幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3．2.1幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日目標(biāo)要求1.掌握常見(jiàn)增長(zhǎng)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，并體會(huì)其增長(zhǎng)快慢．2．理解直線(xiàn)上升，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，指數(shù)爆炸的含義．3．會(huì)分析具體的實(shí)際問(wèn)題，建模解決實(shí)際問(wèn)題．4．培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意識(shí).第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日熱點(diǎn)提示

學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)充分利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等工具作出一些特殊的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用圖象的形象直觀(guān)得到這幾類(lèi)函數(shù)圖象的增長(zhǎng)規(guī)律，進(jìn)而歸納總結(jié)出一般規(guī)律．熟練掌握這一規(guī)律后，還應(yīng)注意靈活地運(yùn)用它在實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)模型.第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象的變化隨x增大逐漸上升隨x增大逐漸上升隨x增大逐漸上升第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日2.函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)增長(zhǎng)速度的對(duì)比：(1)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會(huì)小于xn，但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有ax>xn.(2)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax<xn.第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日(3)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上．隨著x的增大，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax<xn<ax.第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日●想一想：當(dāng)0<a<1，n<0時(shí)，y＝ax，y＝xn，y＝logax為減函數(shù)，其“衰減”速度如何？你能借助圖象，類(lèi)比分析嗎？提示：如下圖所示：對(duì)于函數(shù)y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)盡管都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不在同一“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(0<a<1)的衰減速度越來(lái)越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y＝xn(n<0)的衰減速度，而y＝logax(0<a<1)的衰減速度則越來(lái)越快，因此總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解析：指數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度最快，故選C.答案：C第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日2.右圖所示的曲線(xiàn)反映的是下列哪種函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)？(

)A．一次函數(shù)B．冪函數(shù)C．對(duì)數(shù)函數(shù)D．指數(shù)函數(shù)答案：C第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3．三個(gè)變量y1，y2，y3，隨著變量x的變化情況如下表：

則關(guān)于x分別呈對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)變化的變量依次為(

)A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解析：通過(guò)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)規(guī)律比較可知：對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，變量y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度成倍增長(zhǎng)，y2隨x的變化符合此規(guī)律；冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，y1隨x的變化符合此規(guī)律，故選C.答案：C第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4．以下是三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x變化的函數(shù)值表：其中，關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是________．解析：從表格可以看出，三個(gè)變量y1，y2，y3都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y1的增長(zhǎng)速度最快，畫(huà)出它們的圖象(圖略)，可知變量y1呈指數(shù)函數(shù)變化，故填y1.答案：y1x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日5．下面給出幾種函數(shù)隨x取值而得到的函數(shù)值列表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y＝x20.040.3611.963.244.846.76911.56…y＝log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)(1)各函數(shù)隨著x的增大，函數(shù)值有什么共同的變化趨勢(shì)？(2)各函數(shù)增長(zhǎng)的快慢有什么不同？解：(1)隨著x的增長(zhǎng)，各函數(shù)的函數(shù)值都增大．(2)y＝2x開(kāi)始增長(zhǎng)的速度較慢，但隨著x的增大，y增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；y＝x2增長(zhǎng)速度平衡；y＝log2x開(kāi)始增長(zhǎng)速度稍快，但隨x增大，y增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢．第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日類(lèi)型一線(xiàn)性函數(shù)模型應(yīng)用題【例1】為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶(hù)，電信公司對(duì)移動(dòng)電話(huà)采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話(huà)時(shí)間x(分)與通話(huà)費(fèi)y1(元)、y2(元)的關(guān)系分別如圖(1)、圖(2)所示．(1)分別求出通話(huà)費(fèi)y1，y2與通話(huà)時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請(qǐng)幫助用戶(hù)計(jì)算：在一個(gè)月(30天)內(nèi)使用哪種卡便宜？第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日思路分析：由題目可知函數(shù)模型為直線(xiàn)型，可先用待定系數(shù)法求出解析式，然后再進(jìn)行函數(shù)值大小的比較．第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日溫馨提示：函數(shù)的圖象是表示函數(shù)的三種方法之一，正確識(shí)圖、用圖、譯圖是解決函數(shù)應(yīng)用題的基本技能和要求．本題由于過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)是正比例函數(shù)圖象，因此運(yùn)用了待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)解析式解決了實(shí)際問(wèn)題．借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．

本題關(guān)鍵是能根據(jù)實(shí)際情況，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，再利用方程或不等式使問(wèn)題得以解決．第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1某校餐廳計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)12張餐桌和一批餐椅，現(xiàn)從甲、乙兩商場(chǎng)了解到：同一類(lèi)型餐桌報(bào)價(jià)每張200元，餐椅報(bào)價(jià)每把50元．甲商場(chǎng)稱(chēng)：每購(gòu)買(mǎi)一張餐桌贈(zèng)送一把餐椅；乙商場(chǎng)規(guī)定：所有餐桌椅均按報(bào)價(jià)的8.5折銷(xiāo)售．那么，什么情況下到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)更優(yōu)惠？第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日類(lèi)型二二次函數(shù)模型應(yīng)用題【例2】養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖量為mt，為保證魚(yú)群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量yt和實(shí)際養(yǎng)殖量xt與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)求魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值；(3)當(dāng)魚(yú)群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范圍．思路分析：由題意寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得最大值，列不等式求k的范圍．第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日溫馨提示：這是一道二次函數(shù)的應(yīng)用題，同時(shí)考查了正比例函數(shù)(一次函數(shù))．本題中“最大養(yǎng)殖量”、“空閑量”、“空閑率”這些臨時(shí)定義，使本題理解難度加大，因此，要通過(guò)多遍審題和分析關(guān)系理解好這些詞匯，再找未知量之間的關(guān)系．在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最大、最小等問(wèn)題．第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日類(lèi)型三指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用題【例3】

1999年1月6日，我國(guó)的第13億個(gè)小公民在北京誕生，若今后能將人口年平均遞增率控制在1%，經(jīng)過(guò)x年后，我國(guó)人口數(shù)字為y(億)．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(3)判斷函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出在這里函數(shù)的增減有什么實(shí)際意義．第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日思路分析：遞增率問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決這類(lèi)問(wèn)題是中等數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用方向之一．這類(lèi)問(wèn)題解決的關(guān)鍵是理解“遞增率”的意義：遞增率是所研究的對(duì)象在“單位時(shí)間”內(nèi)比它在“前單位時(shí)間”內(nèi)的增長(zhǎng)率，切記并不總是只和開(kāi)始單位時(shí)間內(nèi)的值比較．具體分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并寫(xiě)出前3～4個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過(guò)觀(guān)察、歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題后求解．第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)1999年人口數(shù)：13億．經(jīng)過(guò)1年，2000年人口數(shù)：13＋13×1%＝13(1＋1%)(億)．經(jīng)過(guò)2年，2001年人口數(shù)：13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(億)．經(jīng)過(guò)3年，2002年人口數(shù)：13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(億)．∴經(jīng)過(guò)年數(shù)與(1＋1%)的指數(shù)相同，∴經(jīng)過(guò)x年人口數(shù)：13(1＋1%)x(億)．∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日(2)理論上指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)镽.∵此問(wèn)題以年作為單位時(shí)間，∴N*是此函數(shù)的定義域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指數(shù)函數(shù)，∵1＋1%>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函數(shù)，即只要遞增率為正數(shù)時(shí)，隨著時(shí)間的推移，人口的總數(shù)總在增長(zhǎng)．第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日溫馨提示：在實(shí)際問(wèn)題中，常常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間x的產(chǎn)值y，可以用下面的公式y(tǒng)＝N(1＋p)x表示，解決平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，要用到這個(gè)函數(shù)式．

第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日遞增率問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決這類(lèi)問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用方向之一，這類(lèi)問(wèn)題解決的關(guān)鍵是理解“遞增率”的意義：遞增率是所研究的對(duì)象在“單位時(shí)間”內(nèi)比它在“前單位時(shí)間”內(nèi)的增長(zhǎng)率，切記并不總是只和開(kāi)始單位時(shí)間內(nèi)的值比較．具體分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并寫(xiě)出前3～4個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過(guò)觀(guān)察、歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后，求解此數(shù)學(xué)問(wèn)題．第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日類(lèi)型四不同函數(shù)模型增長(zhǎng)趨勢(shì)的比較【例4】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如下圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請(qǐng)指出右圖中曲線(xiàn)C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2010)，g(2010)的大?。谌彭?yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日思路分析：(1)隨著自變量x的增大，圖象位于上方的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝2x，另一個(gè)函數(shù)就是冪函數(shù)y＝x3.解：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∵x1<6<x2,2010>x2.從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)；當(dāng)x>x2時(shí)，f(x)>g(x)，∴f(2010)>g(2010)．又∵g(2010)>g(6)，∴f(2010)>g(2010)>g(6)>f(6)．第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日溫馨提示：由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異可以很容易地判斷出哪個(gè)是指數(shù)函數(shù)的圖象，哪個(gè)是冪函數(shù)的圖象．解決此類(lèi)題型的關(guān)鍵是了解“指數(shù)爆炸”、“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”等函數(shù)增長(zhǎng)差異，需注意冪函數(shù)的增長(zhǎng)是介于兩者之間的．

根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀(guān)察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如下圖所示．(1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線(xiàn)C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以?xún)蓤D象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．第四十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x<x1時(shí)，g