù)。剛體總質(zhì)量

m????r?dV

R(51)

?當剛體?代表整個航天器，一般取C為剛體的質(zhì)心，這時對質(zhì)心的一階矩c?0，

??二階矩J?I。

10111213

張光樞，多剛體系統(tǒng)動力學方程，北京航空學院學報，1（1986）鐘奉俄，關(guān)于自由下落貓的雙剛體模型，力學學報，1（1985），72-77鐘奉俄，失重狀態(tài)下人體的神態(tài)控制，力學學報，2（1986），142-148

劉延柱，人體空中翻轉(zhuǎn)體運動的動力學分析，上海交通大學學報，1（1984），75-86

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由于

p?f

hO?vO?p?gO

(52)(53)

??f和g從離散的質(zhì)點系推廣到連續(xù)的剛體或質(zhì)量團將分別是：單位體積作用力

??????fv(r)，單位表面積作用力fs(r)，當然還要考慮作用在rj的外力fj（如來自反作用推力器的推力）。這樣

f?t???fv?r,t?dV??fs?r,t?dS??fj?t?

RRj(54)

gO?t???r?fv?r,t?dV??r?fs?r,t?dS??rj?fj?t?

RRsj??gv?r,t?dV?RR?g?r,t?dS??g?t?jj(55)

?外力矩gO包括體積、表面力矩及離散的分量。

方程（52）、（53）左邊的動量及絕對角動量為

p?mvO?c?ωhO?c?vO?J?ω

(56)(57)

??對于剛體模型r?0，所以剛體動能為

2.4.3標量運動方程

T?11mvO?vO?ω?c?vO?ω?JO?ω22(58)

上述矢量方程可以在選定的坐標系中用其分量形式寫成矩陣方程，現(xiàn)在采用本體坐標系：

式中

17

?pRORCvORCfvOrfhOrgOhOcω?gOcω???Fb???pRO(59)(60)(61)(62)

J?Fb?J?FbTp??ω?p?f

hO??ω?hO?vO?p?gO

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p?mvO?c?ω;hO?c?vO?Jω

(63)(64)

J???r2E?rrT?dm

R慣量矩陣J是常值、對稱、正定陣。

剛體?可以是航天器的一部分，也可以表示整個航天器。當表示整個航天器時，設(shè)O點為系統(tǒng)的質(zhì)心，則方程（62）、方程（63）（矩陣微分方程和矩陣代數(shù)方程）可以簡化為

p??ω?p?fp?mvC；；hC??ω?hC?gChC?Iω

(65)(66)

對于這種簡單狀況，將式（66）代入式（65）可以消除動量p

mvC??mω?p?f；Iω??ω?Iω?gC

(67)

這兩個方程是耦合的，當解出vC(t)和ω(t)后，代入運動學方程

RC?ω?RC?vC；A??ω?A(68)

從而求出Abi和RC。假使只看式（67）是獨立的，但尋常外力和外力矩是位移和神態(tài)的函數(shù)，即

f?f?RC,A,vC,ω,t?；g?gC?RC,A,vC,ω,t?

(69)

要解（67）和（68）這兩個方程，就必需解12階非線性微分方程。但當將本體坐標系Fb取在剛體的慣性主軸上時，式（67）可簡化為如下的標量微分方程：

I1?1??I2?I3??2?3?g1??I2?2??I3?I1??3?1?g2?I3?3??I1?I2??2?2?g3??(70)

2.4.4動能及擬拉格朗日方程

假使式（58）按矢量的分量形式表達，則動能為

T?1T1mvOvO?ωTc?vO?ωTJOω22(71)

當O點取在質(zhì)心上時，動能可簡化為位移動能和旋轉(zhuǎn)動能：

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T?Ttrans?Trot

1TmvCvC21Trot?ωTIω2Ttrans?(72)

當外力f?0時Ttrans為常數(shù)；當gC?0時，Trot是常數(shù)。從式（73）可導出擬拉格朗日方程（quasi-Lagrange）：

?T?ω?c?vO?Jω?hO?T

?v?mvO?c?ω?pO考慮到式（61）和（62）有：

d??dt??T??v??ω???T?

O????v?O??fd??T????T???dt???ω???ω???ω???v??TO???v??gO?O上式就是采用擬坐標寫成的擬拉格朗日方程。

19

(73)

(74)

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第3章兩剛體系統(tǒng)模型

航天器結(jié)構(gòu)經(jīng)常可以簡化為兩個剛體?1，?2，它們通過一個共同點M連接起來，并能相互運動。如某些科學試驗衛(wèi)星的天文望遠鏡要對準天體，要調(diào)整神態(tài)，它就可以簡化為?2并通過M點相對衛(wèi)星本體?1轉(zhuǎn)動。對地定向天線系統(tǒng)和太陽能電池帆板的控制也可以用這個模型表示。

3.1拉格朗日方程法

3.1.1初始狀態(tài)

建立坐標系：首先，在地球上建立慣性坐標系Ox0y0z0，該坐標系固結(jié)在地球上，固定不動。然后，初始狀態(tài)下在剛體1的質(zhì)點C1上建立平移坐標系C1x1y1z1，以及固連于剛體的旋轉(zhuǎn)坐標系C1xc1yc1zc1，此時平移坐標系C1x1y1z1與旋轉(zhuǎn)坐標系C1xc1yc1zc1重合。同樣的，在剛體1的質(zhì)點C2上建立平移坐標系C2x2y2z2，以及固連于剛體的旋轉(zhuǎn)坐標系C2xc2yc2zc2，此時平移坐標系C2x2y2z2亦與旋轉(zhuǎn)坐標系C2xc2yc2zc2重合。(如圖6所示)

圖6兩剛體初始狀態(tài)

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記錄初始狀態(tài)坐標：對于上述問題，我們已知初始狀態(tài)下剛體1的質(zhì)心矢徑，記為OC1，剛體1和剛體2的轉(zhuǎn)動慣量，分別為J1r和J2r，以及兩個剛體的質(zhì)心分別與鉸接點之間的矢徑，C1M和MC2。由圖6可得到如下矢量關(guān)系，記

rC1?OC1

rC1M?C1M

rC2M?C2M

rM?OM?OC1?C1M?OC2?C2M?rC1?rC1M?rC2?rC2M

rC2?OC2?OC1?C1M?C2M?rC1?rC1M?rC2M3.1.2轉(zhuǎn)動后模型狀態(tài)

建立坐標系：剛體1運動后,其質(zhì)心有初始時的C1平移到C1’，剛體1繞質(zhì)心C1旋轉(zhuǎn)的三個歐拉角為?1,?1,?1，剛體2運動后,其質(zhì)心有初始時的C2平移到C2’，剛體2繞質(zhì)心C2旋轉(zhuǎn)的三個歐拉角為?2,?2,?2。運動后的剛體形態(tài)及坐標系改變?nèi)鐖D7所示。

圖7兩剛體轉(zhuǎn)動后狀態(tài)

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運動后狀態(tài)坐標：轉(zhuǎn)動后剛體1的質(zhì)心矢徑記為OC1?；轉(zhuǎn)動后剛體2的質(zhì)心矢徑

?。由圖7可得到如下矢量關(guān)系，記記為OC2?r1?OC1?r2?OC2坐標系矩陣變換：由前文中神態(tài)運動的矢量矩陣描述可以得到平移坐標系C1x1y1z1與旋轉(zhuǎn)坐標系C1xc1yc1zc1之間發(fā)生歐拉角轉(zhuǎn)變的轉(zhuǎn)換矩陣A1，

?c?1c?1?s?1c?1s?1A1???c?1c?1?c?1c?1s?1?s?1s?1??c?1s?1?s?1c?1c?1?s?1s?1?c?1c?1c?1s?1c?1s?1s?1??c?1s?1??c?1??(75)

以及轉(zhuǎn)動的角速度ω1，

?s?1s?1ω1?L1q1???s?1c?1??c?1c?1?s?100???1????0???1?1?????1??(76)

同理得到平移坐標系C2x2y2z2與旋轉(zhuǎn)坐標系C2xc2yc2zc2之間發(fā)生歐拉角轉(zhuǎn)變的轉(zhuǎn)換矩陣A2，

?c?2c?2?s?2c?2s?2A2???c?2c?2?c?2c?2s?2?s?2s?2??c?2s?2?s?2c?2c?2?s?2s?2?c?2c?2c?2s?2c?2s?2s?2??c?2s?2??c?2??(77)

以及轉(zhuǎn)動的角速度ω2，

?sθ2s?2ω2?L2q2???sθ2c?1??cθ2c?2?s?200???2????0???2?1?????2??(78)

由以上關(guān)系可得，

rC1?M??C1?M??A1C1M?A1rC1M

?M??A2C2M?A2rC2MrC2?M??C2rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M??C2?M??r2?A2rC2M?OC2

??OC1??C1?M?C2?M?r2?OC2?r1?A1rC1M?A2rC2M

23

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3.1.3動力學計算

圖8兩剛體分解圖

系統(tǒng)動量為

p?p1?p2?m1v1?m2v2

其中

v1?r1

v2?r2

約束條件為剛體1和剛體2在連接點M?的位移和速度一致，

?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M?????OC?2?C2M?r2?A2rC2M?????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?Aω?111C1M222rC2M?帶入得

24

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????p?m?r1x??r2x?1r1?mr??m?2r2=m1r???1y???2?2y??r1z????r2z???rM??r1?A1rC1M?r2?A?2rC2M??r??C1Mx??r2x??rC2Mx????r1x?r??A??r?C1My???r??A??11?rC??1y????r1z????r??2y2My?CMz??r???1?2z??r?C2Mz???vM??r1?A1ω?1rC1M?r2?A2ω?2rC2M???r1x????0??1z?1y??rC1Mx?????r1y??A????1??1z0??1x??rC???1My???1y?1x????r1z???0??r?C1Mz?????0??2z?2y??rC2Mx

???r2x??r??A?2??2y?????2z0??2x??rC2My????r?2z??????2y?2x0????r?C2Mz?剛體1相對于其質(zhì)心C1’的動量矩為

h1??J1A1ω1其中

?J1xyJ1xz?

J?J1x1r??J1yxJ1yJ?1yz???J1zxJ1zyJ1z??J?AJT111rA1代入得，

h1??A1J1rω1同理，剛體2相對于其質(zhì)心C2’的動量矩為

h?2?J2A2ω2其中，?J2xyJ2xz?

J?J2x2r??J2yxJ2yJ?2yz???J2zxJ2zyJ2z??J2?A2J2rAT2

25

(79)

(80)

(81)

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代入得，

??A2J2rω2h2剛體1相對于原點O的動量矩為，

?h1?h1??r1?m1v1?AJ11rω1?r1m1r1同理可得，剛體2相對于原點O的動量矩為，

??r2?m2v2?A2J2rω2?r2?m2r2h2?h2則剛體系統(tǒng)相對于原點O的動量矩為，

h?h1?h2

約束條件亦為剛體1和剛體2在連接點M?的位移和速度一致，

?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rCM1????C2?M??r2?A2rC2M?OC2?????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?AωrC2M?111CM222?1代入得，

26

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???h?A1J1rω1?r?1m1r1?A2J2rω2?r?2m2r2???1x??0?r?1zr1y??r1x???A1J?1r???????1y????r1z0?r1x?m1?r1y?????1z?????r1yr1x0????r1z??????2x??0?r2zr2y??r2x??A?2J2r????r0?r?m??r???2y????2z2x?2??2z?????r?2y?2yr2x0????r2z????rM??r1?A1rC1M?r2?A2rC2M???r1x?rC1Mx??r2x??rC2Mx?????r??A?r??1??r??A?r??1y?????r1z???C1My??r??2y?1?C2My?C??r????1Mz?2z?rC2Mz???vM??r1?A1ω?1rC1M?r2?A2ω?2rC2M???r1x??0??1z?1y??r?????r?1y?A???C1Mx??1??1z0??1x??rC1???My??r1z????1y?1x0??r??????C1Mz?????0??2z?2y???r2x????rC2Mx???r?2y??A???2??2z0??2x??rC2My????r2z??????2y?2x0????r?C2Mz?剛體系統(tǒng)的動能為

T?T1m1T1T11?T2?(21vT1v1?2ω1J1rω1)?(2m2v2v2?2ωT2J2rω2)約束條件同樣為剛體1和剛體2在連接點M?的位移和速度一致，

??rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M???OC?2?C2?M??r2?A2rC?2M????vM??OC1??ω1?C1?M??OC?2?ω2?C?2M????r1?A1ω?1rC1M?r?2?A2ω2rC2M代入得

27

(82)

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??T???????????????????????????????1111?(m1r1Tr1?ω1TJ1rω1)?(m2r2Tr2?ω2TJ2rω2)2222??r1x???1x???1?r??1?????J?????=?m1?rrr1y1z?1r?1y???1x1y1z??1y?2?1x2?????r1z????1z??????r2x???2x???1?r??1??????????m2?rrr??J2y2z?2r?2y???2x2y2z??2y?2?2x2?????r2z????2z????rM??r1?A1rC1M?r2?A2rC2M?rC1Mx??r2x??rC2Mx??r1x???A?r???r??A?r???r?1y?1?C1My??2y?1?C2My????r????rr2z?r1z?????C1Mz??C2Mz??vM??r1?A1ω1?rC1M?r2?A2ω2rC2M?0?r1x???A????r1y??1?1z???1y???r1z???0?r2x???A????r2y2?2z?????2y??r2z?????1z?1y??rCMx????0??1x??rCMy????1x0?r??CMz???2z?2y??rCMx????0??2x??rCMy????2x0?r??CMz?111222(83)

對于完整約束系統(tǒng)，有其次類拉格朗日方程，

d?T?T??Qk?k?qkdt?q(k?1,2,?)

將系統(tǒng)拆分成兩個獨立的剛體1和剛體2，將鉸鏈M分別作用于剛體1和剛體2的力視作剛體1和剛體2所受外力。

剛體1的位置可以由6個獨立的坐標r1x、r1y、r1z、?1、?1、?1來確定，則

d?T1?T1??Qk?k?qkdt?q(k?1,2,3,4,5,6)

?T1?0?r1x?T1?0?r1y28

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?T1?0?r1z?T1?0?ψ1?T11?ω1TJ1rω1???12??1?T11?ωT1J1rω1???12??1?T1?r?m1r1x1x?T1?r?m1r1y1y?T1?r?m1r1z1z?T11?ωT1J1r???ω1??121?T11?ωT1J1rω1???12??1?T11?ωT1J1rω1???12??11的其次類拉格朗日方程為

??m1r1x?f1x?m1r1y?f1y??m1r1z?f1z??1d?ωT1J1rω1?2dt???g1??1?1d?ωT1J1rω11?ωT1J1rω??2dt???1?g1?12??1?1d?ωTωT1J1rω1?1?1J1rω1??2dt???g1?12?12的位置也可以由6個獨立的坐標r2x、r2y、29

(84)

r2z、?2、?2、?2來確

因此，剛體同理，剛體

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定，則

d?T2?T2??Qk?k?qkdt?q(k?1,2,3,4,5,6)?T2?0?r2x?T2?0?r2y?T2?0?r2z?T2?0?ψ2?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T2?m2r2x?r2x?T2?m2r2y?r2y?T2?m2r2z?r2z?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T21?ω2TJ2rω2???22??2因此，剛體2的其次類拉格朗日方程為

30

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m2r2x?f2x??m2r2y?f2y??m2r2z?f2z?1d?ω2TJ2rω2??g2??2dt???2?1d?ωTJω1?ωTJω22r222r2???g2???22??2?2dt?TT?ωJω?ωJ2rω21d122r22???g2????22??2?2dt(85)

其中M鉸鏈作用于剛體1和剛體2的力為作用力與反作用力，其大小相等方向相反，且剛體1和剛體2在連接點M?的位移和速度一致，

?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rCM1????C2?M??r2?A2rC2M?OC2?????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?AωrC2M?111CM222?13.2牛頓-歐拉（Newton-Euler）法

3.2.1坐標系的建立及基本參數(shù)的表示

圖9示出?1和?2在M點聯(lián)結(jié)，取?1上的O點作參考系F1的坐標原點，M點為

?F2的坐標原點，M點對O點的矢徑用b表示。系統(tǒng)質(zhì)量為m?m1?m2。其中，mj是

?j的質(zhì)量。

31

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圖9兩剛體模型

?1和?2相對參考點O及M的一階、二階慣性矩為

c1??rdm

?1c2??r2dm(r2?r?b)?2J1??(r2U?rr)dm

?1J2?(r22U?r2r2)dm??2二階慣性矩又稱為慣量張量。其中U?為單位慣量張量。

U?????i?????100?????i1????1i2i????????????3?????010?001???i2???i1i1?i2i2?i3i3??????????i3??r?r?為矢量r?的并矢積。

兩個矢量a??FT?Tia和b?Fib的并矢積定義為

a?b??FTTiabFi

其中

32

(86)

(87)

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a??a1a2a3?；b??b1b2Tb3?

T二階矩（慣量張量）是對稱的和正定的。

?1+?2對O點的一階、二階慣性矩為

可見

可定義

J12?r?b?r?U?r?b?r??dm?????2222c?c1?c2?m2b

J?J1?b?r???b?r?U??b?r??b?r??dm?????2222(88)(89)

?2J?J1?J2?m2(b2U?bb)?(2b?c2U?bc2?c2b)

(90)

J21??2?2b?r??rU??b?r?r?dm?????2222(91)

??JJ我們稱12、21為混合慣量矩。這種混合慣量張量的計算是求兩個矢量并矢的積

???分運算，它們是分別求?2的位置矢量r2及對?1的位置矢量b?r2并矢的積分運算。

3.2.2矢量運動方程

???定義v和ω為O點的絕對速度和?1的絕對角速度。在?1中位置r的速度為?????v?ω?r。同樣ω2為?2的絕對角速度，在?2中位置r2的速度為

????????????v?ω?b?ω2?r2?v?ω?(b?r2)?ωM?r2，這里ωM為?2相對?1的相對角速度

???ωM?ω2?ω。

假設(shè)M點是萬向接點，?1和?2在M點可以有任意方向的角位移。?1和?2的動量為

33

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p1?ω?r)dm?m1v?c1?ω

??(v?1p

2?2ωM?r2?????v?ω?(b?r)??dm2?m2v?(m2b?c2)?ω?c2?ωM系統(tǒng)總動量為

p?p1?p2?mv?c?ω?c2?ωM

?1和?2相對O點和M點的絕對角動量為

h1?ω?r)dm?c1?v?J1?ω??r?(v?1hr2??r

2?2)?ωM?r2????v?ω?(b??dm2?c2?v?J21?ω?J2?ωM系統(tǒng)相對O點的總角動量為

h?h1?h2?b?p2?c?v?J?ω?J12?ωM

總動能為

T?12?(v?ω?r)?(v?ω?r)dm?1?12?v?ω?(b?r2)?ωM?r2???v?ω?(b?r2)?ωM?r2???????dm2?12mv?v?12ω?J?ω?12ωM?J2?ωM?v?c?ω?v?c2?ωM?ω?J12?ωM圖10兩剛體分解圖

34

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(98)

(97)

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?????用f1、f2、g1、g2分別表示作用于?1和?2上的外力和外力矩，注意g1是???相對于O點的力矩，g2是相對于M點的力矩（見圖10）。此外fM和gM是在P點處?1對?2的作用力和力矩。應用式（52）、（53）有

p1?f1?fMp2?f2?fM

h1?v?p1?g1?gM?b?fMh2?(v?ω?b)?p2?g2?gM

(99)(100)(101)(102)

式（99）和（100）相加得

作用在系統(tǒng)上的總外力定義為

p?f(103)

f?f1?f2

(104)

此兩剛體系統(tǒng)中總外力為系統(tǒng)自身重力。式（101）、（102）相加得

其中

h?v?p?g(105)

g?g1?g2?b?f2

(106)

此式為作用在系統(tǒng)上的總外力矩。3.2.3標量運動方程

在航天器力學中一般采用三個坐標系Fi、F1、F2。F1、F2是固連在剛體?1和?2

上的。而慣量矩cj和Jj在坐標系Fj（j=1,2）中是常量。下面將矢量和張量按其在不同坐標系中的分量表達為矩陣：

?p?c

f?v??F1?pc1ωhbg??F1????c??fv

??????c1ωhbg

?35

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?J1?J??F1?J1??TJ?F1

??c2ωMh2gg??F?c?2M2?ω?2Mh?g?22g?M?J?FJ?T22?2?F2

由式（56）得

p?F1?p?F1?(mv?c?ω?c2?ωM)?mv?c?ω?F1?cTT2F2?F2ωM?mv?c?ω?FT1?F2c?2ωM?mv?c?ω?A?12c2ωM????czcy??0?c2zc2y???Mx??m??v?0y????cz0?c???x??x???A?c0?c???2x????vz?????cycx0???y?12?2z????z?????c2yc2x0??My?????Mz??由式（57）得

h?F1?h?F1?(c?v?J?ω?J12?ωM)?c?v?Jω?F1?J12?FT2ωM?c?v?Jω?J12ωM?0?czcy?????c????c???x????Mx?z0x??J?????cycx0??vy??y?J??????vz????12??My??z?????Mz??J12部分在F1，部分在F2中，

J?F?T121?J12?F2J21?F?T2?J21?F1

簡單看出

JT12?J21

由式（96）得

h?2?c2A21v?J21ω?J2ωM

??0?c2zc2y???c2z0?c??A??????x????????Mx??2x?21?vy??J21y??J2??My??c2yc2x0???v??z?????z?????Mz??動能為

36

(107)

(108)

(109)

(110)

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111T=mvTv?ωTJω?ωMTJ2ωM222?vTc?ω?vTA12c2?ωM?ωTJ12ωM1?m?vy?21???Mx?My?2????x??v??1?????J???vz???y?2?xyz??y????vz????z???0?czcy???x???Mx?????????vvv??c?Mz?J0?cx???y??2?My??xyz??z??cycx??0???Mz????z????

????x?y?0?c2zc2y???Mx???Mx?????????vvv?A?c?z?J0?c12Myxyz122z2x???My?????????c2yc2x????0?Mz??Mz??????(111)

系統(tǒng)的慣量矩陣

?mE?M=?c???c2?A21?c?JJ21???A12c2?J12?J2??(112)

其中

?p??p??h????h2??;p=Mv

1T?vTMv

2(113)(114)

?v??v??ω????ωM??;?f??f??g????g2?gM??(115)

系統(tǒng)的慣量矩陣M是對稱、正定但是時變的。旋轉(zhuǎn)矩陣A12,J,J12,J21都是時變的。假使把參考點取為系統(tǒng)的質(zhì)心，那么c?0，但質(zhì)心在?1中并不是固定的，從式（88）可知

c?c1?A12c2?m2b

(116)

因A12是時變的。從式（114）有

?T?p?v;?T?h?ω;?T?h2?ωM(117)

方程（103）、（105）和（102）的矩陣形式為

37

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p??ω?p?f

?0?????z???y?h??ω?h?v?p?g??z0?x?y??px??fx????????x??py???fy?0??pz????fz????(118)

?0?=-??z???y???z0?x?y??hx??0????v??x??h?y??z?vz00??hz???????vyvy??px??gx?????????py???gy?0??pz????gz????(