高一數(shù)學(xué)必修二課件第七章 第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.直線與平面垂直(1)定義條件：直線l與平面α內(nèi)的_____一條直線都垂直.結(jié)論：直線l與平面α垂直.任意(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條_____直線都垂直，則該直線與此平面垂直∵_(dá)___，____，______,______，_______，∴l(xiāng)⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_____∵_(dá)_____，______，∴a∥b相交平行l(wèi)⊥al⊥ba?αb?αa∩b=Oa⊥αb⊥α2.直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的_____，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.如圖，______就是斜線AP與平面α所成的角.(2)線面角θ的范圍：θ∈_______.銳角∠PAO3.平面與平面垂直(1)二面角①定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱.兩個(gè)半平面叫做___________.如圖的二面角，可記作:二面角_______或二面角_______.二面角的面α-l-βP-AB-Q②二面角的平面角:如圖，過二面角α-l-β的棱l上一點(diǎn)O在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作BO⊥l,AO⊥l,則______就叫做二面角α-l-β的平面角.③二面角的范圍:設(shè)二面角的平面角為θ，則θ∈_________.∠AOB［0,π］(2)平面與平面垂直①定義：條件：兩相交平面所成的二面角________.結(jié)論：這兩平面垂直.直二面角②判定定理和性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_____，則這兩個(gè)平面垂直∵_(dá)____,_____,∴α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于_____的直線與另一個(gè)平面垂直∵_(dá)______,_________,_____，____，∴l(xiāng)⊥α垂線l⊥αl?ββ⊥αα∩β=al?βl⊥a交線判斷下面結(jié)論是否正確(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α,則直線a與b垂直.()(3)異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0，］.()(4)二面角是指兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形.()(5)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()(6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.()【解析】(1)錯(cuò)誤.直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直時(shí)，直線l與平面α可平行，可相交，直線l也可在平面α內(nèi).(2)正確.由b∥α可得b平行于α內(nèi)的一條直線，設(shè)為b′,因?yàn)閍⊥α,所以a⊥b′，從而a⊥b.范圍是［0，π］.(3)錯(cuò)誤.異面直線所成角的范圍是(0，］,而二面角的(4)錯(cuò)誤.二面角是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.(5)錯(cuò)誤.若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線l與β可平行，可相交，也可在平面β內(nèi).(6)錯(cuò)誤.平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，不能保證該直線垂直于此平面β，故不能推出α⊥β.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×1.若m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則以下命題正確的是()(A)若m∥α，n∥α，則m∥n(B)若m∥n,m⊥α,則n⊥α(C)若m∥β,α∥β，則m∥α(D)若α∩β=m,m⊥n,則n⊥α【解析】選B.A選項(xiàng)中，m與n可平行、相交、異面；C選項(xiàng)中，m可以平行于α，m也可以在α內(nèi)；D選項(xiàng)中，n可能在α內(nèi)或n∥α或與α相交.2.設(shè)α，β為不重合的平面，m,n為不重合的直線，則下列命題正確的是()(A)若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥α(B)若m?α,n?β,m⊥n,則n⊥α(C)若n⊥α,n⊥β,m⊥β,則m⊥α(D)若m∥α,n∥β,m⊥n，則α⊥β【解析】選C.C選項(xiàng)中,∵n⊥α,n⊥β,∴α∥β.又∵m⊥β,∴m⊥α.3.設(shè)a,b,c表示三條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題中不正確的是(A)(B)(C)(D)【解析】選D.由a∥α,b⊥a可得，b與α的位置關(guān)系有:b∥α,b?α，b與α相交，所以D不正確.4.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C與平面A1B1C1D1所成的角為____，其大小為______；D1B與平面ABCD所成的角的正弦值為______.【解析】B1C與平面A1B1C1D1所成的角為∠CB1C1，其大小為45°；連接BD，則D1B與平面ABCD所成的角為∠D1BD，其正弦值為.答案:∠CB1C145°5.將正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_______.【解析】如圖,取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB為二面角的平面角，從而∠DOB=90°.設(shè)正方形邊長為1，則DO=BO=，所以DB=1，故△ADB為等邊三角形，所以∠DAB=60°.答案:60°考向1

直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【典例1】(1)(2013·長沙模擬)設(shè)l,m,n為三條不同的直線α，β為兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若l⊥α,m∥β,α⊥β，則l⊥m;②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β，則l∥n.(A)1(B)2(C)3(D)4(2)(2013·吉首模擬)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC，PC于D，E兩點(diǎn),PB=BC，PA=AB.①求證：PC⊥平面BDE；②若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，判斷BD，DQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；③若AB=2,求三棱錐B-CED的體積.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)線面平行、面面平行及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐個(gè)判斷.(2)①利用線面垂直的判定定理證明；②證明BD⊥平面PAC即可；③根據(jù)VB-CED=VC-BDE，轉(zhuǎn)化為求S△BDE及CE的長度.規(guī)范解答】(1)選B.對(duì)于①，直線l,m可能互相平行，①不正確；對(duì)于②，直線m,n可能是平行直線，此時(shí)不能得l⊥α，②不正確；對(duì)于③，由“平行于同一條直線的兩條直線平行”與“若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面”得知，③正確；對(duì)于④，由l∥m,m⊥α得l⊥α,由n⊥β,α∥β得n⊥α，因此有l(wèi)∥n,④正確.綜上所述，其中命題正確的個(gè)數(shù)是2，故選B.(2)①∵DE垂直平分線段PC，PB=PC，∴DE⊥PC，BE⊥PC，又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE.②BD⊥DQ.證明：由①得，PC⊥BD.∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.又PC∩PA=P，∴BD⊥平面PAC，∴當(dāng)點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)時(shí)都有BD⊥DQ.③∵PA=AB=2,∴PB=BC=∵AB⊥BC,∴AC=∴PC=4，CE=2，且∵△CDE∽△CPA，∴∴由②可知：BD⊥DE.∴【互動(dòng)探究】本例題(2)②若改為“設(shè)Q是線段PA上任意一點(diǎn)，求證：平面BDQ⊥平面PAC”，如何證明？【證明】由(2)②的解法可知BD⊥平面PAC.又BD?平面BDQ,∴平面BDQ⊥平面PAC.【拓展提升】1.判定線面垂直的四種方法方法一：利用線面垂直的判定定理.方法二：利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”.方法三：利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”.方法四：利用面面垂直的性質(zhì)定理.2.線面垂直性質(zhì)的重要應(yīng)用:當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，則直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直，給我們提供了證明空間兩線垂直的一種重要方法.【提醒】解題時(shí)一定要嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫過程，如用判定定理證明線面垂直時(shí)，一定要體現(xiàn)出“平面中的兩條相交直線”這一條件.【變式備選】如圖，幾何體ABCDPE中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且(1)證明：BD∥平面PEC.(2)若G為BC上的動(dòng)點(diǎn)，求證：AE⊥PG.【證明】(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，取PC的中點(diǎn)F，連接OF，EF，∵EB∥PA，且EB=PA，又OF∥PA，且OF=PA，∴EB∥OF，且EB=OF，∴四邊形EBOF為平行四邊形，∴EF∥BD.又∵EF?平面PEC，BD平面PEC，∴BD∥平面PEC.(2)連接BP，∵∠EBA=∠BAP=90°,∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,∴PB⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，PA?平面APEB，∴平面ABCD⊥平面APEB.∵BC⊥AB，平面ABCD∩平面APEB=AB，∴BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE.又∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC.∵G為BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴PG?平面PBC，∴AE⊥PG.考向2

面面垂直的判定與性質(zhì)【典例2】(2013·廣州模擬)如圖所示,△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，M是EA的中點(diǎn).求證：(1)DE=DA.(2)平面BDM⊥平面ECA.【思路點(diǎn)撥】(1)由于CE=2BD，故可考慮取CE的中點(diǎn)F，通過證明△DEF≌△ADB來證明DE=DA.(2)證明面面垂直，應(yīng)先證明線面垂直.【規(guī)范解答】(1)取CE的中點(diǎn)F，連接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.∵BD∥CE，BD=CE=CF=FE，∴四邊形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.又BA=BC=DF，∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE=DA.(2)取AC中點(diǎn)N，連接MN，NB，∵M(jìn)是EA的中點(diǎn)，∴MNCE.由BDCE,且BD⊥平面ABC，可得四邊形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.∵DE=DA，M是EA的中點(diǎn)，∴DM⊥EA.又EA∩MN=M，∴DM⊥平面ECA，而DM?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.【拓展提升】1.面面垂直的證明方法面面垂直的證明問題，主要思路有兩條：其一，用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線；其二，用面面垂直的定義，即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.2.面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面.這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù).運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.【變式訓(xùn)練】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB=，CE=EF=1.求證：(1)AF∥平面BDE.(2)CF⊥平面BDE.【證明】(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF∥EG.因?yàn)镋G?平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.因?yàn)镋F∥CG，EF=CG=1，且CE=1,所以四邊形CEFG為菱形.所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC.又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，所以BD⊥平面ACEF且CF?平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE.考向3

垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3】如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點(diǎn).求證：(1)AN∥平面A1MK.(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【思路點(diǎn)撥】(1)要證線面平行，需證線線平行.(2)要證面面垂直，需證線面垂直.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，連接NK.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，C1D1∥CD，C1D1=CD.∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，∴DN∥D1K，DN=D1K，∴四邊形DD1KN為平行四邊形.∴KN∥DD1，KN=DD1，∴AA1∥KN，AA1=KN，∴四邊形AA1KN為平行四邊形，∴AN∥A1K.∵A1K?平面A1MK，AN平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)連接BC1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，∴BM∥C1K，BM=C1K，∴四邊形BC1KM為平行四邊形，∴MK∥BC1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵M(jìn)K∥BC1,∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.【拓展提升】垂直關(guān)系綜合題的類型及解法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行結(jié)合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.(3)垂直與體積結(jié)合問題，在求體積時(shí)，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積.【變式訓(xùn)練】如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形.(1)求證：DM∥平面APC.(2)求證：平面ABC⊥平面APC.(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D-BCM的體積.【解析】(1)∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，∴DM∥AP.又DM平面APC，AP?平面APC,∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB為正三角形，且D為PB中點(diǎn)，∴DM⊥PB.又由(1)知DM∥AP，∴AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC=P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC.又BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.(3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10.又BC＝4，PC＝∴S△BCD＝S△PBC＝PC·BC＝××4=又DM＝AP＝∴VD-BCM＝VM-BCD＝S△BCD·DM＝考向

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線面角、二面角的求法【典例4】(2013·婁底模擬)如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是D是AC的中點(diǎn).(1)求證：B1C∥平面A1BD.(2)求二面角A1-BD-A的大小.(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.【思路點(diǎn)撥】(1)三棱柱的側(cè)面是矩形，對(duì)角線A1B，AB1的交點(diǎn)與點(diǎn)D的連線平行于B1C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，由側(cè)面與底面垂直，可以得到BD⊥平面ACC1A1，BD⊥A1D，∠A1DA就是二面角的平面角.(3)根據(jù)(2)得平面A1BD⊥平面A1AD，只要過點(diǎn)A作A1D的垂線即可得到點(diǎn)A在平面A1BD內(nèi)的射影，即得到了線面角.【規(guī)范解答】(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接PD，如圖所示，則P為AB1的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以PD∥B1C.又因?yàn)镻D?平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.(2)由題知，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，又因?yàn)锽D⊥AC，則BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥A1D，所以∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角.因?yàn)锳A1=AD=AC=1，則即二面角A1-BD-A的大小是(3)作AM⊥A1D于M.由(2)，易知BD⊥平面ACC1A1，因?yàn)锳M?平面ACC1A1，所以BD⊥AM.因?yàn)锳1D∩BD=D，所以AM⊥平面A1BD.連接MP，易知∠APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角.因?yàn)樗栽赗t△AA1D中，∠A1DA=所以所以所以直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為【拓展提升】1.求空間角的三個(gè)步驟(1)找，即找出相關(guān)的角.(2)證，即證明找出的角即為所求的角.(3)計(jì)算，即通過解三角形的方法求出所求角.2.空間角的找法(1)線面角:找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作出垂線，確定垂足.(2)二面角:二面角的大小用它的平面角來度量，平面角的常見作法有：①定義法；②垂面法.其中定義法是最常用的方法.【變式訓(xùn)練】(2013·永州模擬)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面AA1D1D的中心.(1)求三棱錐A1-D1EF的體積.(2)求EF與底面A1B1C1D1所成的角的正切值.【解析】(1)因?yàn)橛?2)取A1D1的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則由已知得∠GEF即為直線EF與底面A1B1C1D1所成的角，易知在Rt△GEF中，tan∠GEF=所以EF與底面A1B1C1D1所成的角的正切值是【滿分指導(dǎo)】垂直關(guān)系綜合問題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012·廣東高考)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF=AB，PH為△PAD中AD邊上的高.(1)證明：PH⊥平面ABCD.(2)若PH=1，AD=，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積.(3)證明：EF⊥平面PAB.【思路點(diǎn)撥】

【規(guī)范解答】(1)由于AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，故AB⊥PH.…………1分又∵PH為△PAD中AD邊上的高，故AD⊥PH.…………2分∵AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.…4分(2)由于PH⊥平面ABCD，E為PB的中點(diǎn)，PH=1，故E到平面ABCD的距離.①……5分又因?yàn)锳B∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，

6分故………7分因此8分(3)過E作EG∥AB交PA于G，連接DG.由于E為PB的中點(diǎn)，∴G為PA的中點(diǎn).②………9分∵AD=PD，故△DPA為等腰三角形，∴DG⊥AP.∵AB⊥平面PAD，DG?平面PAD，∴AB⊥DG.

………10分又∵AB∩PA=A，AB?平面PAB，PA?平面PAB,③∴DG⊥平面PAB.………………11分又∵GEAB,DFAB,∴GEDF.∴四邊形DFEG為平行四邊形，故DG∥EF.∴EF⊥平面PAB.………………12分【失分警示】(下文①②③見規(guī)范解答過程)1.(2013·張家界模擬)已知兩條不同的直線m，n，兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題中的真命題是()(A)若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n(B)若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n(C)若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n(D)若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m∥n【解析】選A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或m?β，又n⊥β，故m⊥n，即A正確；如圖(1)，m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n，故C錯(cuò)；如圖(2)知B錯(cuò)；如圖(3)正方體中，m∥α,n⊥β,α⊥β，但m,n相交，故D錯(cuò).2.(2013·衡陽模擬)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段AC1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=.給出下列四個(gè)結(jié)論：①CE⊥BD;②三棱錐E-BCF的體積為定值；③△BEF在底面ABCD內(nèi)的正投影是面積為定值的三角形；④在平面ABCD內(nèi)存在無數(shù)條與平面DEA1平行的直線.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選D.如圖.∵BD⊥平面ACC1∴BD⊥CE，故①對(duì)；∵點(diǎn)C到直線EF的距離是定值，點(diǎn)B到平面CEF的距離也是定值，∴三棱錐E-BCF的體積為定值，故②對(duì)；設(shè)線段EF在底面ABCD上的正投影是線段GH，∴△BEF在底面ABCD內(nèi)的正投影是△BGH.又∵線段EF的長是定值，∴線段GH的長是定值，從而△BGH的面積是定值，故③對(duì)；設(shè)平面ABCD與平面DEA1的交線為l，則在平面ABCD內(nèi)與直線l平行的直線有無數(shù)條，故④對(duì).綜上，可知四個(gè)結(jié)論都是正確的，故選D.3.(2013·天津模擬)正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為______.【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)F，SC的中點(diǎn)G，連接EF，EG，F(xiàn)G，設(shè)EF交AC于點(diǎn)H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH.又GH∩EF=H，∴AC⊥平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是△EFG，其周長為答案:4.(2013·湘潭模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.(1)求證：平面AEC⊥平面PDB.(2)當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB.又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)設(shè)AC∩BD=O，連接OE.由(1)知，AC⊥平面PDB于點(diǎn)O，∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角.∵點(diǎn)O，E分別為DB，PB的中點(diǎn)，∴OE∥PD，且OE=PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.在Rt△AOE中，∴∠AEO=45°，即AE與平面PD