多元函數(shù)的極值及其求法

關(guān)于多元函數(shù)的極值及其求法第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日一、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日例1例２例３(3)(2)(1)第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日2、多元函數(shù)取得極值的條件證第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日例4求函數(shù)的極值。解求解方程組：得駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn)第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日因此，駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn)第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日與一元函數(shù)類似，可能的極值點(diǎn)除了駐點(diǎn)之外，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。例如，顯然函數(shù)不存在。第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日求最值的一般方法：將函數(shù)在

D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在

D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日解令第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日實(shí)例：小王有

200元錢，他決定用來購(gòu)買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu)買x張磁盤，

y盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為

U(x,y)=lnx+lny．設(shè)每張磁盤

8元，每盒磁帶

10元，問他如何分配這

200元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日求解方程組解出x,y,z,t

即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日解則例6求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為x,y，z.體積為V.則問題就是條件求函數(shù)的最大值.令下，第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日則令即由(2),(1)及(3),(2)得第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入條件，得解得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知，所以，最大值就在此點(diǎn)處取得。故，最大值最大值一定存在，第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日解則由(1)，(2)得由(1)，(3)得第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日將(5)，(6)代入(4)：于是，得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在這