2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)第1章 §66.1垂直關(guān)系的判定含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修2教師用書：第1章§66.1垂直關(guān)系的判定含解析§6垂直關(guān)系6．1垂直關(guān)系的判定學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1。掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義．（重點)2．掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，并能靈活應(yīng)用判定定理證明直線與平面垂直、平面與平面垂直．（重點、難點)3．了解二面角、二面角的平面角的概念，會求簡單的二面角的大?。?重點、易錯點)1。通過應(yīng)用判定定理證明空間中的垂直關(guān)系，提升邏輯推理素養(yǎng)．2．通過求解二面角的大小培養(yǎng)直觀想象數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1．直線與平面垂直的概念及判定定理（1）定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．（2）畫法：通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直，如圖所示．(3）直線與平面垂直的判定定理:文字語言如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直圖形語言符號語言若直線a平面α，直線b平面α,直線l⊥a,l⊥b，a∩b＝A,則l⊥平面α思考1：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直線,則此直線與平面什么關(guān)系?提示：相交、垂直或在平面內(nèi)．2．二面角(1)二面角的概念：①半平面：一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面．②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫作二面角的面．③二面角的記法：以直線AB為棱、半平面α，β為面的二面角，記作二面角α。AB-β。(2)二面角的平面角:文字語言以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角圖形語言符號語言若α∩β＝l，OAα，OBβ，且OA⊥l,OB⊥l，則∠AOB為二面角α。l-β的平面角取值范圍0°≤θ≤180°直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角思考2：二面角的大小，與角的頂點在棱上的位置有關(guān)嗎?提示:沒關(guān)系．3．平面與平面垂直（1）平面與平面垂直：定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直畫法把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示水平平面的平行四邊形的橫邊垂直(如圖)記法α⊥β(2）平面與平面垂直的判定定理：文字語言如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直符號語言若直線AB平面β，AB⊥平面α,則β⊥α思考3：若兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面有何位置關(guān)系？提示:平行、垂直、斜交．1．已知平面α及α外一直線l,給出下列命題：①若l垂直于α內(nèi)兩條直線，則l⊥α;②若l垂直于α內(nèi)所有直線,則l⊥α；③若l垂直于α內(nèi)任意一條直線,則l⊥α;④若l垂直于α內(nèi)兩條平行直線，則l⊥α.其中，正確命題的個數(shù)是（)A．0B．1C．2D．3C［根據(jù)直線與平面垂直的定義可知,②③正確,①④不正確．]2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有（)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD[∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD。又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.]3．如圖所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中．（1)與PC垂直的直線有________；(2)與AP垂直的直線有________．(1)AB，BC，AC(2）BC[(1)因為PC⊥平面ABC，AB,AC,BC平面ABC，所以與PC垂直的直線有AB，AC,BC。(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC,又AP平面PAC，所以BC⊥AP.］4．如圖,正方體ABCD.A1B1C1D1中,截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1。AB。C45°［∵AB⊥BC,AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1.AB。C的平面角，其大小為45°.］線面垂直的判定【例1】如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC,點D為斜邊AC的中點．求證：直線SD⊥平面ABC.[證明]∵SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，∴SD⊥AC。連接BD,在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD。又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC。1．在本例中，若AB＝BC,其他條件不變，求BD與平面SAC的位置關(guān)系．［解］∵AB＝BC，點D為斜邊AC的中點，∴BD⊥AC.又由本例知SD⊥平面ABC,∴SD⊥BD。于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線,故BD⊥平面SAC。2．將本例改為:已知四棱錐P.ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD。若O是AC與BD的交點，求證：PO⊥平面ABCD。[證明]在△PBD中，PB＝PD，O為BD的中點，∴PO⊥BD.在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點，∴PO⊥AC,又∵AC∩BD＝O,∴PO⊥平面ABCD.1．直線與平面垂直的判定（或證明)常用的方法是線面垂直的判定定理，要注意定理中的兩個關(guān)鍵條件：①平面內(nèi)的兩條相交直線；②都垂直．2．要證明線面垂直，先證線線垂直，而證線線垂直，通常又借助線面垂直,它們是相互轉(zhuǎn)化的．面面垂直的判定【例2】如圖所示，在四面體ABCS中,已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC。［證明]法一：因為∠BSA＝∠CSA＝60°,SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形,則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，設(shè)其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點D，如圖所示，連接AD，SD,則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC。S的平面角．在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2)，2）a，BD＝eq\f（BC,2）＝eq\f（\r(2），2）a，在Rt△ABD中,AD＝eq\f（\r（2）,2)a，在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A。BC。S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC。法二：因為SA＝SB＝SC,且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因為△SBC為直角三角形,所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，所以AD⊥平面SBC。又因為AD平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC。證明面面垂直的方法：1定義法:即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；2判定定理法:在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;3性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面。eq\O（［跟進訓(xùn)練])1．如圖，四棱錐P。ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PDB.［證明］∵AC⊥BD,AC⊥PD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，∴AC⊥平面PDB。又∵AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB。二面角［探究問題］1．如圖所示，在三棱錐S.ABC中，△SBC,△ABC都是等邊三角形，請根據(jù)二面角的平面角的定義作出二面角S。BC。A的平面角，并說明理由．提示：取BC的中點O，連接SO，AO,因為AB＝AC，O是BC的中點，所以AO⊥BC.同理可證SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S。BC.A的平面角．2．在上述問題中，若BC＝1，SA＝eq\f(\r(3),2）,請計算二面角S。BC。A的大?。崾荆涸凇鰽OB中,∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1×sin60°＝eq\f（\r（3),2)。同理可求SO＝eq\f（\r（3)，2)。又SA＝eq\f(\r(3）,2)，所以△SOA是等邊三角形,所以∠SOA＝60°，所以二面角S。BC。A的大小為60°.【例3】如圖,AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A、B的一點，且AB＝2,PA＝BC＝1。(1）求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)求二面角P。BC。A的大?。甗解］(1)證明：∵A，B，C在⊙O上,∴⊙O所在平面可記為平面ABC,∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC，∴PA⊥BC.∵C在圓周上，且異于A、B兩點，AB是⊙O的直徑,∴BC⊥AC。又AC∩PA＝A,∴BC⊥平面PAC。又BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.(2）由(1)知，BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴PC⊥BC，又∵AC⊥BC，∴∠PCA為二面角P。BC-A的平面角．在Rt△PAC中，PA＝1，AC＝eq\r(3),∠PAC＝90°，∴tan∠PCA＝eq\f（\r（3）,3)，∴∠PCA＝30°，所以二面角P.BC.A的大小是30°。1．本例條件不變，試求二面角C-PA。B的大?。劢鈃∵PA⊥平面ABC?！郟A⊥AC，PA⊥AB，∴∠CAB即為二面角C。PA-B的平面角,在Rt△ACB中，易知AB＝2,BC＝1,∴AC＝eq\r（3），∴sin∠BAC＝eq\f（1,2），∴∠BAC＝30°,∴二面角C.PA-B的大小為30°。2．本例條件不變,試求二面角A-PB.C的正弦值．［解］過A作AE⊥PB于點E，過E作EF⊥PB交PC于點F,連AF，則∠AEF即為二面角A。PB-C的平面角（圖略）．由例題知，BC⊥平面PAC，又AF平面PAC，∴AF⊥BC，又PB⊥AE，PB⊥EF，∴PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB，又BC∩PB＝B，∴AF⊥平面PBC?！唷鰽FE為直角三角形．在Rt△PAC中，PA＝1,AC＝eq\r（3)?！郟C＝2，∴AF＝eq\f（\r（3)，2)，在Rt△PAB中,PA＝1，AB＝2,∴PB＝eq\r（5）,∴AE＝eq\f(2,\r（5））.∴在Rt△AFE中，sin∠AEF＝eq\f（AF，AE）＝eq\f(\f(\r（3),2）,\f（2，\r（5）））＝eq\f（\r(15）,4)。1．求二面角大小的關(guān)鍵是先找出或作出平面角,再把平面角放在三角形中,最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值,其步驟為:作角→證明→計算．2．要在適當(dāng)位置作出二面角的平面角，就要注意觀察二面角兩個面的特點,如是否為等腰三角形等．1．直線和平面垂直的判定方法：(1）利用線面垂直的定義．（2)利用線面垂直的判定定理．(3）利用下面兩個結(jié)論：①若a∥b，a⊥α,則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2．求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求"．3．平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路(1)本質(zhì):通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直,即線面垂直?面面垂直．（2）證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．1．思考辨析（1）如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條平行直線都垂直，則該直線與此平面垂直． (）(2）一條直線和一個平面內(nèi)的所有直線垂直，則該直線與該平面垂直． （)（3)一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則該直線與該平面垂直． （）(4)若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)不存在直線垂直于直線l. （)[答案］（1)×(2)√（3)×(4）×2．對于直線m,n和平面α,β，能得出α⊥β的一個條件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mα D．m∥n，m⊥α，n⊥βC［∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.]3．如圖所示,在三棱錐P。ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA.C的大小為________．90°[∵PA⊥平面ABC,BA，CA平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此,∠BAC即為二面角B-PA.C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B。PA-C