有理數(shù)運(yùn)算的方法與技巧

有理數(shù)運(yùn)的方法與技一知要有理數(shù)及其運(yùn)算是整個(gè)數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)，有關(guān)式的所有運(yùn)算都是建立在數(shù)的運(yùn)算基礎(chǔ)上的，深理解有理數(shù)相關(guān)概念，掌握一定的有理數(shù)運(yùn)算技能是數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．有理數(shù)的運(yùn)算不同于算術(shù)數(shù)的運(yùn)算，這是因?yàn)橛欣頂?shù)的運(yùn)算每一步都要確定符號(hào)，有理數(shù)的運(yùn)很多是字母運(yùn)算，也就是常說(shuō)的符號(hào)演算．有理數(shù)運(yùn)用常用的技巧與方法有：利用運(yùn)算律，以符代，恰當(dāng)分組，裂項(xiàng)相消，分解相約，錯(cuò)位相減等．運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與推理能力的結(jié)合，這就要要求我們技能正確的運(yùn)算出結(jié)果，又能善于觀問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇合理的運(yùn)算路徑，提高運(yùn)算的速度．分清計(jì)算的順序是學(xué)習(xí)本講的關(guān)鍵，從心理上講，要準(zhǔn)確的計(jì)算，還應(yīng)該克服“粗心大意”這不良的心理品質(zhì).這種不良習(xí)慣，主表現(xiàn)為審題不清，知識(shí)點(diǎn)不能及時(shí)回應(yīng)等，其實(shí)粗心大意有時(shí)與習(xí)慣有關(guān)系，例如平時(shí)就喜歡丟三落四，所以同學(xué)們?cè)诩m正這種不良習(xí)慣時(shí)，一定要持之以恒，從小做起，在計(jì)算中培養(yǎng)自己的細(xì)心習(xí)慣，形成良好的解題心理品.．有理數(shù)的加法法則（1同號(hào)兩數(shù)相加，取_的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；（2絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，的號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去減的絕對(duì)值；（3互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和_，一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)．．有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的___________用式子表示為－b＝＋－b)．．有理數(shù)的乘法法則（1兩數(shù)相乘，同_，號(hào)，把絕對(duì)值相乘；（2任何數(shù)與乘，結(jié)果都得_____；（3幾個(gè)不為0的相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)______時(shí)，積是負(fù)數(shù)，即先確定符號(hào)，再把各因數(shù)的絕對(duì)______；（4幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)是0，則積等于_．．有理數(shù)的除法法則（1除以一個(gè)不等于的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)；（2兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；（3）以任何非數(shù)，都得；二基能測(cè)〖一〗填空：．計(jì)算：（）(15)＋(－32)＝____（2）100＋(－99)（3－＋＝________（4－＋＝（）－3)－(－5)＝____（）(＋－－5)＝（7(－3)－＋5)______（）－＝（9－－(＋＋(＋－－7)＋－1)＝___________．計(jì)算：（）(36)×22）(－×(－＝（）×(－＝（4(－5)×－6)3×(－2)＝____(5)(÷(－＝）－7（7)÷(－)＝_____________（8）÷－10)1（9(－)×(－3)÷(÷＝_________2--

)÷＝____

22233345n232310122201522220013．計(jì)算＝，(－3)＝，3＝，22233345n232310122201522220013＝______(＝，2＝，1.5＝______0＝______．若正整數(shù)，則－＝_______，若＞0則______0；若＜0，則

，

______0若a

＜0則______0．已知、互為相反數(shù)，c、互倒m絕對(duì)值等于2比對(duì)值最的有理數(shù)小，則p

2012

－cd＋

abcd

＋m＝．．有理數(shù)ab，c大小關(guān)系如圖所示，則說(shuō)法中一定成立的．①ab＋c＞0②＋＜；③ac＝＋c；④b－＞－a．．－1)

＋2|y＋2|＝0，則(x＋y)

＝_________．．在數(shù)，2，，2009，20102011，前意添加＋號(hào)或－號(hào)依次計(jì)算，其可能得到的最小的非負(fù)數(shù)_．．定義一種新運(yùn)算，規(guī)則是

acb

＝－，則

213

＝．．計(jì)算：(1－－＋＋－－－－2010×2009)(2011×2010＝．〖二〗計(jì)算：有理數(shù)的混合運(yùn)算，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②同一級(jí)運(yùn)從左算到右；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．（1(＋59.8)－(－

63＋(－＋；（2[30－(＋－－；912（3－－(－

×；（）－(－2)－3÷(－1)＋－．4三綜提高創(chuàng)【算題【例】※觀察分組法計(jì)算：（）

1......971......2010--

．

＋＋＋＋（2

1312013＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋．246201420142014【例】※裂項(xiàng)相消法111計(jì)算：（）＋2＋＋＋＋．15（2

411))23

＋…＋

)...(1)3

．〖練〗（）

1＋＋＋＋．13101（2—＋【例】※分解相約法

111＋＋…＋．100計(jì)算：

1nn1nn--

222222222222222222222222222222221計(jì)算：（）

＋＋＋．42（2＝－＋－＋＋－100＋，S被除余數(shù)．（3

2220132009

2

（4已知＋2＋＋n＝

(n＋＋．求：①1＋＋＋＋；10＋＋12＋…；③2＋＋＋＋50．常用公式：

333

1......3【軸的點(diǎn)題【點(diǎn)題※助程解軸動(dòng)問(wèn)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于我們對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的分析，不妨先明以下幾個(gè)問(wèn)題：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的離為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差________也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差點(diǎn)間的距離＝右邊點(diǎn)表示的數(shù)－左邊點(diǎn)表示的數(shù)。．在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向的方向?yàn)檎较?，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向作動(dòng)的速度看作負(fù)速度．這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)．即個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為向運(yùn)動(dòng)b個(gè)位后表的數(shù)為_(kāi)______向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)位后所表示的數(shù)。．軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系．--

22222【例】已知，在數(shù)軸上，B兩所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，AB示A點(diǎn)與B點(diǎn)距離，且2(a＋＋2|＝．22222（1求AB對(duì)的及AB兩之間的距離．（2若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)，且＝2BC求C點(diǎn)應(yīng)的數(shù)．（3若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)D，且ADBD7求D點(diǎn)應(yīng)數(shù)．（4點(diǎn)，別以2個(gè)單位/秒，4個(gè)單位長(zhǎng)/秒的速度同時(shí)出，問(wèn)幾秒后點(diǎn)A和B相距單位長(zhǎng)度．（5點(diǎn)A，分以2個(gè)位長(zhǎng)度秒，4個(gè)位度秒的速度向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以單位長(zhǎng)度/的速度向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)幾秒后點(diǎn)C到點(diǎn)的離與到點(diǎn)B的距離相等．（6點(diǎn)，分以個(gè)位長(zhǎng)/秒，4個(gè)位長(zhǎng)度/的速度同時(shí)出發(fā)，同向而行，一只寵物狗和一以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度從2發(fā)，寵物狗遇到后即返回，遇到A后遇……直到追上A為，求寵物狗整個(gè)過(guò)程中的行程．四反練．計(jì)算：（）(＋(－3)＝_______(－＋(＋＝______

＋－2)______2(－＋(＋9)＝______(13)＋(＋22)＋(－17)＋＋＝－27＝－＝－5)－9)＝－－25)＝22(－－－(－93)＝(－36)×＝_______(－)×()＝____(－÷－＝－121÷＋11)＝(－

＝(－＝－

＝－－

＝--

22322（2若＞0，b，則ab；若＜0b＜，則ab______0；22322若＞0＜，____0；若a＞，則_____0；若a＜0＝，則_____0．（3）平方等于的數(shù)是_____，平方等于的數(shù)是____立方等于27的是_的立方等于0立方等于－27的數(shù)是_．（4若－xyz＞，x與異號(hào)，則（“＞”，“＜”或“＝”）；已知x＝，y＝，且xy＜0，則＋y的為_(kāi)．．計(jì)算：（）

113＋0.875)×－)（）－＋()＋(－)－；33（3－

12×(－1)÷－2)（4）－－(1)×＋÷－|．29．已知a＝3(|－3)

與(－

互為相反數(shù)，且a＞c，求代數(shù)式ab的值．．計(jì)算(

1111111＋＋…＋)(1＋＋…＋)(1＋＋＋)(＋＋＋)33．計(jì)算12－3＋＋5＋7＋89…＋＋9899．計(jì)算：（）

11＋＋＋…＋．11（21＋＋＋…＋1......

．．1在某年的日歷中（見(jiàn)圖），任意圈出一豎列相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為a則用含a的代數(shù)式表示這三個(gè)數(shù)（從小到大排列）分別_______________．（2現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)至按2的式排成一個(gè)方形陣列，用一個(gè)長(zhǎng)方形全出個(gè)數(shù)．①圖框出的這16個(gè)的和是；②圖中要使一個(gè)長(zhǎng)方形框出的16個(gè)之和分別等于，，2009是否可能？若不可能，試說(shuō)明理由；若有可能，請(qǐng)求出長(zhǎng)方形框出的個(gè)中的最小數(shù)和最大數(shù)．--

．已知，在數(shù)軸上A，B兩所對(duì)應(yīng)的數(shù)別為，b