浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)習(xí)題：小專題及期末復(fù)習(xí)

小專題(一)構(gòu)造全等三角形的方法技巧類型1連結(jié)線段構(gòu)造全等三角形【例1】如圖，已知AB＝AD，BC＝CD，求證：∠B＝∠D.證明：連結(jié)AC，在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠B＝∠D.【方法歸納】通過連結(jié)兩點(diǎn)，構(gòu)造出三角形，再證明兩個(gè)三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)說明角相等或邊相等．1．如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，求證：∠A＝∠C.證明：連結(jié)BD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(ASA)．∴∠A＝∠C.2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MD⊥AB于點(diǎn)D，ME⊥AC于點(diǎn)E.求證：MD＝ME.證明：連結(jié)AM.在△ABM和△ACM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AM＝AM，,BM＝CM，))∴△ABM≌△ACM(SSS)．∴∠BAM＝∠CAM.∵M(jìn)D⊥AB，ME⊥AC，∴MD＝ME.類型2利用“截長補(bǔ)短”構(gòu)造全等三角形【例2】如圖，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求證：CD＝AD＋BC.證明：在CD上截取DF＝DA，連結(jié)FE.在△ADE和△FDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝FD，,∠ADE＝∠FDE，,DE＝DE，))∴△ADE≌△FDE.∴∠A＝∠DFE.又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠DFE＋∠EFC＝180°.∴∠B＝∠EFC.在△EFC和△EBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EFC＝∠B，,∠ECF＝∠ECB，,EC＝EC，))∴△EFC≌△EBC.∴FC＝BC.∴CD＝DF＋FC＝AD＋BC.【方法歸納】遇到證明線段的和差倍分問題時(shí)，通常利用截長法或補(bǔ)短法，具體的作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或者延長某條線段，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)解決．3．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于點(diǎn)O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．解：BC＝BE＋CD.證明：在BC上截取BF＝BE，連結(jié)OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.又∵BO＝BO，∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－eq\f(1,2)∠ABC－eq\f(1,2)∠ACB＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.4．(德州中考)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG.先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE＋DF；(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．解：EF＝BE＋DF仍然成立．證明：延長FD到G，使DG＝BE，連結(jié)AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝DG，,∠B＝∠ADG，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△AGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,∠EAF＝∠GAF，,AF＝AF，))∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.類型3利用“中線倍長”構(gòu)造全等三角形【例3】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AC>AB，求證：AB＋AC>2AD>AC－AB.證明：延長AD至E，使AD＝DE，并連結(jié)CE，∵D是BC上的中點(diǎn)，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB≌△EDC(SAS)．∴AB＝CE.∵AC＋CE>2AD>AC－CE，∴AB＋AC>2AD>AC－AB.【方法歸納】當(dāng)題目中出現(xiàn)中線時(shí)，常常延長中線，使所延長部分與中線的長度相等，然后連結(jié)相應(yīng)的端點(diǎn)，便可以得到全等三角形．5．已知：如圖，AD，AE分別是△ABC和△ABD的中線，且BA＝BD.求證：AE＝eq\f(1,2)AC.證明：延長AE至F，使EF＝AE，連結(jié)DF.∵AE是△ABD的中線，∴BE＝DE.又∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.∴DF＝CD.又∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝eq\f(1,2)AC.6．如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE＝2AM.證明：延長AM至點(diǎn)N，使MN＝AM，連結(jié)BN，∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴BM＝CM.又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.∵AD＝AC，AC＝BN，∴AD＝BN.又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.

小專題(二)等腰三角形中的分類討論類型1對(duì)頂角和底角的分類討論對(duì)于等腰三角形，只要已知它的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如果題中沒有確定這個(gè)內(nèi)角是頂角還是底角，就要分兩種情況來討論．在分類時(shí)要注意：三角形的內(nèi)角和等于180°；等腰三角形中至少有兩個(gè)角相等．1．等腰三角形中有一個(gè)角為52°，它的一條腰上的高與底邊的夾角為多少度？解：①若已知的這個(gè)角為頂角，則底角的度數(shù)為(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高與底邊的夾角為26°；②若已知的這個(gè)角為底角，則一腰上的高與底邊的夾角為38°.故所求的一腰上的高與底邊的夾角為26°或38°.類型2對(duì)腰長和底長的分類討論在解答已知等腰三角形邊長的問題時(shí)，當(dāng)題目條件中沒有明確說明哪條邊是“腰”、哪條邊是“底”時(shí)，往往要進(jìn)行分類討論．判定的依據(jù)是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊．2．(1)已知等腰三角形的一邊長等于6cm，一邊長等于7cm，求它的周長；(2)等腰三角形的一邊長等于8cm，周長等于30cm，求其他兩邊的長．解：(1)周長為19cm或20cm.(2)其他兩邊的長為8cm，14cm或11cm，11cm.3．若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長．解：如圖，由于條件中中線分周長的兩部分，并沒有指明哪一部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形．設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長為xcm，底邊長為ycm，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝9，,\f(1,2)x＋y＝12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝12，,\f(1,2)x＋y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝9，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝5.))故腰長是6cm，底邊長是9cm或腰長是8cm，底邊長是5cm.類型3幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確的分類討論4．已知C、D兩點(diǎn)在線段AB的中垂線上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝80°，求∠CAD的度數(shù)．解：①如圖1，當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線段AB的同側(cè)時(shí)，∵C、D兩點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，∴CA＝CB.∴△CAB是等腰三角形．又∵CE⊥AB，∴CE是∠ACB的平分線．∴∠ACE＝∠BCE.∵∠ACB＝50°，∴∠ACE＝25°.同理可得∠ADE＝40°，∴∠CAD＝∠ADE－∠ACE＝40°－25°＝15°；圖1圖2②如圖2，當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線段AB的兩側(cè)時(shí)，同①的方法可得∠ACE＝25°，∠ADE＝40°，∴∠CAD＝180°－(∠ADE＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°.故∠CAD的度數(shù)為15°或115°.類型4運(yùn)動(dòng)過程中等腰三角形中的分類討論5．(下城區(qū)校級(jí)期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射線BC上一動(dòng)點(diǎn)D，從點(diǎn)B出發(fā)，以2厘米每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，以A、D、B為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形，則所用時(shí)間t為eq\f(25,8)或5或8秒．解析：①當(dāng)AD＝BD時(shí)，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即BD2＝(8－BD)2＋62，解得BD＝eq\f(25,4)cm.則t＝eq\f(\f(25,4),2)＝eq\f(25,8)(秒)；②當(dāng)AB＝BD時(shí)，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，則t＝eq\f(10,2)＝5(秒)；③當(dāng)AD＝AB時(shí)，BD＝2BC＝16cm，則t＝eq\f(16,2)＝8(秒)．綜上所述，t的值可以是：eq\f(25,8)，5，8.6．(杭州期中)如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t＝2秒時(shí)，求PQ的長；(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．解：(1)BQ＝2×2＝4(cm)，BP＝AB－AP＝8－2×1＝6(cm)，∵∠B＝90°，∴PQ＝eq\r(BQ2＋BP2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)．(2)根據(jù)題意，得BQ＝BP，即2t＝8－t，解得t＝eq\f(8,3).∴出發(fā)時(shí)間為eq\f(8,3)秒時(shí)，△PQB是等腰三角形．(3)分三種情況：①當(dāng)CQ＝BQ時(shí)，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠ABQ.∴BQ＝AQ.∴CQ＝AQ＝5cm.∴BC＋CQ＝11cm.∴t＝11÷2＝5.5(秒)．②當(dāng)CQ＝BC時(shí)，如圖2所示，則BC＋CQ＝12cm.∴t＝12÷2＝6(秒)．③當(dāng)BC＝BQ時(shí)，如圖3所示，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6×8,10)＝4.8(cm)．∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝3.6cm.∴CQ＝2CE＝7.2cm.∴BC＋CQ＝13.2cm.∴t＝13.2÷2＝6.6(秒)．由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．

小專題(三)利用勾股定理解決折疊與展開問題類型1利用勾股定理解決平面圖形的折疊問題1．如圖所示，有一張直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CE的長為(A)A．1cm B．1.5cmC．2cm D．3cm第1題圖第2題圖2．如圖，長方形ABCD的邊AD沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知AB＝6，△ABF的面積是24，則FC等于(B)A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝5cm，BC＝10cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD的長為(D)A.eq\f(25,2)cm B.eq\f(15,2)cmC.eq\f(25,4)cm D.eq\f(15,4)cm第3題圖第4題圖4．(銅仁中考)如圖，在長方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，將△BCD沿對(duì)角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，則線段DE的長為(B)A．3 B.eq\f(15,4)C．5 D.eq\f(15,2)5．(上城區(qū)期末)在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)，若限定點(diǎn)P、Q分別在線段AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為(B)A．1 B．2 C．3 D．4解析：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得A′D＝AD＝5.在Rt△A′CD中，A′D2＝A′C2＋CD2，即52＝(5－A′B)2＋32，解得A′B＝1.如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得A′B＝AB＝3.∵3－1＝2，∴點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為2.故選B.6．如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則△ABE的周長為7．第6題圖第7題圖7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是6_cm2．8．如圖，長方形ABCD中，CD＝6，BC＝8，E為CD邊上一點(diǎn)，將長方形沿直線BE折疊，使點(diǎn)C落在線段BD上C′處，求DE的長．解：∵在長方形ABCD中，∠C＝90°，DC＝6，BC＝8，∴BD＝eq\r(62＋82)＝10.由折疊可得BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°，∴C′D＝2，∠DC′E＝90°.設(shè)DE＝x，則C′E＝CE＝6－x.在Rt△C′DE中，x2＝(6－x)2＋22，解得x＝eq\f(10,3).∴DE的長為eq\f(10,3).類型2利用勾股定理解決立體圖形的最短路徑問題9．如圖是一個(gè)封閉的正方體紙盒，E是CD中點(diǎn)，F(xiàn)是CE中點(diǎn)，一只螞蟻從一個(gè)頂點(diǎn)A爬到另一個(gè)頂點(diǎn)G，那么這只螞蟻爬行的最短路線是(C)A．A?B?C?GB．A?C?GC．A?E?GD．A?F?G10．如圖，在一個(gè)長為2m，寬為1m的長方形草地上，放著一根長方體的木塊，它的棱和場地寬AD平行且棱長大于AD，木塊從正面看是邊長為0.2m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是2.60m.(精確到0.01m)第10題圖第11題圖11．(涼山中考)如圖，圓柱形玻璃杯，高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為20cm.12．一位同學(xué)要用彩帶裝飾一個(gè)長方體禮盒．長方體高6cm，底面是邊長為4cm的正方形，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C′如何貼彩帶用的彩帶最短？最短長度是多少？解：把長方體的面DCC′D′沿棱CD展開至面ABCD上，如圖．構(gòu)成矩形ABC′D′，則A到C′的最短距離為AC′的長度，連結(jié)AC′交DC于O，易證△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC，即O為DC的中點(diǎn)．由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10cm.即從頂點(diǎn)A沿直線到DC中點(diǎn)O(或A′B′中點(diǎn)O′)，再沿直線到頂點(diǎn)C′，貼的彩帶最短，最短長度為10cm.13．如圖，一個(gè)長方體形狀的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)AB＝4，BC＝4，CC1＝5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長．解：(1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形ABC′1D1和ACC1A1.螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖所示的AC′1和AC1兩種．(2)螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C′1，爬過的路徑的長l1＝eq\r(42＋（4＋5）2)＝eq\r(97)；螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1，爬過的路徑的長l2＝eq\r(（4＋4）2＋52)＝eq\r(89).∵l1>l2，∴最短路徑的長是eq\r(89).

小專題(四)全等三角形的基本模型類型1平移型把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形．圖1，圖2是常見的平移型全等三角形．在證明平移型全等的試題中，常常要碰到移動(dòng)方向的邊加(減)公共邊．如圖1，若BE＝CF，則BE＋EC＝CF＋CE，即BC＝EF.如圖2，若BE＝CF，則BE－CE＝CF－CE，即BC＝EF.1．如圖，已知EF∥MN，EG∥HN，且FH＝MG，求證：△EFG≌NMH.證明：∵EF∥MN，EG∥HN，∴∠F＝∠M，∠EGF＝∠NHM.∵FH＝MG，∴FH＋HG＝MG＋HG，即GF＝HM.在△EFG和△NMH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠M，,GF＝HM，,∠EGF＝∠NHM，))∴△EFG≌△NMH(ASA)．2．(金華六校10月聯(lián)考)如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一直線上，請(qǐng)你從下面四項(xiàng)中選出三個(gè)選項(xiàng)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，并進(jìn)行證明.①AB＝CD；②∠ACE＝∠D；③∠EAG＝∠FBG；④AE＝BF.你選擇的條件是：①②③，結(jié)論是：④．(填寫序號(hào))證明：∵∠EAG＝∠FBG，∴∠EAD＝∠FBD.∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.在△ACE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠D，,AC＝BD，,∠EAD＝∠FBD，))∴△ACE≌△BDF(ASA)．∴AE＝BF.類型2翻折型將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為翻折型全等三角形．此類圖形中要注意其隱含條件，即公共邊或公共角相等．3．(下城區(qū)校級(jí)期中)如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點(diǎn)F，連結(jié)CD、EB.(1)不添加輔助線，找出圖中其他的全等三角形；(2)求證：CF＝EF.解：(1)圖中其他的全等三角形為：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF.(2)證明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.類型3旋轉(zhuǎn)型將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形．識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，如圖1，涉及對(duì)頂角相等；如圖2，涉及等角加(減)等角的條件．4．已知：如圖，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求證：AD＝AE.證明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE.5．如圖，△ABC，△CDE是等邊三角形，B，C，E三點(diǎn)在同一直線上．(1)求證：AE＝BD；(2)若BD和AC交于點(diǎn)M，AE和CD交于點(diǎn)N，求證：CM＝CN；(3)連結(jié)MN，猜想MN與BE的位置關(guān)系，并加以證明．解：(1)證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠BCD＝∠ACE＝120°.在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD.(2)證明：∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD＝∠CAE.∵∠ACN＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴∠BCM＝∠ACN.在△BCM和△ACN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CBM＝∠CAN，,CB＝CA，,∠BCM＝∠ACN，))∴△BCM≌△ACN(ASA)．∴CM＝CN.(3)MN∥BE.證明：∵CM＝CN，∠MCN＝60°，∴△MCN為等邊三角形．∴∠CMN＝60°.∴∠CMN＝∠ACB.∴MN∥BE.類型4雙垂型基本圖形如圖：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE.6．如圖，AD⊥AB于點(diǎn)A，BE⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.求證：AD＝CB.證明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.∴∠D＋∠ACD＝90°.∵CD⊥CE，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠D＝∠BCE.在△ACD和△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,∠D＝∠BCE，,CD＝CE，))∴△ACD≌△BEC(AAS)．∴AD＝CB.7．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，直線l經(jīng)過點(diǎn)A且繞點(diǎn)A在△ABC所在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，作BD⊥l，CE⊥l，D、E為垂足．求證：DA＋DB＝2DE.證明：在l上截取FA＝DB，連結(jié)CD、CF.∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD⊥l，∴AC＝BC，∠BDA＝90°.∴∠CBD＋∠CAD＝360°－∠BDA－∠ACB＝360°－90°－90°＝180°.又∵∠CAF＋∠CAD＝180°，∴∠CBD＝∠CAF.在△CBD和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CA，,∠CBD＝∠CAF，,BD＝AF，))∴△CBD≌△CAF(SAS)．∴CD＝CF.∵CE⊥l，∴DE＝EF＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(1,2)(DA＋FA)＝eq\f(1,2)(DA＋DB)．∴DA＋DB＝2DE.

小專題(五)一元一次不等式(組)的解法1．解下列不等式(組)：(1)(金華金東區(qū)期末)5x＋3＜3(2＋x)；解：去括號(hào)，得5x＋3＜6＋3x.移項(xiàng)，得5x－3x＜6－3.合并同類項(xiàng)，得2x＜3.系數(shù)化為1，得x＜eq\f(3,2).(2)(黃岡中考)eq\f(x＋1,2)≥3(x－1)－4；解：去分母，得x＋1≥6(x－1)－8.去括號(hào)，得x＋1≥6x－6－8.移項(xiàng)，得x－6x≥－6－8－1.合并同類項(xiàng)，得－5x≥－15.兩邊都除以－5，得x≤3.(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥2，①,3（x＋1）>x＋5；②))解：由①，得x≥1.由②，得x>1.所以，不等式組的解集為x>1.(4)(莆田中考)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3（x－2）≥4，①,\f(1＋2x,3)>x－1；②))解：由①，得x≤1.由②，得x＜4.所以原不等式組的解集為x≤1.(5)(金華金東區(qū)期末)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－2>3（x＋1），①,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x.②))解：解不等式①，得x＞eq\f(5,2).解不等式②，得x≤4.故不等式組的解集為eq\f(5,2)＜x≤4.2．(蘇州中考)解不等式2x－1＞eq\f(3x－1,2)，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．解：去分母，得4x－2＞3x－1.移項(xiàng)，得4x－3x＞2－1.合并同類項(xiàng)，得x＞1.將不等式解集表示在數(shù)軸上如圖：3．(蕭山區(qū)校級(jí)月考)解不等式eq\f(x,3)<1－eq\f(x－3,6)，并求出它的非負(fù)整數(shù)解．解：去分母，得2x<6－(x－3)．去括號(hào)，得2x<6－x＋3.移項(xiàng)，得x＋2x<6＋3.合并同類項(xiàng)，得3x<9.系數(shù)化為1，得x<3.所以，非負(fù)整數(shù)解為0，1，2.4．(杭州經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)期末)解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥3（x－2），①,\f(x＋11,3)－1>－x.②))并把它的解在數(shù)軸上表示出來．解：解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x＞－2.∴原不等式組的解為－2＜x≤1.在數(shù)軸上表示為：5．(十堰中考)x取哪些整數(shù)值時(shí)，不等式5x＋2＞3(x－1)與eq\f(1,2)x≤2－eq\f(3,2)x都成立？解：根據(jù)題意解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2>3（x－1），①,\f(1,2)x≤2－\f(3,2)x.②))解不等式①，得x＞－eq\f(5,2).解不等式②，得x≤1.所以－eq\f(5,2)＜x≤1.故滿足條件的整數(shù)有－2、－1、0、1.

小專題(六)一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用1．建設(shè)“新絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的戰(zhàn)略構(gòu)想，強(qiáng)調(diào)相關(guān)各國要打造互利共贏的“利益共同體”和共同發(fā)展繁榮的“命運(yùn)共同體”．某國有企業(yè)在“一帶一路”的戰(zhàn)略合作中，向東南亞銷售A、B兩種外貿(mào)產(chǎn)品共6萬噸．已知A種外貿(mào)產(chǎn)品每噸800元，B種外貿(mào)產(chǎn)品每噸400元．若A、B兩種外貿(mào)產(chǎn)品銷售額不低于3200萬元，則至少銷售A產(chǎn)品多少萬噸？解：設(shè)銷售A產(chǎn)品x萬噸．根據(jù)題意，得800x＋400(6－x)≥3200.解得x≥2.答：至少銷售A產(chǎn)品2萬噸．2．(來賓中考)已知購買一個(gè)足球和一個(gè)籃球共需130元，購買2個(gè)足球和一個(gè)籃球共需180元．(1)求每個(gè)足球和每個(gè)籃球的售價(jià)；(2)如果某校計(jì)劃購買這兩種球共54個(gè)，總費(fèi)用不超過4000元，問最多可買多少個(gè)籃球？解：(1)設(shè)每個(gè)足球的售價(jià)為x元，每個(gè)籃球的售價(jià)為y元．根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝130，,2x＋y＝180.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝80.))答：每個(gè)足球和每個(gè)籃球的售價(jià)分別為50元、80元．(2)設(shè)可購買z個(gè)籃球．根據(jù)題意，得50(54－z)＋80z≤4000.解得z≤eq\f(130,3).∵z取整數(shù)，∴z最大可取43.答：最多可買43個(gè)籃球．3．2017年的5月20日是第17個(gè)中國學(xué)生營養(yǎng)日，我市某校社會(huì)實(shí)踐小組在這天開展活動(dòng)，調(diào)查快餐營養(yǎng)情況，他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息(如圖)，若這份快餐中所含的蛋白質(zhì)與碳水化合物的質(zhì)量之和不高于這份快餐總質(zhì)量的70%，這份快餐最多含有多少克的蛋白質(zhì)？信息1．快餐成分：蛋白質(zhì)、脂肪、碳水化合物和其他．2．快餐總質(zhì)量為400克．3．碳水化合物質(zhì)量是蛋白質(zhì)質(zhì)量的4倍．解：設(shè)這份快餐含有x克的蛋白質(zhì)．根據(jù)題意，得x＋4x≤400×70%.解得x≤56.答：這份快餐最多含有56克的蛋白質(zhì)．4．(玉林中考)蔬菜經(jīng)營戶老王近兩天經(jīng)營的是青菜和西蘭花．(1)昨天的青菜和西蘭花的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表，老王用600元批發(fā)青菜和西蘭花共200市斤，當(dāng)天售完后老王一共能賺多少錢？青菜西蘭花進(jìn)價(jià)(元/市斤)2.83.2售價(jià)(元/市斤)44.5(2)今天因進(jìn)價(jià)不變，老王仍用600元批發(fā)青菜和西蘭花共200市斤，但在運(yùn)輸中青菜損壞了10%，而西蘭花沒有損壞仍按昨天的售價(jià)銷售，要想當(dāng)天售完后所賺的錢不少于昨天所賺的錢，請(qǐng)你幫老王計(jì)算，應(yīng)怎樣給青菜定售價(jià)？(精確到0.1元)解：(1)設(shè)老王批發(fā)青菜x市斤，西蘭花y市斤，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,2.8x＋3.2y＝600.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝100.))(4－2.8)×100＋(4.5－3.2)×100＝250(元)．答：當(dāng)天售完后老王一共能賺250元錢．(2)設(shè)青菜的售價(jià)定為a元，根據(jù)題意，得100×(1－10%)a＋4.5×100－600≥250.解得a≥eq\f(40,9)≈4.44.答：青菜售價(jià)至少定為4.5元/市斤．

小專題(七)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)類型1一次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系1．在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y＝kx(k<0)的圖象可能是(C)2．(懷化中考)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則k和b的取值范圍是(C)A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0第2題圖第3題圖3．(江山期末)已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，則下列語句中不正確的是(B)A．函數(shù)值y隨x的增大而增大B．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0C．k＋b＝0D．kb＜04．已知函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖，則y＝2kx＋b的圖象可能是(C)5．已知一次函數(shù)y＝(2k－1)x＋b－1的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則k，b的取值范圍為(B)A．k>eq\f(1,2)，b>1 B．k<eq\f(1,2)，b>1C．k>eq\f(1,2)，b<1 D．k<eq\f(1,2)，b<16．對(duì)于一次函數(shù)y＝kx＋b，其中b實(shí)際是該函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．在畫圖實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)k>0，b>0時(shí)，其圖象經(jīng)過第一、二、三象限．請(qǐng)你隨意畫幾個(gè)一次函數(shù)的圖象繼續(xù)探究：(1)當(dāng)b>0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸上方；當(dāng)b<0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方；(2)當(dāng)k、b取何值時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三、四象限？第一、二、四象限？第二、三、四象限？請(qǐng)寫出你的探究結(jié)論和同伴交流．解：當(dāng)k>0，b<0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)k<0，b>0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)k<0，b<0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、三、四象限．7．一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象如圖所示．(1)試化簡代數(shù)式：eq\r(m2)－|m－n|；(2)若點(diǎn)(－2，a)，(3，b)在函數(shù)圖象上，比較a，b的大?。猓?1)由圖象可知，m＜0，n＞0，所以m－n<0.所以eq\r(m2)－|m－n|＝－m＋m－n＝－n.(2)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝mx＋n的圖象從左往右逐漸下降，所以y隨x的增大而減?。忠?yàn)辄c(diǎn)(－2，a)，(3，b)在函數(shù)圖象上，且－2＜3，所以a＞b.類型2一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征8．(遂寧中考)直線y＝2x－4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(D)A．(4，0) B．(0，4)C．(－4，0) D．(0，－4)9．一次函數(shù)y＝5x－2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，m)，如果點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，那么點(diǎn)B所在的象限是(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．已知點(diǎn)(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)都在直線y＝－3x＋2上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是(A)A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y111．(欽州中考)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過A(1，0)和B(0，2)兩點(diǎn)，則它的圖象不經(jīng)過第三象限．12．(株洲中考)已知直線y＝2x＋(3－a)與x軸的交點(diǎn)在A(2，0)，B(3，0)之間(包括A，B兩點(diǎn))，則a的取值范圍是7≤a≤9．類型3一次函數(shù)表達(dá)式的確定13．(金華金東區(qū)期末)將直線y＝2x向右平移2個(gè)單位長度所得的直線的表達(dá)式是(C)A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝2(x－2) D．y＝2(x＋2)14．如圖，A、B兩點(diǎn)在坐標(biāo)平面上，已知A(－3，0)，B(0，－4)，那么直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱的直線表達(dá)式為(B)A．y＝－eq\f(4,3)x－4B．y＝eq\f(4,3)x－4C．y＝eq\f(4,3)x＋4D．y＝－eq\f(4,3)x＋415．(江山期末)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過M(3，2)，N(－1，－6)兩點(diǎn)．(1)求函數(shù)表達(dá)式；(2)請(qǐng)判定點(diǎn)A(1，－2)是否在該一次函數(shù)圖象上，并說明理由．解：(1)設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)(3，2)(－1，－6)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝3k＋b，,－6＝－k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－4.))∴y＝2x－4.(2)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2×1－4＝－2，∴點(diǎn)A(1，－2)在一次函數(shù)圖象上．16．(益陽中考)如圖，直線l上有一點(diǎn)P1(2，1)，將點(diǎn)P1先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到像點(diǎn)P2，點(diǎn)P2恰好在直線l上．(1)寫出點(diǎn)P2的坐標(biāo)；(2)求直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式；(3)若將點(diǎn)P2先向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移6個(gè)單位長度得到像點(diǎn)P3.請(qǐng)判斷點(diǎn)P3是否在直線l上，并說明理由．解：(1)P2(3，3)．(2)設(shè)直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)．因?yàn)辄c(diǎn)P1(2，1)，P2(3，3)在直線l上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1，,3k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－3.))所以直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x－3.(3)點(diǎn)P3在直線l上．由題意知點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(6，9)．因?yàn)?×6－3＝9，所以點(diǎn)P3在直線l上．

小專題(八)一次函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用類型1一次函數(shù)與一元一次方程的綜合應(yīng)用1．方程2x＋12＝0的解是直線y＝2x＋12(C)A．與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)B．與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)C．與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)D．與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)2．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，則函數(shù)y＝kx＋b的圖象可能是(C)ABCD3．一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為(A)A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3第3題圖第4題圖4．如圖，已知直線y＝3x＋b與y＝ax－2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2，則關(guān)于x的方程3x＋b＝ax－2的解為x＝－2．5．已知方程3x＋9＝0的解是x＝－3，則函數(shù)y＝3x＋9與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－3，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，9)．類型2一次函數(shù)與二元一次方程組的綜合應(yīng)用6．如圖，已知函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－4)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－2))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－4)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝2))第6題圖第7題圖7．如圖，兩條直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)可以看作下列哪個(gè)方程組中的解(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1,y＝x＋2)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3,y＝3x－5))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋1,y＝x－1)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋1,y＝x＋1))8．體育課上，20人一組進(jìn)行足球比賽，每人射點(diǎn)球5次，已知某一組的進(jìn)球總數(shù)為49個(gè)，進(jìn)球情況記錄如下表，其中進(jìn)2個(gè)球的有x人，進(jìn)3個(gè)球的有y人，若(x，y)恰好是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則這兩條直線的表達(dá)式是(C)進(jìn)球數(shù)012345人數(shù)15xy32A.y＝x＋9與y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)B．y＝－x＋9與y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)C．y＝－x＋9與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)D．y＝x＋9與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)9．利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,2x－y＝5.))解：根據(jù)圖象可得出方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,y＝2x－5))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))10.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1經(jīng)過點(diǎn)(2，3)和點(diǎn)(－1，－3)，直線l2經(jīng)過原點(diǎn)O，且與直線l1交于點(diǎn)P(－2，a)．(1)求a的值；(2)(－2，a)可看成怎樣的二元一次方程組的解？(3)設(shè)直線l1與y軸交于點(diǎn)A，試求出△APO的面積．解：(1)設(shè)直線l1的表達(dá)式為y＝kx＋b，∵直線l1經(jīng)過(2，3)和(－1，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,－k＋b＝－3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－1.))∴直線l1的表達(dá)式為y＝2x－1.把P(－2，a)代入y＝2x－1，得a＝2×(－2)－1＝－5.(2)設(shè)直線l2的表達(dá)式為y＝mx，把P(－2，－5)代入，得－5＝－2m，解得m＝eq\f(5,2).∴直線l2的表達(dá)式為y＝eq\f(5,2)x.∴(－2，－5)可以看作是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝\f(5,2)x))的解．(3)對(duì)于y＝2x－1，令x＝0，解得y＝－1，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)．∴S△APO＝eq\f(1,2)×2×1＝1.11．(青島中考)甲、乙兩人進(jìn)行賽跑，甲比乙跑得快，現(xiàn)在甲讓乙先跑10米，甲再起跑．圖中l(wèi)1和l2分別表示甲、乙兩人跑步的路程y(m)與甲跑步的時(shí)間x(s)之間的函數(shù)關(guān)系，其中l(wèi)1的關(guān)系式為y1＝8x，問甲追上乙用了多長時(shí)間？解：設(shè)l2的關(guān)系式為y2＝kx＋b(k≠0)，根據(jù)題意，可得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝b，,22＝2k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝6，,b＝10.))∴y2＝6x＋10.當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，8x＝6x＋10，解得x＝5.答：甲追上乙用了5s.類型3一次函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用12．一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象如圖所示，當(dāng)kx＋b＜0時(shí)，x的取值范圍是(D)A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2第12題圖第14題圖13．對(duì)于函數(shù)y＝－x＋4，當(dāng)x＞－2時(shí)，y的取值范圍是(D)A．y＜4 B．y＞4C．y＞6 D．y＜614．如圖，函數(shù)y＝2x－4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)(2，0)，(0，－4)，當(dāng)－4＜y＜0時(shí)，x的取值范圍是(C)A．x＜－1 B．－1＜x＜0C．0＜x＜2 D．－1＜x＜215．(杭州開發(fā)區(qū)期末)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象如圖所示，當(dāng)y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍是(A)A．x＜－2B．x＞－2C．x＞2D．x＜2第15題圖第16題圖16．(紹興五校聯(lián)考期末)直線l1：y＝k1x＋b與直線l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式k1x＋b<k2x＋c的解集為x<1．17．已知函數(shù)y1＝kx－2和y2＝－3x＋b相交于點(diǎn)A(2，－1)．(1)求k、b的值，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象；(2)利用圖象求出：當(dāng)x取何值時(shí)有：①y1<y2；②y1≥y2；(3)利用圖象求出：當(dāng)x取何值時(shí)有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0.解：(1)k＝eq\f(1,2)，b＝5.圖象略．(2)①當(dāng)x<2時(shí)，y1<y2.②當(dāng)x≥2時(shí)，y1≥y2.(3)①當(dāng)eq\f(5,3)<x<4時(shí)，y1<0且y2<0.②當(dāng)x>4時(shí)，y1>0且y2<0.

小專題(九)分段函數(shù)1．某蓄水池的橫斷面示意圖如圖所示，分深水區(qū)和淺水區(qū)，如果這個(gè)注滿水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的圖象能大致表示水的深度h和放水時(shí)間t之間的關(guān)系的是(A)第1題圖第2題圖2．如圖是某復(fù)印店復(fù)印收費(fèi)y(元)與復(fù)印面數(shù)(8開紙)x(面)的函數(shù)圖象，那么從圖象中可看出，復(fù)印超過100面的部分，每面收費(fèi)(A)A．0.4元 B．0.45元C．約0.47元 D．0.5元3．如圖是某工程隊(duì)在一項(xiàng)修筑公路的工程中，修筑的公路長度y(米)與時(shí)間x(天)之間的關(guān)系函數(shù)(圖象為折線)．根據(jù)圖象提供的信息，可知到第七天止，該工程隊(duì)修筑的公路長度為(D)A．630米 B．504米 C．480米 D．450米第3題圖第4題圖4．(紹興五校聯(lián)考期末)小波、小威從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽，小波步行一段時(shí)間后，小威騎自行車沿相同路線行進(jìn)，兩人均勻速前行．他們的路程差s(米)與小波出發(fā)時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法：①小威先到達(dá)青少年宮；②小威的速度是小波速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正確的是(B)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④5．(江山期末)在全民健身環(huán)城越野賽中，甲、乙兩選手的行程y(千米)隨時(shí)間x(小時(shí))變化的圖象(全程)如圖所示．有下列說法：①起跑后1小時(shí)內(nèi)，甲在乙的前面；②第1小時(shí)兩人都跑了10千米；③甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)；④兩人都跑了20千米．其中正確的說法的序號(hào)是①②④．6．某市政府為了增強(qiáng)城鎮(zhèn)居民抵御大病風(fēng)險(xiǎn)的能力，積極完善城鎮(zhèn)居民醫(yī)療保險(xiǎn)制度，納入醫(yī)療保險(xiǎn)的居民的大病住院醫(yī)療費(fèi)用的報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)如下表：醫(yī)療費(fèi)用范圍報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)不超過8000元不予報(bào)銷超過8000元且不超過30000元的部分50%超過30000元且不超過50000元的部分60%超過50000元的部分70%設(shè)享受醫(yī)保的某居民一年的大病住院醫(yī)療費(fèi)用為x元，按上述標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額為y元．(1)直接寫出x≤50000時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)若某居民大病住院醫(yī)療費(fèi)用按標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷了20000元，問他的住院醫(yī)療費(fèi)用是多少元？解：(1)①當(dāng)x≤8000時(shí)，y＝0；②當(dāng)8000＜x≤30000時(shí)，y＝(x－8000)×50%＝0.5x－4000；③當(dāng)30000＜x≤50000時(shí)，y＝(30000－8000)×50%＋(x－30000)×60%＝0.6x－7000.(2)當(dāng)花費(fèi)30000元時(shí)，報(bào)銷錢數(shù)為y＝0.5×30000－4000＝11000(元)，∵20000＞11000，∴他的住院醫(yī)療費(fèi)用超過30000元．當(dāng)花費(fèi)50000元時(shí)，報(bào)銷錢數(shù)為y＝0.6×50000－7000＝23000(元)，∵20000<23000，∴他的住院醫(yī)療費(fèi)用小于50000元．故把y＝20000代入y＝0.6x－7000中，得20000＝0.6x－7000，解得x＝45000.答：他的住院醫(yī)療費(fèi)用是45000元．7．在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)從M(1，0)出發(fā)，沿由A(－1，1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(1，1)四點(diǎn)組成的正方形邊線(如圖1)按一定方向運(yùn)動(dòng)．圖2是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s(個(gè)單位)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象，圖3是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分．(1)s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是s＝eq\f(1,2)t(t≥0)；(2)與圖3相對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是M→D→A→N；P點(diǎn)出發(fā)10秒首次到達(dá)點(diǎn)B；(3)寫出當(dāng)3≤s≤8時(shí)，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖3中補(bǔ)全函數(shù)圖象．解：當(dāng)3≤s＜5，即P從A到B時(shí)，y＝4－s；當(dāng)5≤s＜7，即P從B到C時(shí)，y＝－1；當(dāng)7≤s≤8，即P從C到M時(shí)，y＝s－8.補(bǔ)全圖形，如圖．8．為發(fā)展旅游經(jīng)濟(jì)，我市某景區(qū)對(duì)門票采用靈活的售票方法吸引游客．門票定價(jià)為50元/人，非節(jié)假日打a折售票，節(jié)假日按團(tuán)隊(duì)人數(shù)分段定價(jià)售票，即m人以下(含m人)的團(tuán)隊(duì)按原價(jià)售票；超過m人的團(tuán)隊(duì)，其中m人仍按原價(jià)售票，超過m人部分的游客打b折售票．設(shè)某旅游團(tuán)人數(shù)為x人，非節(jié)假日購票款為y1(元)，節(jié)假日購票款為y2(元)．y1，y2與x之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)觀察圖象可知：a＝6；b＝8；m＝10；(2)直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)某旅行社導(dǎo)游于5月1日帶A團(tuán)，5月20日(非節(jié)假日)帶B團(tuán)都到該景區(qū)旅游，共付門票款1900元，A，B兩個(gè)團(tuán)隊(duì)合計(jì)50人，求A，B兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各有多少人．解：(2)設(shè)y1＝k1x，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(10，300)，∴10k1＝300.∴k1＝30.∴y1＝30x.當(dāng)0≤x≤10時(shí)，設(shè)y2＝k2x，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(10，500)，∴10k2＝500.∴k2＝50.∴y2＝50x.當(dāng)x＞10時(shí)，設(shè)y2＝kx＋b，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(10，500)和(20，900)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝500，,20k＋b＝900.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝40，,b＝100.))∴y2＝40x＋100.∴y2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x（0≤x≤10），,40x＋100（x＞10）.))(3)設(shè)A團(tuán)有n人，則B團(tuán)的人數(shù)為(50－n)，當(dāng)0≤n≤10時(shí)，50n＋30(50－n)＝1900，解得n＝20(不符合題意，舍去)，當(dāng)n＞10時(shí)，40n＋100＋30(50－n)＝1900，解得n＝30，∴50－n＝50－30＝20.答：A團(tuán)有30人，B團(tuán)有20人．

期末復(fù)習(xí)(一)三角形的初步知識(shí)01知識(shí)結(jié)構(gòu)eq\a\vs4\al(三,角,形,的,初,步,知,識(shí))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三角形的概念\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三邊關(guān)系,內(nèi)角和定理及其推論,三角形的中線、高線、角平分線)),定義與命題\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(命題的組成,命題的分類)),\a\vs4\al(全等圖形→全等三角形)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(全等三角形的性質(zhì),全等三角形的判定,角平分線的性質(zhì)定理,線段垂直平分線的性質(zhì)定理)),尺規(guī)作圖))02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1三角形的三邊關(guān)系【例1】(蕭山區(qū)期中)已知等腰三角形兩條邊的長分別是3和6，則它的周長是(B)A．12 B．15C．12或15 D．15或18【方法歸納】判斷給定的三條線段能否組成三角形，只需判斷兩條較短線段的和是否大于最長線段．在已知等腰三角形的兩邊長求其周長時(shí)，需注意：(1)一定要利用分類討論思想列舉出三角形的三邊長；(2)一定要利用三角形的三邊關(guān)系檢驗(yàn)列舉出的三邊長是否能圍成三角形．1．(海寧新倉中學(xué)期中)兩根木棒的長分別是5cm和7cm，要選擇第三根木棒，將它們首尾相接釘成一個(gè)三角形，則第三根木棒長的取值可以是(B)A．2cm B．4cmC．12cm D．13cm重難點(diǎn)2三角形形內(nèi)角和定理及其推論【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D等于(A)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【方法歸納】在計(jì)算與三角形有關(guān)的角度時(shí)，首先應(yīng)判斷出要求角與所在三角形中已知角之間的關(guān)系，再合理選用三角形的內(nèi)角和定理或外角的性質(zhì)求角度，同時(shí)在解題時(shí)要注意角平分線的定義、平行線的性質(zhì)等知識(shí)的運(yùn)用．2．如圖，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，則∠D的度數(shù)為(C)A．28°B．38°C．48°D．88°重難點(diǎn)3三角形的三條重要線段【例3】如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，S△ABC＝41，則S△BFC＝eq\f(41,4)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形面積公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC，從而S△BFC＝eq\f(1,4)S△ABC.3．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝7_cm．4．(1)如圖所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點(diǎn)D，DF⊥CE于點(diǎn)F，求∠CDF的度數(shù)；(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他條件不變，求∠CDF的度數(shù)．(用含α和β的代數(shù)式表示)解：(1)根據(jù)題意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，所以∠ACB＝68°.因?yàn)镃E平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.因?yàn)镃D⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD為公共角，所以∠CDF＝∠CED＝74°.(2)由(1)可知，∠CDF＝∠CED＝∠A＋∠ACE，∠ACE＝eq\f(180°－α－β,2).所以∠CDF＝eq\f(180°＋α－β,2).重難點(diǎn)4線段垂直平分線與角平分線的性質(zhì)【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E，DE垂直平分AB于點(diǎn)D，求證：BE＋DE＝AC.證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵AC＝AE＋CE，∴BE＋DE＝AC.【方法歸納】在利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段長度時(shí)，通常是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，再根據(jù)相等線段之間的轉(zhuǎn)換，得到所求線段的長．5．如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線MP交BC于點(diǎn)P，AC的垂直平分線NQ交BC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，AQ，若△APQ的周長為20cm，則BC為20cm.第5題圖第6題圖6．如圖，△ABC的三條角平分線交于O點(diǎn)，已知△ABC的周長為20，OD⊥AB，OD＝5，則△ABC的面積為50．重難點(diǎn)5全等三角形的性質(zhì)與判定【例5】已知△ABN和△ACM的位置如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.(1)求證：BD＝CE；(2)求證：∠M＝∠N.【思路點(diǎn)撥】(1)要證BD＝CE，可通過轉(zhuǎn)化證△ABD≌△ACE，根據(jù)“SAS”得證；(2)要證∠M＝∠N，可通過轉(zhuǎn)化證△ACM≌△ABN，由(1)可知∠C＝∠B.因?yàn)椤?＝∠1，所以∠CAM＝∠BAN.再結(jié)合AB＝AC，即可根據(jù)“ASA”得證．證明：(1)在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠1＝∠2，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM.由(1)，得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C.在△ACM和△ABN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠B，,AC＝AB，,∠CAM＝∠BAM，))∴△ACM≌△ABN(ASA)．∴∠M＝∠N.【方法歸納】三角形全等的證明思路：eq\a\vs4\al(已知兩邊)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夾角→SAS,找另一邊→SSS))eq\a\vs4\al(已知一邊,和一角)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(邊為角的對(duì)邊→找任一角→AAS,\a\vs4\al(邊為,角的,鄰邊)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夾角的另一邊→SAS,找夾邊的另一角→ASA,找邊的對(duì)角→AAS))))eq\a\vs4\al(已知兩角)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夾邊→ASA,找任一角的對(duì)邊→AAS))7．(成都中考)如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C＝24°，則∠B＝120°．第7題圖第8題圖8．(杭州大江東區(qū)期中)如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個(gè)條件是：AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．03備考集訓(xùn)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．下列長度的三條線段，能組成三角形的是(C)A．1，2，4 B．4，5，9C．4，6，8 D．5，5，112．(嵊州校級(jí)期中)下列語句不是命題的是(B)A．兩直線平行，同位角相等B．作直線AB垂直于直線CDC．若|a|＝|b|，則a2＝b2D．同角的補(bǔ)角相等3．如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正確的等式是(D)A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CADC．BE＝DC D．AD＝DE第3題圖第4題圖4．(杭州大江東區(qū)期中)如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是(C)A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝EC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D5．如圖，將兩根鋼條AA′、BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′、BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，由三角形全等得出A′B′的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(A)A．邊角邊 B．角邊角C．邊邊邊 D．角角邊第5題圖第6題圖6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB邊的垂直平分線，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，△BEC的周長是14cm，BC＝5cm，則AB的長是(B)A．14cm B．9cm C．19cm D．12cm7．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC長是(A)A．3 B．4 C．6 D．5第7題圖第8題圖8．如圖所示，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，BD，CE相交于點(diǎn)H，則∠BHC的度數(shù)為(B)A．120° B．135° C．125° D．130°9．(嵊州期末)如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有(C)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)第9題圖第10題圖10．(杭州大江東區(qū)期中)如圖，四邊形ABCD是正方形，直線a，b，c分別通過A、D、C三點(diǎn)，且a∥b∥c.若a與b之間的距離是5，b與c之間的距離是7，則正方形ABCD的面積是(B)A．70 B．74C．144 D．148二、填空題(每小題4分，共24分)11．如圖，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝63°，則外角∠ACD＝121度．第11題圖第12題圖12．如圖，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，則EC的長為3．13．如圖，已知△ABC的周長為27cm，AC＝9cm，BC邊上中線AD＝6cm，△ABD周長為19cm，AB＝8_cm．14．(杭州蕭山區(qū)月考)已知三角形的兩條邊長分別是3cm和4cm，一個(gè)內(nèi)角為40°，那么滿足這一條件且彼此不全等的三角形共有4個(gè)．15．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，我們稱此三角形為“夢(mèng)想三角形”．如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為108°，那么這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為18°或36°．16．如圖，在四邊形ABCD中，給出了下列三個(gè)論斷：①對(duì)角線AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三個(gè)論斷中，若以其中兩個(gè)論斷作為條件，另外一個(gè)論斷作為結(jié)論，則可以得出3個(gè)正確的命題．三、解答題(共46分)17．(10分)如圖，已知：AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數(shù)．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.18．(12分)如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝BC，且AD把△ABC的周長分成3和4的兩部分，求AC邊的長．解：設(shè)AB＝BC＝2x，∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴BD＝CD＝x.若△ABD的周長是3＋AD，則2x＋x＝3，解得x＝1.∴AC＝4－1＝3.若△ABD的周長是4＋AD，則2x＋x＝4，解得x＝eq\f(4,3).∴AC＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3).綜上，AC邊的長為3或eq\f(5,3).19．(12分)如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝BD，連結(jié)AE、DE、DC.(1)求證：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．解：(1)證明：在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD＝90°，,BE＝BD，))∴△ABE≌△CBD(SAS)．(2)∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°.∵△ABE≌△CBD，∴∠AEB＝∠BDC.∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋30°＝75°.∴∠BDC＝75°.20．(12分)(杭州青春中學(xué)期末)如圖1，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm.點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；(2)如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，在△ACP和△BPQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝BQ，,∠A＝∠B＝90°，,AC＝BP，))∴△ACP≌△BPQ(SAS)．∴∠ACP＝∠BPQ.∴∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°.∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝4－t，,t＝xt，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝1，,x＝1.))②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝xt，,t＝4－t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,x＝\f(3,2).))綜上所述，存在eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝1，,x＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,x＝\f(3,2)，))使得△ACP與△BPQ全等．

期末復(fù)習(xí)(二)特殊三角形01知識(shí)結(jié)構(gòu)eq\a\vs4\al(特殊三角形)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(圖形的軸對(duì)稱\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(軸對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱,軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì))),等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(軸對(duì)稱性,性質(zhì)定理,判定定理)),逆命題和逆定理\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(互逆命題,互逆定理,線段垂直平分線定理的逆定理)),直角三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(性質(zhì)定理,判定定理,勾股定理,勾股定理的逆定理,全等的判定,角平分線的性質(zhì)定理))))02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)及判定【例1】(蕭山區(qū)期中)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC.(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，試寫出圖中的所有等腰三角形，并給予證明；(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的比值．【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)等腰三角形的定義及“等角對(duì)等邊”判定等腰三角形；(2)利用“截長法”或“補(bǔ)短法”添加輔助線，將AC－AB或AB＋BD轉(zhuǎn)化成一條線段，通過全等得到線段相等，從而得到角相等．解：(1)等腰三角形有3個(gè)：△ABC，△ABD，△ADC，證明：∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．∴∠B＝∠BAC.∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.∵∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝36°，∴∠B＝∠ADB＝72°，∠DAC＝∠C＝36°.∴AB＝AD，DA＝DC.∴△ABD和△ADC是等腰三角形．(2)在AC上截取AE＝AB，連結(jié)DE，又∵∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED.∴∠AED＝∠B，BD＝DE.∵AB＋BD＝AC，AC＝AE＋EC，∴BD＝EC.∴DE＝EC.∴∠EDC＝∠C.∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C.∴∠B∶∠C＝2∶1.1．(上城區(qū)期中)如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點(diǎn)分別在AE、AB上，BC與DE相交于點(diǎn)F.若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝104°，則∠DFC的度數(shù)為(C)A．104°B．118°C．128°D．136°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△BDE≌△CEF(SAS)．∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°.由(1)知，△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∴∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B＝70°.重難點(diǎn)2直角三角形的性質(zhì)及判定【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.(1)求證：AD⊥BC(請(qǐng)用一對(duì)互逆命題進(jìn)行證明)；(2)寫出你所用到的這對(duì)互逆命題．【思路點(diǎn)撥】由“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因?yàn)椤螦BF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，從而轉(zhuǎn)化為∠CBF＋∠BED＝90°，從而AD⊥BC得證．解：(1)證明：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF