歷年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析全集(1988-2015)-28年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題匯編

歷年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析全集（1988-2015）目錄2015全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2014全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2012全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2011全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2010全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2009全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2008全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2007全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2006全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2005全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2004全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2003全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2002全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2001全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2000全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1099全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1098全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1097全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1096全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1095全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1094全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1093全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1092全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1091全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1090全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1089全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析1088全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析2015全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽試卷

（考試時(shí)間：2015年7月4日上午9:00—11:30）題號(hào)一二總分9101112得分評(píng)卷人

復(fù)核人注意： 1．本試卷共12小題，滿分150分； 2．請(qǐng)用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答；

3．書(shū)寫(xiě)不要超過(guò)裝訂線； 4．不得使用計(jì)算器．一、填空題（每題8分，共64分）函數(shù)的最小值是????．設(shè)．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是????．設(shè)平面向量滿足，則的取值范圍是????．設(shè)是定義域?yàn)榈木哂兄芷诘钠婧瘮?shù)，并且，則在中至少有????個(gè)零點(diǎn)．設(shè)為實(shí)數(shù)，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是????.給定定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足線段的垂直平分線與拋物線相切，則的軌跡方程是????．設(shè)為復(fù)數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，其滿足的虛部和的實(shí)部均非負(fù)，則滿足條件的復(fù)平面上的點(diǎn)集所構(gòu)成區(qū)域的面積是???．設(shè)是正整數(shù)．把男女乒乓球選手各人配成男雙、女雙、混雙各對(duì)，每位選手均不兼項(xiàng)，則配對(duì)方式總數(shù)是????．二、解答題（第9題20分，第10━12題22分，共86分）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足．求證：．在如圖所示的多面體中，已知都與平面垂直．設(shè)，．求四面體與公共部分的體積（用表示）．設(shè)平面四邊形的四邊長(zhǎng)分別為4個(gè)連續(xù)的正整數(shù)。證明：四邊形的面積的最大值不是整數(shù)。已知31位學(xué)生參加了某次考試，考試共有10道題，每位學(xué)生解出了至少6道題．求證：存在兩位學(xué)生，他們解出的題目中至少有5道相同．

試題解答一、填空題（每題8分，共64分）當(dāng)時(shí)，,因此單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)亦單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，，.令得因此在處取得最小值6-2ln2．設(shè)．方程有實(shí)根雙曲線與圓有公共交點(diǎn).注意到圓的圓心位于直線之上，只須找到圓與雙曲線相切時(shí)圓心的位置即可.易計(jì)算得，圓與雙曲線切于A(1,1)點(diǎn)時(shí)，圓心坐標(biāo)為或.圓與雙曲線切于B(-1,-1)點(diǎn)時(shí)，圓心坐標(biāo)為或.因此，a的取值范圍為．由和，可得．

故．．．

以上等號(hào)均可取到．故的取值范圍是．由題設(shè)可知。令x=0得。另一方面，類(lèi)似地，因此，在中的零點(diǎn)一定包含這11個(gè)零點(diǎn)．設(shè)的垂直平分線與拋物線相切于，切向?yàn)?則的方程為．設(shè)，由與垂直且中點(diǎn)在上，可得．由解得，代入得的軌跡方程為，．等價(jià)于.又由于，故滿足條件的點(diǎn)集構(gòu)成了圓的一部分，計(jì)算得其面積為．8.從3n名男選手中選取2n人作為男雙選手有種選法，把他們配成n對(duì)男雙選手有種配對(duì)方式。女選手類(lèi)似。把n個(gè)男選手和n個(gè)女選手配成n對(duì)混雙有n!種配對(duì)方式。因此，配對(duì)方式總數(shù)是．解答題（第9題20分，第10━12題每題22分，共86分）9.證明：對(duì)任意，由均值不等式有----------------------------------（5分）因此，．------------（15分）同理，對(duì)于任意，

因此，．---------------------（20分）設(shè)，則四面體是與的公共部分．-----------------------------------------------------（5分）

易計(jì)算得：到直線的距離，---------------------------------（10分）到平面的距離，------------------------------------------（15分）到直線的距離，．----------------（20分）因此，．---------------------（22分）不妨設(shè)是凸四邊形，其面積為S．記。由

，可得，--------------（8分）兩遍平方和得 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即四點(diǎn)共圓--------------------（16分）現(xiàn)根據(jù)假設(shè)為四個(gè)連續(xù)整數(shù)由此.顯然因此，S不是整數(shù)。----------------------------------------------------（22分）證明：設(shè)是所有試題的集合，是第位學(xué)生解出的試題的集合，．題目即證存在使得．--------------------------------（5分）不妨設(shè)．共有個(gè)三元子集，每個(gè)恰包含4個(gè)三元子集．因此，存在使得包含相同的三元子集，．---（15分）從而，．-----------------（22分）2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽試卷一、填空題（每題8分，共64分）1.函數(shù)的值域是_______________.2.函數(shù)在中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是__________．3.設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的周長(zhǎng)的最小值是________．4.設(shè)是平面上兩點(diǎn)，是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),．若，則__________．5.已知四面體的側(cè)面展開(kāi)圖如下圖所示，則其體積是__________．6.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是_______________．7.設(shè)動(dòng)點(diǎn)，其中參數(shù)，則線段掃過(guò)的平面區(qū)域的面積是_____________．8.從正12邊形的頂點(diǎn)中取出4個(gè)頂點(diǎn)，它們兩兩不相鄰的概率是___________．二、解答題（第9—10題每題21分，第11—12題22分，共86分）9.已知正實(shí)數(shù)滿足．求證：．10.設(shè)數(shù)列滿足．求證：（1）當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，這里．11.已知平面凸四邊形的面積為1．求證：．12.求證：（1）方程恰有一個(gè)實(shí)根，并且是無(wú)理數(shù)；（2）不是任何整數(shù)系數(shù)二次方程的根．2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽試卷答案2007年安徽省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題一.選擇題1.如果集合同時(shí)滿足,就稱(chēng)有序集對(duì)為“好集對(duì)”。這里的有序集對(duì)意指當(dāng)，是不同的集對(duì)，那么“好集對(duì)”一共有（）個(gè)。２.設(shè)函數(shù),為()3.設(shè)是一個(gè)1203位的正整數(shù),由從100到500的全體三位數(shù)按順序排列而成那么A除以126的余數(shù)是()4.在直角中,,為斜邊上的高,D為垂足..設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為則()5.在正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列……刪去所有和55互質(zhì)的項(xiàng)之后,把余下的各項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列,易見(jiàn)那么6.設(shè)則7.邊長(zhǎng)均為整數(shù)且成等差數(shù)列,周長(zhǎng)為60的鈍角三角形一共有______________種.8.設(shè),且為使得取實(shí)數(shù)值的最小正整數(shù),則對(duì)應(yīng)此的為9.若正整數(shù)恰好有4個(gè)正約數(shù),則稱(chēng)為奇異數(shù),例如6,8,10都是奇異數(shù).那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999這10個(gè)數(shù)中奇異數(shù)有_____________________個(gè).10.平行六面體中,頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)度分別為2,3,4,且兩兩夾角都為那么這個(gè)平行六面體的四條對(duì)角線的長(zhǎng)度(按順序)分別為_(kāi)__________________11.函數(shù)的迭代的函數(shù)定義為其中=2,3,4…設(shè),則方程組的解為_(kāi)________________12.設(shè)平行四邊形中，則平行四邊形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)______________三．解答題13.已知橢圓和點(diǎn)直線兩點(diǎn)(可以重合).1)若為鈍角或平角(為原點(diǎn)),試確定的斜率的取值范圍.2)設(shè)關(guān)于長(zhǎng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,試判斷三點(diǎn)是否共線,并說(shuō)明理由.3)問(wèn)題2)中,若三點(diǎn)能否共線?請(qǐng)說(shuō)明理由.14.數(shù)列由下式確定:,試求(注表示不大于的最大整數(shù),即的整數(shù)部分.)15.設(shè)給定的銳角的三邊長(zhǎng)滿足其中為給定的正實(shí)數(shù),試求的最大值,并求出當(dāng)取此最大值時(shí),的取值.2008年安徽高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題一、選擇題1.若函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與函數(shù)的圖象重合，則（）（A） （B）（C） （D）2.平面中，到兩條相交直線的距離之和為1的點(diǎn)的軌跡為（）（A）橢圓 （B）雙曲線的一部分 （C）拋物線的一部分 （D）矩形3.下列4個(gè)數(shù)中與最接近的是（）（A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）20084.四面體的6個(gè)二面角中至多可能有（）個(gè)鈍角。（A）3 （B）4 （C）5 （D）65.寫(xiě)成十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)的形式，其循環(huán)節(jié)的長(zhǎng)度為()(A)30 (B)40 (C)50 （D）606.設(shè)多項(xiàng)式，則中共有（）個(gè)是偶數(shù)。（A）127 （B）1003 （C）1005 （D）1881二、填空題7.化簡(jiǎn)多項(xiàng)式8.函數(shù)的值域?yàn)?.若數(shù)列滿足，且具有最小正周期2008，則10.設(shè)非負(fù)數(shù)的和等于1，則的最大值為11.設(shè)點(diǎn)A，B、C在橢圓上，當(dāng)直線BC的方程為時(shí)，的面積最大。12.平面點(diǎn)集，易知可被1個(gè)三角形覆蓋（即各點(diǎn)在某個(gè)三角形的邊上），可被2個(gè)三角形覆蓋，則覆蓋需要個(gè)三角形。三、解答題13.將6個(gè)形狀大小相同的小球（其中紅色、黃色、藍(lán)色各2個(gè)）隨機(jī)放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中恰好放2個(gè)小球，記為盒中小于顏色相同的盒子的個(gè)數(shù)，求的分布。14.設(shè)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。證明：無(wú)論取何正整數(shù)時(shí)，不在數(shù)列的素?cái)?shù)只有有限多個(gè)。15.設(shè)圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，圓分別與圓，圓外切于C，D，直線EF分別與圓，圓相切于E，F(xiàn)，直線CE與直線DF相交于G，證明：A，B，G三點(diǎn)共線。2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)初賽試題二．解答題（共86分）9.（21分）已知平行四邊形ABCD滿足BAD>,向四邊形外部做DCE和BCF使得EDC=CBF,DCE=BFC,連接EF,向CEF外部作EFG使得EFG=CFB,FEG=CED.證明：10.（21分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=1，，。求數(shù)列的通項(xiàng)公式11，（22分）求方程的所有解，其中表示不超過(guò)a的最大整數(shù)12．（22分）假設(shè)平面點(diǎn)集S具有性質(zhì)：（1）任意三點(diǎn)不公線；（2）任意兩點(diǎn)距離各不相等。對(duì)于S中兩點(diǎn)A,B，若存在使得，則稱(chēng)AB是AB的一條中邊。對(duì)于S中三點(diǎn)A,B,C,若AB,AC,BC都是S的中邊，則稱(chēng)三角形ABC是S的中邊三角形。求最小的n使得任意具有性質(zhì)（1）（2）的n元平面點(diǎn)集S中一定存在中邊三角形。2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)預(yù)賽試卷一、填空題（每小題8分，共64分）1.函數(shù)的值域是.2.函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).3.正八面體的任意兩個(gè)相鄰面所成二面角的余弦值等于.4.設(shè)橢圓與雙曲線相切，則.5.設(shè)是復(fù)數(shù)，則的最小值等于.6.設(shè)，，是實(shí)數(shù)，若方程的三個(gè)根構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，則，，應(yīng)滿足的充分必要條件是.7.設(shè)是的內(nèi)心，，，，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于.8.從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取三點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形的概率是.二、解答題（共86分）9.（20分）設(shè)數(shù)列滿足，，.求的通項(xiàng)公式.10.（22分）求最小正整數(shù)使得可被2010整除.11.（22分）已知的三邊長(zhǎng)度各不相等，，，分別是，，的平分線與邊，，的垂直平分線的交點(diǎn).求證：的面積小于的面積.12.（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人輪流從中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超過(guò)對(duì)方剛才取走火柴數(shù)目的2倍.取得最后一根火柴者獲勝.問(wèn)：當(dāng)時(shí)，甲是否有獲勝策略？請(qǐng)?jiān)敿?xì)說(shuō)明理由.2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省預(yù)賽一、填空題（每小題8分，共64分）1．以表示集合的元素個(gè)數(shù).若有限集合滿足，，，則的最大可能值為2．設(shè)是正實(shí)數(shù).若的最小值為10，則3．已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式滿足，，，則的所有可能值集合為4．設(shè)展開(kāi)式.若，則第5題第6題5．在如圖所示的長(zhǎng)方體中，設(shè)是矩形的中心，線段交平面于點(diǎn).若，，，則.6．平面上一個(gè)半徑的動(dòng)圓沿邊長(zhǎng)的正三角形的外側(cè)滾動(dòng)，其掃過(guò)區(qū)域的面積為.7．設(shè)直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng).若點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)（），則直線與軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)（用表示）.8．設(shè)n是大于4的偶數(shù).隨機(jī)選取正n邊形的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形，得到矩形的概率為.二、解答題（第9—10題每題22分，第11—12題每題21分，共86分）已知數(shù)列滿足，（），求的通項(xiàng)公式.10．已知正整數(shù)都是合數(shù)，并且兩兩互素，求證：.11．設(shè)（是實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，.求的最大可能值.12．設(shè)點(diǎn)，在雙曲線的左支上，，直線交雙曲線的右支于點(diǎn).求證：直線與的交點(diǎn)在直線上.2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽試卷一．填空題（每題8分，共64分）設(shè)函數(shù)，則的最小正周期為設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足，則x-2y的最大值為（用數(shù)字作答）設(shè)兩點(diǎn)C,D在以線段AB為直徑的半圓弧上，線段AC和線段BD相交與點(diǎn)E，AB=10,AC=8,BD=,則三角形ABE的面積為設(shè)兩個(gè)橢圓有公共的焦點(diǎn)，則t=如圖，設(shè)正四棱錐P-ABCD的體積為1，E,F,G,H分別是線段AB,CD,PB,PC的中點(diǎn)，則多面體BEG-CFH的體積為不超過(guò)2012且與210的最大公約數(shù)是1的正整數(shù)共有個(gè)設(shè)隨機(jī)變量X~N(1,2),Y~N(3,4)。若則=二．解答題（第9~10題每題25分，第11~12題每題18分，共86分）9．已知三角形ABC的周長(zhǎng)是1，且。（1）證明：三角形ABC是直角三角形；（2）求三角形ABC面積的最大值。10.設(shè)無(wú)窮數(shù)列滿足=1，。證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）不存在實(shí)數(shù)C使得對(duì)所有的n都成立11.設(shè)，m是正整數(shù)。求所有滿足的n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式12.設(shè)。對(duì)平面上任意n個(gè)向量，以M表示滿足i<j且的實(shí)數(shù)對(duì)（i,j）的個(gè)數(shù)。證明：。2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)初賽試卷填空題（每題8分，共64分）函數(shù)|+1|+|-1|+的值域是方程sin（2013兀x）=的實(shí)數(shù)根為化簡(jiǎn)sinsinsin=（用數(shù)字作答）設(shè)數(shù)列{}滿足，,則設(shè)ΔABC的外接圓圓心P滿足，則=設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi滿足的實(shí)部和虛部之比為，其中i是虛數(shù)單位，x,y，則的最大值為設(shè)=，其中是常數(shù)，則=隨機(jī)選取正11邊形的3個(gè)不同頂點(diǎn)，它們構(gòu)成銳角三角形的概率為解答題（第9-10每題21分，第11-12題每題22分，共86分）設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)面長(zhǎng)為2，求其體積和內(nèi)切球的半徑.求所有函數(shù)，使得對(duì)任意的x,y都有設(shè)a,b,c是不全為0的實(shí)數(shù)，求F=的取值范圍，a,b,c分別滿足什么條件時(shí)，F(xiàn)取最大值和最小值？設(shè)數(shù)列{}滿足求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；求證：對(duì)任意的正整數(shù)k,和都是整數(shù). 1988年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試(10月16日上午8∶00——9∶30)一．選擇題(本大題共5小題，每小題有一個(gè)正確答案，選對(duì)得7分，選錯(cuò)、不選或多選均得0分)：1．設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=φ(x)，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象與第二個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對(duì)稱(chēng)，那么，第三個(gè)函數(shù)是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<13．平面上有三個(gè)點(diǎn)集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．則A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立4．已知三個(gè)平面α、β、γ，每?jī)蓚€(gè)之間的夾角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命題甲：θ>eq\f(π,3)；命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)．則A．甲是乙的充分條件但不必要B．甲是乙的必要條件但不充分C．甲是乙的充分必要條件D．A、B、C都不對(duì)5．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過(guò)1個(gè)整點(diǎn)的集合，N表示不通過(guò)任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的直線的集合．那么表達(dá)式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正確的表達(dá)式的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．4二．填空題(本大題共4小題，每小題10分)：1．設(shè)x≠y，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，那么eq\f(b4－b3,a2－a1)=．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展開(kāi)式中，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分別是AB、AC上的高，則eq\f(DE,BC)=．4．甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，……直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過(guò)程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過(guò)程的種數(shù)為．三．(15分)長(zhǎng)為eq\r(2)，寬為1的矩形，以它的一條對(duì)角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．四．(15分)復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)Z1的軌跡方程為|Z1－Z0|=|Z1|，Z0為定點(diǎn)，Z0≠0，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z滿足Z1Z=－1，求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置．五．(15分)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1，試證：對(duì)每一個(gè)n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．

1988年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一．已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1為偶數(shù))，,an+1－an(an·an+1為奇數(shù))．))試證：對(duì)一切n∈N*，an≠0．二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長(zhǎng)三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無(wú)窮多直線l1，l2，……，ln，…的直線族，它滿足條件：⑴點(diǎn)(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并證明你的結(jié)論．

1988年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一試題一．選擇題(本大題共5小題，每小題有一個(gè)正確答案，選對(duì)得7分，選錯(cuò)、不選或多選均得0分)：1．設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=φ(x)，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象與第二個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對(duì)稱(chēng)，那么，第三個(gè)函數(shù)是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)解：第二個(gè)函數(shù)是y=φ－1(x)．第三個(gè)函數(shù)是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．選B．2．已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1解：因是橢圓，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，選D．3．平面上有三個(gè)點(diǎn)集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．則A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部的點(diǎn)的集合(不包括邊界)；N表示焦點(diǎn)為(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，長(zhǎng)軸為2eq\r(2)的橢圓內(nèi)部的點(diǎn)的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1圍成的六邊形內(nèi)部的點(diǎn)的集合．故選A．4．已知三個(gè)平面α、β、γ，每?jī)蓚€(gè)之間的夾角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命題甲：θ>eq\f(π,3)；命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)．則A．甲是乙的充分條件但不必要B．甲是乙的必要條件但不充分C．甲是乙的充分必要條件D．A、B、C都不對(duì)解：a，b，c或平行，或交于一點(diǎn)．但當(dāng)a∥b∥c時(shí)，θ=eq\f(π,3)．當(dāng)它們交于一點(diǎn)時(shí)，eq\f(π,3)<θ<π．選C．5．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過(guò)1個(gè)整點(diǎn)的集合，N表示不通過(guò)任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的直線的集合．那么表達(dá)式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正確的表達(dá)式的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．4解：均正確，選D．二．填空題(本大題共4小題，每小題10分)：1．設(shè)x≠y，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，那么eq\f(b4－b3,a2－a1)=．解：a2－a1=eq\f(1,4)(y－x)，b4－b3=eq\f(2,3)(y－x)，eq\f(b4－b3,a2－a1)=eq\f(8,3)．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展開(kāi)式中，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為．解：(eq\r(x)+2)2n+1－(eq\r(x)－2)2n+1=2(Ceq\a(1,2n+1)2xn+Ceq\a(3,2n+1)23xn－1+Ceq\a(5,2n+1)25xn－2+…+Ceq\a(2n+1,2n+1)22n+1)．令x=1，得所求系數(shù)和=eq\f(1,2)(32n+1+1)．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分別是AB、AC上的高，則eq\f(DE,BC)=．解：△AED∽△ABC，eq\f(DE,BC)=eq\f(AD,AC)=|cosα|．4．甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，……直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過(guò)程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過(guò)程的種數(shù)為．解畫(huà)1行14個(gè)格子，每個(gè)格子依次代表一場(chǎng)比賽，如果某場(chǎng)比賽某人輸了，就在相應(yīng)的格子中寫(xiě)上他的順序號(hào)(兩方的人各用一種顏色寫(xiě)以示區(qū)別)．如果某一方7人都已失敗則在后面的格子中依次填入另一方未出場(chǎng)的隊(duì)員的順序號(hào)．于是每一種比賽結(jié)果都對(duì)應(yīng)一種填表方法，每一種填表方法對(duì)應(yīng)一種比賽結(jié)果．這是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．故所求方法數(shù)等于在14個(gè)格子中任選7個(gè)寫(xiě)入某一方的號(hào)碼的方法數(shù)．∴共有Ceq\a(7,14)種比賽方式．三．(15分)長(zhǎng)為eq\r(2)，寬為1的矩形，以它的一條對(duì)角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．解：過(guò)軸所在對(duì)角線BD中點(diǎn)O作MN⊥BD交邊AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，則△ABD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)有公共底面的圓錐，底面半徑AE=eq\f(\r(2),\r(3))=eq\f(\r(6),3)．其體積V=eq\f(π,3)(eq\f(\r(6),3))2·eq\r(3)=eq\f(2\r(3),9)π．同樣，△BCD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積=eq\f(2\r(3),9)π．其重疊部分也是兩個(gè)圓錐，由△DOM∽△DAB，DO=eq\f(\r(3),2)，OM=eq\f(DO·AB,DA)=eq\f(\r(6),4)．∴其體積=2·eq\f(1,3)π·(eq\f(\r(6),4))2·eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),8)π．∴所求體積=2·eq\f(2\r(3),9)π－eq\f(\r(3),8)π=eq\f(23,72)eq\r(3π)．四．(15分)復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)Z1的軌跡方程為|Z1－Z0|=|Z1|，Z0為定點(diǎn)，Z0≠0，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z滿足Z1Z=－1，求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置．解：Z1=－eq\f(1,Z)，故得|－eq\f(1,Z)－Z0|=|eq\f(1,Z)|，即|ZZ0+1|=1．|Z+eq\f(1,Z0)|=|eq\f(1,Z0)|．即以－eq\f(1,Z0)為圓心|eq\f(1,Z0)|為半徑的圓．五．(15分)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1．試證：對(duì)每一個(gè)n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．證明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2eq\r(ab)，∴ab≥2eq\r(ab)，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．又ak+bk≥2eq\r(akbk)=2eq\r((a+b)k)≥2k+1．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，左=右=0．左≥右成立．2°設(shè)當(dāng)n=k(k≥1，k∈N)時(shí)結(jié)論成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．則(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak－1+bk－1)=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak－1+bk－1)≥4?(22k－2k+1)+4?2k=22(k+1)－4?2k+1+4?2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命題對(duì)于n=k+1也成立．故對(duì)于一切n∈N*，命題成立．二試題一．已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1為偶數(shù))，,an+1－an(an·an+1為奇數(shù))．))試證：對(duì)一切n∈N*，an≠0．（1988年全國(guó)高中競(jìng)賽試題）分析：改證an?0(mod4)或an?0(mod3)．證明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，……∴a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod4)．設(shè)a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod4)．則a3k+1≡5×3－3×2=9≡1(mod4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod4)；a3k+3≡5×2－3×1=7≡3(mod4)．根據(jù)歸納原理知，對(duì)于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod4)恒成立，故an?0(mod4)成立，從而an≠0．又證：a1≡1，a2≡2(mod3)．設(shè)a2k－1≡1，a2k≡2(mod3)成立，則當(dāng)a2k－1?a2k為偶數(shù)時(shí)a2k+1≡5×2－3×1≡1(mod3)，當(dāng)a2k－1?a2k為奇數(shù)時(shí)a2k+1≡2－1≡1(mod3)，總之a(chǎn)2k+1≡1(mod3)．當(dāng)a2k?a2k+1為偶數(shù)時(shí)a2k+2≡5×1－3×2≡2(mod3)，當(dāng)a2k?a2k+1為奇數(shù)時(shí)a2k+2≡1－2≡2(mod3)，總之，a2k+2≡2(mod3)．于是an?0(mod3)．故an≠0．二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長(zhǎng)三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．證明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為1．則PQ=eq\f(1,3)．則eq\f(SPQR,SABC)=eq\f(PQ·RH,AB·CN)=eq\f(PQ,AB)·eq\f(AR,AC)，但AB<eq\f(1,2)，于是eq\f(PQ,AB)>eq\f(2,3)，AP≤AB－PQ<eq\f(1,2)－eq\f(1,3)=eq\f(1,6)，∴AR=eq\f(1,3)－AP>eq\f(1,6)，AC<eq\f(1,2)，故eq\f(AR,AC)>eq\f(1,3)，從而eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無(wú)窮多直線l1，l2，……，ln，…的直線族，它滿足條件：⑴點(diǎn)(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并證明你的結(jié)論．證明：設(shè)an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此時(shí)an+1不存在，故kn≠±1．現(xiàn)設(shè)kn≠0，1，則y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－eq\f(1,kn)，∴kn+1=kn－eq\f(1,kn)．此時(shí)knkn+1=kn2－1．∴kn>1或kn<－1．從而k1>1或k1<－1．⑴當(dāng)k1>1時(shí)，由于0<eq\f(1,k1)<1，故k1>k2=k1－eq\f(1,k1)>0，若k2>1，則又有k1>k2>k3>0，依此類(lèi)推，知當(dāng)km>1時(shí)，有k1>k2>k3>?…>km>km+1>0，且0<eq\f(1,k1)<eq\f(1,k2)<…<eq\f(1,km)<1，km+1=km－eq\f(1,km)<km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)<km－1－eq\f(2,k1)<…<k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,k1)隨m的增大而線性減小，故必存在一個(gè)m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≤1，從而必存在一個(gè)m值m=m1≤m0，使keq\s\do4(m1－1)≥1，而1>keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1－1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))>0，此時(shí)keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此時(shí)不存在這樣的直線族．⑵當(dāng)k1<－1時(shí)，同樣有－1<eq\f(1,k1)<0，得k1<k2=k1－eq\f(1,k1)<0．若k2<－1，又有k1<k2<k3<0，依此類(lèi)推，知當(dāng)km<－1時(shí)，有k1<k2<k3<?…<km<km+1<0，且0>eq\f(1,k1)>eq\f(1,k2)>…>eq\f(1,km)>－1，km+1=km－eq\f(1,km)>km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)>km－1－eq\f(2,k1)>…>k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,km)隨m的增大而線性增大，故必存在一個(gè)m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≥－1，從而必存在一個(gè)m值，m=m1(m1≤m0)，使keq\s\do4(m1－1)≤－1，而－1<keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))<0，此時(shí)keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此時(shí)不存在這樣的直線族．綜上可知這樣的直線族不存在．廈門(mén)市參加2010年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競(jìng)賽的通知貴校教務(wù)處轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)教研組：根據(jù)閩科協(xié)發(fā)【2010】39號(hào)文件《關(guān)于舉辦2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競(jìng)賽的通知》，以及省數(shù)學(xué)會(huì)《關(guān)于2010年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競(jìng)賽的通知》，根據(jù)我市情況，有關(guān)競(jìng)賽工作通知如下：一、賽制、競(jìng)賽時(shí)間和命題范圍競(jìng)賽分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)階段。1．預(yù)賽：（1）時(shí)間：2010年9月11日（星期六）9：00——11：30，在本市考點(diǎn)進(jìn)行。（2）試題來(lái)源：預(yù)賽試題由福建省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)組織命題，同時(shí)也作為《2010年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽》的試題，試題類(lèi)型以全國(guó)聯(lián)賽類(lèi)型為主，適當(dāng)補(bǔ)充少量全國(guó)聯(lián)賽加試部分的內(nèi)容。（3）試卷結(jié)構(gòu)：填空題10題，每題6分，滿分60分；解答題5題，每題20分，滿分100分。全卷滿分160分?？荚嚂r(shí)間150分鐘。2．復(fù)賽（1）時(shí)間與地點(diǎn)：2010年10月17日（星期日）8：00——12：10，集中在福州一中舊校區(qū)進(jìn)行考試。其中聯(lián)賽時(shí)間為8：00—9：20，加試時(shí)間為9：40—12：10。（2）試題來(lái)源與命題要求：復(fù)賽試題是由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)統(tǒng)一命題的全國(guó)聯(lián)賽試題和加試試題。命題范圍以現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為準(zhǔn)，加試試題的命題范圍以數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱為準(zhǔn)。根據(jù)現(xiàn)行“高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱”的要求，全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識(shí)范圍不超過(guò)教育部2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但方法的要求上有所提高。主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握情況，以及綜合、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）與中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（冬令營(yíng)）、國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識(shí)方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容。（3）試卷結(jié)構(gòu)：全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）試卷結(jié)構(gòu)為：填空題8題，每題8分，滿分64分；解答題3題，分別為16分、20分、20分，滿分56分。全卷滿分120分?？荚嚂r(shí)間80分鐘；全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）試卷結(jié)構(gòu)為：4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個(gè)方面。每題50分。滿分200分?？荚嚂r(shí)間150分鐘。二、參賽對(duì)象本學(xué)年度的在校高中學(xué)生均可報(bào)名，自愿參加，不影響學(xué)校的正常教學(xué)秩序。三、報(bào)名、報(bào)名費(fèi)和準(zhǔn)考證采用網(wǎng)上報(bào)名。在各校教務(wù)處的指導(dǎo)下，由高二年數(shù)學(xué)備課組長(zhǎng)具體負(fù)責(zé)，組織學(xué)生報(bào)名參加競(jìng)賽。報(bào)名表請(qǐng)參照樣表、統(tǒng)一用Excel文檔并按要求認(rèn)真填寫(xiě)，根據(jù)省數(shù)學(xué)會(huì)要求，報(bào)名時(shí)需將所有參加考試的考生的花名冊(cè)上交，為最后評(píng)獎(jiǎng)、頒發(fā)獲獎(jiǎng)學(xué)生證書(shū)以及制作指導(dǎo)教師證書(shū)的依據(jù)，務(wù)必請(qǐng)各校認(rèn)真填寫(xiě)報(bào)名表，指導(dǎo)教師以報(bào)名表上登記的為準(zhǔn)（每名學(xué)生只能上報(bào)1名指導(dǎo)教師），賽后不得更改。報(bào)名費(fèi)（按省數(shù)學(xué)會(huì)通知）統(tǒng)一收取每生18元。各參賽學(xué)校請(qǐng)將報(bào)名表的電子文本用E.mail發(fā)送至電子油箱xmczm@126.com；報(bào)名費(fèi)請(qǐng)直接匯入建設(shè)銀行活期存折，存折戶名：陳智猛，ATM卡號(hào)：4367421930036257416。報(bào)名截止時(shí)間是6月25日，逾期不予受理。請(qǐng)保留匯款的憑單備查，將本校報(bào)名人數(shù)以及匯款的金額數(shù)用手機(jī)短信形式發(fā)送短信聯(lián)系進(jìn)行報(bào)名的確認(rèn)。9月初召開(kāi)考務(wù)會(huì)同時(shí)領(lǐng)取準(zhǔn)考證，準(zhǔn)考證請(qǐng)各校自行填寫(xiě)，由備課組長(zhǎng)保管，考前30分鐘再發(fā)給考生。四、考號(hào)安排學(xué)校 考號(hào)安排廈門(mén)一中 10001——10600雙十中學(xué) 10601——11200廈門(mén)六中 11201——11800外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 11801——12400科技中學(xué) 12401——13000廈門(mén)二中 13001——13200湖濱中學(xué) 13201——13400學(xué)校 考號(hào)安排松柏中學(xué) 13401——13600廈門(mén)三中 13601——13800華僑中學(xué) 13801——14000禾山中學(xué) 14001——14200大同中學(xué) 14201——14400康橋中學(xué) 14401——14600集美中學(xué) 20001——20400英才學(xué)校 20401——20600灌口中學(xué) 20601——28000樂(lè)安中學(xué) 20801——21000廈門(mén)十中 21001——21400杏南中學(xué) 21401——21600海滄中學(xué) 21601——21800海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué) 21801——22000同安一中 30001——30600啟悟中學(xué) 30601——30800第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 30801——31000東山中學(xué) 31001——31200五顯中學(xué) 31201——31400國(guó)祺中學(xué) 31401——31600翔安一中 40001——40400新店中學(xué) 40401——40600內(nèi)厝中學(xué) 40601——40800詩(shī)扳中學(xué) 40801——41000五、考務(wù)：有關(guān)考場(chǎng)的設(shè)置、監(jiān)考等考務(wù)工作另行安排布置。六、獎(jiǎng)項(xiàng)：按參賽人數(shù)的5%從高分到低分確定復(fù)賽入圍者；預(yù)賽成績(jī)?yōu)楸緟^(qū)第一名經(jīng)省數(shù)學(xué)會(huì)審核無(wú)誤后也可以直接參加復(fù)賽。另外，符合下列條件之一者可直接進(jìn)入復(fù)賽：（1）2008年、2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建賽區(qū)）一、二等獎(jiǎng)獲得者；（2）2010年?yáng)|南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽一、二等獎(jiǎng)獲得者；（3）2010年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽（?。┣笆迕@得者；（4）2010年中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽一、二等獎(jiǎng)獲得者。復(fù)賽試卷經(jīng)省數(shù)學(xué)會(huì)評(píng)定后，評(píng)出（省級(jí)）全國(guó)一、二、三等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)名單報(bào)省科協(xié)、省教育廳審定，獲得（省級(jí)）全國(guó)一、二、三等獎(jiǎng)的選手及指導(dǎo)教師由省科協(xié)和省教育廳聯(lián)合頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書(shū)。注意：一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)均按聯(lián)賽與加試的總分評(píng)定。省數(shù)學(xué)會(huì)評(píng)出《2009年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽》一、二、三等獎(jiǎng)后，我市在省獎(jiǎng)之外再評(píng)出市一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)，以及表?yè)P(yáng)獎(jiǎng)若干名。為了鼓勵(lì)各校參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的積極性，研究決定：按報(bào)名人數(shù)給學(xué)校不低于10%的市級(jí)（以上）獲獎(jiǎng)名額，鼓勵(lì)學(xué)生。廈門(mén)市教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育研究室廈門(mén)市教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)2010年5月13日附：2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)（廈門(mén)）競(jìng)賽報(bào)名表考號(hào)學(xué)生姓名性別年級(jí)所在學(xué)校指導(dǎo)教師考生總數(shù)（人）應(yīng)交金額（元）（注：報(bào)名表的指導(dǎo)教師欄請(qǐng)認(rèn)真填寫(xiě)，賽后不得更改）1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一．選擇題(每小題5分，共30分)對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|＋|A2B2|＋L＋|A1992B1992|的值是()

(A)(B)(C)(D)已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()

(A)(x＋)(y＋)=0(B)(x-)(y-)=0

(C)(x＋)(y-)=0(D)(x-)(y＋)=0設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記=/S，則一定滿足()

(A)2<≤4(B)3<<4(C)2.5<≤4.5(D)3.5<<5.5在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c(b11)，且都是方程=logb(4x-4)的根，則△ABC()

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2＋z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()

(A)8(B)4(C)6(D)12設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10＋x)f(10-x)，f(20-x)-f(20＋x)，則f(x)是

(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二．填空題(每小題5分共30分)設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的值是______．在區(qū)間[0，p]中，三角方程cos7xcos5x的解的個(gè)數(shù)是______．從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是_____．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1＋z2|=7，則arg()3的值是______．設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1a21，a32，且對(duì)任何自然數(shù)n，都有anan＋1an＋211，又anan＋1an＋2an＋3an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，則a1＋a2＋L＋a100的值是____．函數(shù)f(x)=-的最大值是_____．三、(20分)求證：．四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過(guò)A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l與m的距離．五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)(x10，1)，令y=x＋.

1.求證:fn＋1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：fn(x)=1993年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷第一試一．選擇題(每小題5分，共30分)若M＝{(x，y)||tgpy|+sin2px0}，N＝{(x，y)|x2+y2≤2}，則MN的元素個(gè)數(shù)是（）

(A)4(B)5(C)8(D)9已知f(x)＝asinx+b+4(a，b為實(shí)數(shù))，且f(lglog310)5，則f(lglg3)的值是（）

(A)-5(B)-3(C)3(D)隨a，b取不同值而取不同值集合A，B的并集AB＝{a1，a2，a3}，當(dāng)A1B時(shí)，(A，B)與(B，A)視為不同的對(duì)，則這樣的(A，B)對(duì)的個(gè)數(shù)是（）

（A）8（B）9（C）26（D）27若直線x＝被曲線C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦長(zhǎng)為d，當(dāng)a變化時(shí)d的最小值是()

(A)(B)(C)(D)p在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則的值是()

(A)1(B)(C)(D)-1設(shè)m，n為非零復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C，則方程|z＋ni|＋|z－mi|＝n與|z＋ni|－|z－mi|＝－m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是()二．填空題（每小題5分，共30分）二次方程(1－i)x2＋(l＋i)x＋(1＋il)＝0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為_(kāi)_______．實(shí)數(shù)x，y滿足4x2－5xy＋4y2＝5，設(shè)S＝x2＋y2，則_______．若z?C，arg(z2-4)＝，arg(z2+4)＝，則z的值是________．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______．設(shè)任意實(shí)數(shù)x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使≥恒成立，則k的最大值是_______．三位數(shù)(100，101，L，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過(guò)來(lái)看仍為三位數(shù)，如198倒過(guò)來(lái)看是861；有的卡片則不然，如531倒過(guò)來(lái)看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____張卡片．三．（本題滿分20分）三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM相交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為，則為三棱錐S－ABC的外接球球心．四．（本題滿分20分）設(shè)0＜a＜b，過(guò)兩定點(diǎn)A(a，0)和B(b，0)分別引直線l和m，使與拋物線y2＝x有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí)，求這種直線l與m的交點(diǎn)P的軌跡．五．（本題滿分20分）設(shè)正數(shù)列a0，a1，a2，L，an，L滿足(n≥2)且a0＝a1＝1．求{an}的通項(xiàng)公式．1994年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一．選擇題(每小題6分，共36分)1．設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，那么對(duì)任何實(shí)數(shù)x，不等式都成立的充要條件是(A)a，b同時(shí)為0，且c>0(B)(C)(D)2．給出下列兩個(gè)命題：(1)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果，則；(2)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果，則．那么下述說(shuō)法正確的是(A)命題(1)正確，命題(2)也正確(B)命題(1)正確，命題(2)錯(cuò)誤(C)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)也錯(cuò)誤(D)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)正確3．已知數(shù)列滿足，且，其前n項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是(A)5(B)6(C)7(D)84．已知，則下列三數(shù)：，，的大小關(guān)系是(A)x＜z<y(B)y＜z＜x(C)z＜x＜y(D)x＜y＜z5．在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(A)(B)(C)(D)6．在平面直角坐標(biāo)系中，方程(a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的長(zhǎng)方形(D)非正方形的菱形

二、填空題(每小題9分，共54分)1．已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-1，1)和(2，2)，若直線l：x＋my＋m＝0與PQ的延長(zhǎng)線相交，則m的取值范圍是______．2．已知且，則=_____．3．已知點(diǎn)集，，則點(diǎn)集中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為_(kāi)____．4．設(shè)，則的最大值是______．5．已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則=___6．已知95個(gè)數(shù)，每個(gè)都只能?。?或兩個(gè)值之一，那么它們的兩兩之積的和的最小值是___．1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試一．選擇題(每小題6分，共36分)1.設(shè)等差數(shù)列滿足且，Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是()(A)(B)(C)(D)2.設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，則復(fù)數(shù)Z11995，Z21995，所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()(A)4(B)5(C)10(D)203.如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱(chēng)甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱(chēng)他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)50個(gè)(D)100個(gè)4.已知方程在區(qū)間(2n-1，2n+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)以上都不是5.的大小關(guān)系是()(A)(B)(C)(D)6.設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過(guò)O的動(dòng)平面與PC交于S，與PA，PB的延長(zhǎng)線分別交于Q，R，則和式(A)有最大值而無(wú)最小值(B有最小值而無(wú)最大值(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個(gè)與面QPS無(wú)關(guān)的常數(shù)二、填空題(每小題9分，共54分)1.設(shè)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，若，且為實(shí)數(shù)，則_____．2.一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為_(kāi)______．3.用[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是______．4.直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是______．5.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是______．6.設(shè)M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件:當(dāng)時(shí)，，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是______．一九九六年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽選擇題（本題滿分36分，每小題6分）把圓x2+(y–1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn),用線段連接起來(lái)的圖形是_________.(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1536,公比是q＝．用Tn表示它的前n項(xiàng)之積，則Tn(n?N)最大的是____________(A)T9(B)T11(C)T12(D)T133.存在在整數(shù)n，使是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p．(A)不存在(B)只有一個(gè)(C)多于一個(gè)，但為有限個(gè)(D)有無(wú)窮多個(gè)4設(shè)x?(–，0)，以下三個(gè)數(shù)：a1=cos(sinxp),a2=sin(cosxp),a3=cos(x+1)p的大小關(guān)系是__________．(A)a3<a2<a1(B)a1<a3<a2(C)a3<a1<a2(D)a2<a3<a15.如果在區(qū)間[1,2]上,函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+()2在同一點(diǎn)取相同的最小值,那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是__________.(A)(B)(C)(D)以上答案都不對(duì)6.高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2的球O1,球心O1在圓臺(tái)的軸上.球O1與圓臺(tái)上底面、側(cè)面都相切.圓臺(tái)內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球O2,使得球O2與球O1、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn),除球O2,圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)4填空題(本題滿分54分,每小題9分)集合{x|–1￡log()10<–,x?N}的真子集的個(gè)數(shù)是_____________________．復(fù)平面上非零復(fù)數(shù)z1、z2在以i為圓心1為半徑的圓上，z1z1的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=____________．3.曲線C的極坐標(biāo)方程是r=1+cosq,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,0)．曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周,則它掃過(guò)的圖形的面積是______________．4.已知將給定的兩個(gè)全等的三棱錐的底面粘在一起,恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體,并且該六面體的最短棱的長(zhǎng)為2,則最遠(yuǎn)的兩個(gè)基本點(diǎn)頂點(diǎn)的距離是__________．5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色,每面恰染一種顏色,每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有_____________種.(注:如果我們對(duì)兩個(gè)相同的正方體染色后,可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn),使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對(duì)應(yīng)面的染色都相同,那么,我們就說(shuō)這兩個(gè)正方體的染色方案相同).6.在直角坐標(biāo)平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上，整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為_(kāi)______________．1997年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷(10月5日上午8:00-10:00)一、選擇題(每小題6分，共36分)1．已知數(shù)列{}滿足(n≥2)，x1a，x2b，記Snx1＋x2＋L＋xn，則下列結(jié)論正確的是

(A)x100＝－a，S100＝2b－a(B)x100＝－b，S100=2b－a

(C)x100＝－b，S100＝b－a(D)x100＝－a，S100＝b－-a2．如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得

，

記其中表示EF與AC所成的角，表示EF與BD所成的角，則(A)在單調(diào)增加

(B)在單調(diào)減少

(C)在(0，1)單調(diào)增加，而在(1，＋單調(diào)減少

(D)在(0，＋)為常數(shù)3.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)的和為972，則這樣的數(shù)列共有

(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)4．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為

(A)(0，1)(B)(1，＋(C)(0，5)(D)(5，＋5．設(shè)，a=arcsin，，則

(A)(B)

(C)(D)6．如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有

(A)0條(B)1條(C)多于1的有限條(D)無(wú)窮多條填空題(每小題9分，共54分)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，則x＋y=.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得|AB|=的直線l恰有3條，則＝.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的幅角主值范圍是．已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2，設(shè)S、A、B、C四點(diǎn)均在以O(shè)為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為．設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開(kāi)始在頂點(diǎn)A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一．若在5次之內(nèi)跳到D點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若5次之內(nèi)不能到達(dá)D點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開(kāi)始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種．設(shè)a=lgz＋lg[x(yz)-1＋1]，b=lgx-1＋lg(xyz＋1)，c=lgy＋lg[(xyz)-1＋1]，記a，b，c中最大數(shù)為M，則M的最小值為．

一九九八年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷（10月11日上午800—1000）選擇題（本題滿分36分，每小題6分）若a＞1,b＞1且lg(a+b)=lga+lgb，則lg(a-1)+lg(b-1)的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是與a,b無(wú)關(guān)的常數(shù)若非空集合A={x2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}，則能使AíAB成立的所有a的集合是()

(A){a|1≤a≤9}(B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9}(D)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和記為Sn，若S10=10,S30=70，則S40等于()

(A)150(B)-200(C)150或-200(D)400或-50設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0與a2x2+b2x+c2＞0的解集相同；命題Q：。則命題Q

(A)是命題P的充分必要條件(B)是命題P的充分條件但不是必要條件

(C)是命題P的必要條件但不是充分條件

(D)既不是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件設(shè)E,F,G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點(diǎn)，則二面角C-FG-E的大小是()

(A)(B)

(C)(D)在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是()

(A)57(B)49(C)43(D)37填空題（本題滿分54分，每小題9分）若是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則,,由小到大的排列是_________________.設(shè)復(fù)數(shù)z=(≤≤18)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z,2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P,Q,R，當(dāng)P,Q,R不共線時(shí)，以線段PQ,PR為兩邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值是_______.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有________種.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的數(shù)列至多有___________項(xiàng).若橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，M是AB的中點(diǎn)，將△ACM沿CM折起，使A,B兩點(diǎn)間的距離為，此時(shí)三棱錐A-BCM的體積等于________.（本題滿分20分）

已知復(fù)數(shù)z=1-sin+icos()，求z的共軛復(fù)數(shù)的輻角主值。（本題滿分20分）

設(shè)函數(shù)(a＜0)，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。

問(wèn)：a為何值時(shí)l(a)最大？求出這個(gè)最大的l(a)，證明你的結(jié)論。（本題滿分20分）

已知拋物線及定點(diǎn),B(-a,0),，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM,BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1,M2.

求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要M1,M2存在且M1≠M(fèi)2），直線M1M2恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽選擇題（滿分36分，每小題6分）給定公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an}，設(shè)b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，則數(shù)列{bn}()

(A)是等差數(shù)列(B)是公比為q的等比數(shù)列

(C)是公比為q3的等比數(shù)列(D)既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，那么，滿足不等式(|x|－1)2＋(|y|-1)2＜2的整點(diǎn)(x，y)的個(gè)數(shù)是()

(A)16(B)17(C)18(D)25若(log23)x-(log53)x≥(log23)-(log53)，則()

(A)x-y≥0(B)x＋y≥0(C)x-y≤0(D)x＋y≤0給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題：

命題Ⅰ：若平面a上的直線a與平面b上的直線b為異面直線，直線c是a與b的交線，那么，c至多與a,b中的一條相交；

命題Ⅱ：不存在這樣的無(wú)窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。

那么，()

(A)命題Ⅰ正確，命題Ⅱ不正確(B)命題Ⅱ正確，命題Ⅰ不正確

(C)兩個(gè)命題都正確(D)兩個(gè)命題都不正確在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每?jī)擅x手恰比賽一場(chǎng)，但有3名選手各比賽了2場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場(chǎng)。那么，在上述3名選手之間比賽的場(chǎng)數(shù)是()

(A)0(B)1(C)2(D)3已知點(diǎn)A(1,2)，過(guò)點(diǎn)(5,-2)的直線與拋物線y2＝4x交于另外兩點(diǎn)B,C，那么，△ABC是()

(A)銳角三角形(B)鈍角三角形(C)直角三角形(D)答案不確定填空題（滿分54分，每小題9分）已知正整數(shù)n不超過(guò)2000，并且能表示成不少于60個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，那么，這樣的n的個(gè)數(shù)是___________．已知＝arctg，那么，復(fù)數(shù)的輻角主值是_________．在△ABC中，記BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，則＝__________．已知點(diǎn)P在雙曲線上，并且P到這條雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是P到這條雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，那么，P的橫坐標(biāo)是_____．已知直線ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是______．已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA＝2。那么三棱錐S-ABC的體積為_(kāi)_________．三、(滿分20分)已知當(dāng)x?[0,1]時(shí)，不等式恒成立，試求的取值范圍．四、(滿分20分)給定A(-2,2)，已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，當(dāng)|AB|＋|BF|取最小值時(shí)，求B的坐標(biāo)．五、(滿分20分)給定正整數(shù)n和正數(shù)M，對(duì)于滿足條件≤M的所有等差數(shù)列a1,a2,a3,….，試求S＝an＋1＋a